Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau. Trên mỗi đường thẳng cho 6 điểm phân biệt. Số tứ diện có các đỉnh được lấy từ 12 điểm đã cho là
- Lấy 2 điểm trong 6 điểm đã cho trên đường thẳng thứ nhất: có \(C_6^2\) cách.
- Lấy 2 điểm trong 6 điểm đã cho trên đường thẳng thứ hai: có \(C_6^2\) cách.
- Số tứ diện có các đỉnh được lấy từ 12 điểm trên là:
\(C_6^2.C_6^2 = 225\) tứ diện.
Một nhóm gồm 2 học sinh lớp 10, 2 học sinh lớp 11 và 2 học sinh lớp 12 xếp thành hai hàng ngang để chụp ảnh, mỗi hàng 3 người. Gọi n là số cách xếp sao cho 2 học sinh lớp 10 đứng ở hàng phía trước và 2 học sinh lớp 12 đứng ở hàng phía sau. Tính n.
Đáp án:
Đáp án:
Số cách xếp hai học sinh lớp 10 ở hàng phía trước là \(A_3^2\)
Số cách xếp hai học sinh lớp 12 ở hàng phía sau là \(A_3^2\)
Còn 2 chỗ trống. Số cách xếp hai học sinh lớp 11 ở hai vị trí còn lại là \(A_2^2\)
Vậy tổng số cách xếp có thể là \(A_3^2.A_3^2.A_2^2 = 72\)
$=>n=72$
Một lớp 11 có 30 học sinh, gồm 15 nam và 15 nữ. Gọi a là số cách xếp các học sinh thành hai hàng, một hàng nam và một hàng nữ trong lúc tập thể dục giữa giờ. Tính a.
Đáp án:
$^2$
Đáp án:
$^2$
Bước 1: Xếp học sinh nam
Xếp 15 học sinh nam thành một hàng có \(15!\) cách.
Bước 2: Xếp học sinh nữ
Xếp 15 học sinh nữ thành một hàng có \(15!\) cách.
Bước 3: Tính số cách xếp
Hoán đổi vị trí 2 hàng có \(2! = 2\) cách.
Vậy số cách xếp thỏa mãn là \(2.{\left( {15!} \right)^2}\).
Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành?
Bước 1: Xác định yếu tố cấu thành tứ diện
Một tứ diện được tạo thành là một cách chọn 4 điểm phân biệt không đồng phẳng trong 10 điểm.
Bước 2: Sử dụng công thức tổ hợp.
Số cách chọn 4 điểm trong 10 điểm: \(C_{10}^4 = 210\) cách.
Vậy số tứ diện là 210 tứ diện.
Trong kì thi học sinh giỏi có 10 học sinh đạt tối đa điểm môn Toán trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học sinh trên để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng. Tính số cách chọn một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ và số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ.
Đáp án:
Đáp án:
TH1: Chọn 1 học sinh nam và 4 học sinh nữ có \(C_4^1.C_6^4 = 60\) cách.
TH2: Chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ có \(C_4^2.C_6^3 = 120\) cách.
Vậy có tất cả \(60 + 120 = 180\) cách chọn 5 học sinh mà có cả nam và nữ, đồng thời số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ.
Điền số thích hợp vào ô trống:
Có 5 cuốn sách toán khác nhau và 5 cuốn sách văn khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp chúng thành 1 hàng sao cho các cuốn sách cùng môn thì đứng kề nhau?
Đáp án:
Đáp án:
Bước 1: Tính số cách sắp xếp 5 sách toán đứng cạnh nhau và 5 sách văn đứng cạnh nhau.
Ta có số cách sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau là $5!$
Số cách sắp xếp 5 cuốn sách văn khác nhau là $5!$
Bước 2: Sắp xếp 10 cuốn thành 1 hàng ngang.
Có 2 cách để sắp xếp 5 cuốn sách toán khác nhau và 5 cuốn sách văn khác nhau thành 1 hàng ngang.
Do đó số cách xếp thỏa mãn bài toán là $2.5!.5!=28800$
Một thầy giáo có 20 quyển sách khác nhau gồm 7 quyển sách Toán, 5 quyển sách Lí và 8 quyển sách Hóa. Thầy chọn ra 9 quyển sách để tặng cho học sinh. Hỏi thầy giáo đó có bao nhiêu cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn?
Đáp án:
Đáp án:
Bước 1: Số cách chọn ra 9 quyển sách bất kì
Số cách chọn ra 9 quyển sách bất kì có \(C_{20}^9 = 167960\).
Bước 2: Tìm số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy không có đủ 3 môn
Ta tìm số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy không có đủ 3 môn.
Vì số sách còn lại của thầy không đủ ba môn nên thầy đã tặng hết ít nhất một môn.
TH1: Tặng 7 quyển sách Toán + 2 quyển sách khác sách Toán: có \(C_7^7.C_{13}^2 = 78\) cách
TH2: Tặng 5 quyển sách Lí + 4 quyển sách khác sách Lí: có \(C_5^5.C_{15}^4 = 1365\) cách.
TH3: Tặng 8 quyển sách Hóa + 1 quyển sách khác sách Hóa: có \(C_8^8.C_{12}^1 = 12\) cách.
\( \Rightarrow \) số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy không có đủ 3 môn là: \(78 + 1365 + 12 = 1455\) cách.
Bước 3: Lấy phần bù
Vậy số cách chọn sao cho số sách còn lại của thầy có đủ 3 môn là: \(167960 - 1455 = 166505\) cách.
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3.
Đáp án:
Đáp án:
Bước 1:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Bước 2: \(d = 3\)
TH1: \(d = 3\).
Số cách chọn \(a\) là 4 cách.
Số cách chọn \(b,\,\,c\) là: \(A_4^2 = 12\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(4.12.1 = 48\) số.
Bước 3: $d \ne 3$
TH2: \(d \ne 3 \Rightarrow d \in \left\{ {1;5} \right\} \Rightarrow \) Có 2 cách chọn \(d\).
2a) Nếu \(a = 3 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \(a\).
Số cách chọn \(b,\,\,c\) là \(A_4^2 = 12\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(2.1.12 = 24\) số.
2b) Nếu \(a \ne 3 \Rightarrow \) Có 3 cách chọn \(a\).
Vì một trong hai số b và c phải có 1 số bằng 3 nên:
Số cách chọn \(b,\,\,c\) là: 2.3=6 cách.
\( \Rightarrow \) Có \(2.3.6 = 36\) số.
Bước 4: Sử dụng quy tắc cộng tính tổng các số tìm được
Vậy có tất cả \(48 + 24 + 36 = 108\) số.
Một tổ có 10 học sinh. Số cách chọn ra hai bạn học sinh làm tổ trưởng và tổ phó là
Số cách chọn ra hai bạn học sinh làm tổ trưởng và tổ phó từ 10 học sinh là $A_{10}^{2}=90$
Số các số tự nhiên có bốn chữ số \(\overline {abcd} \) thoả mãn \(a \le b \le c \le d\) là
Cách 1:
- TH1: \(a = b = c = d\) có 9 số.
- TH2: Có 2 chữ số khác nhau
\( + a = b = c < d\) có: \(C_9^2\)(số)
+ \(a < b = c = d\) có: \(C_9^2\)(số)
+ \(a = b < c = d\) có: \(C_9^2\)(số)
-TH3: Có 3 chữ số khác nhau có: \(C_9^3.C_3^1\) (số)
-TH4: Có 3 chữ số khác nhau có: \(C_9^4\) (số)
Số các số thỏa mãn là: \(9 + C_9^2.3 + C_9^3.C_3^1 + C_9^4 = 495\) (số).
Cách 2:
Số tự nhiên có bốn chữ số \(\overline {abcd} \) thoả mãn \(a \le b \le c \le d\) là số tự nhiên thỏa mãn
\(1 \le a < b + 1 < c + 2 < d + 3 \le 9 + 3\)
Mỗi một bộ số (1;b+1;c+2;d+3) tương ứng với một số tự nhiên thỏa mãn đề bài.
Ta cần tìm số các bộ (1;b+1;c+2;d+3) thỏa mãn \(1 \le a < b + 1 < c + 2 < d + 3 \le 12\)
Với mỗi một cách chọn 4 số trong tập {1;2;3;…;12} là một cách chọn (1;b+1;c+2;d+3) vì ta luôn có thể sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần.
Vậy số cách chọn bộ số (1;b+1;c+2;d+3) là \(C_{12}^4 = 495\) số.
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 3
Bước 1:
Gọi số cần tìm là \(\overline {abc} \)
Từ các số bài cho ta chia thành 3 bộ số:
+ Bộ số chia hết cho 3 là: 3;6;9
+ Bộ số chia cho 3 dư 1 là: 1;4;7
+ Bộ số chia cho 3 dư 2 là: 2;5;8
Bước 2:
Xét các trường hợp sau:
+) a, b, c đều chia hết cho 3\( \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {3;6;9} \right\}\)
=> Có \(3!\) số.
+) \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\,\bmod \,3} \right)\) \( \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\)
=> Có \(3!\) số.
+) \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \equiv 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\,\bmod \,3} \right)\) \( \Rightarrow a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\)
=> Có \(3!\) số.
+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
=> Có \(3!.C_3^1.C_3^1.C_3^1 = 162\)
Vậy có \(3.3! + 162 = 180\) số thỏa mãn đề bài.
