Trong mặt phẳng cho \(2010\) điểm phân biệt sao cho ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vecto mà có điểm đầu và điểm cuối thuộc \(2010\) điểm đã cho?
Cách 1:
TH1: Có \(2010\) vectơ không được tạo thành.
TH2: Các vectơ khác vectơ không
Có \(2010\) điểm đầu và có \(2009\) điểm cuối (khác điểm đầu).
Do đó có \(2010 + 2010.2009 = 4040100\) véc tơ.
Một nhóm học sinh có \(3\) em nữ và \(7\) em trai. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp \(10\) em này thành một hàng ngang sao cho giữa hai em nữ bất kì đều không có một em nam nào?
Bước 1: Gom $3$ em nữ thành một nhóm thì số cách đổi vị trí các em nữ trong nhóm đó là $3!$ cách.
Bước 2: Sau khi nhóm $3$ em nữ thì ta chỉ còn $8$ phần tử. Số cách xếp $8$ phần từ này là $8!$ cách.
Theo quy tắc nhân thì có $3!.8! = 241920$ cách.
Có \(6\) học sinh và \(3\) thầy giáo \(A,\,B,\,C\). Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho \(9\) người đó ngồi trên một hàng ngang có \(9\) ghế sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh?
Ta sử dụng phương pháp tạo "vách ngăn".
Bước 1: Xếp vị trí cho $6$ học sinh có $6!$ cách.
Bước 2: Do đề yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh nên ta chỉ tính $5$ vách ngăn được tạo ra giữa $6$ học sinh.
+) Thầy \(A\) có \(5\) cách xếp chỗ.
+) Thầy \(B\) có \(4\) cách xếp chỗ.
+) Thầy \(C\) có \(3\) cách xếp chỗ.
Vậy theo quy tắc nhân thì có \(43200\) cách.
Công việc \(A\) có \(k\) phương án \({A_1},...,{A_k}\) để thực hiện. Biết có \({n_1}\) cách thực hiện \({A_1}\),…,\({n_k}\) cách thực hiện \({A_k}\). Số cách thực hiện công việc \(A\) là:
Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách thực hiện công việc là \({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách.
Cho hai tập hợp \(A,B\) rời nhau có số phần tử lần lượt là \({n_A},{n_B}\). Số phần tử của tập hợp \(A \cup B\) là:
Số phần tử của tập hợp \(A \cup B\) là: \(n = {n_A} + {n_B}\).
Trong một lớp có $17$ bạn nam và $11$ bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?
Có \(2\) phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ.
- Có \(17\) cách chọn lớp trưởng là nam.
- Có \(11\) cách chọn lớp trưởng là nữ.
Vậy có tất cả \(17 + 11 = 28\) cách chọn lớp trưởng.
Một đội văn nghệ đã chuẩn bị \(3\) bài múa, \(4\) bài hát và \(2\) vở kịch. Thầy giáo yêu cầu đội chọn biểu diễn một vở kịch hoặc một bài hát. Số cách chọn bài biểu diễn của đội là:
Có \(2\) phương án chọn bài biểu diễn là bài hát hoặc vở kịch.
- Có \(4\) cách chọn bài hát.
- Có \(2\) cách chọn vở kịch.
Vậy có tất cả \(2 + 4 = 6\) cách chọn bài biểu diễn.
Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:
Số cách thực hiện công việc \(A\) là: \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách.
Muốn đi từ $A$ đến $B$ thì bắt buộc phải đi qua $C.$ Có \(3\) con đường đi từ $A$ tới $C$ và \(2\) con đường từ $C$ đến $B.$ Số con đường đi từ $A$ đến $B$ là:
Có \(2\) công đoạn đi từ \(A\) đến \(B\) là: đi từ \(A\) đến \(C\) và đi từ \(C\) đến \(B\).
- Có \(3\) con đường từ \(A\) đến \(C\).
- Có \(2\) con đường từ \(C\) đến \(B\).
Vậy có \(3.2 = 6\) con đường đi từ \(A\) đến \(B\).
Có bao nhiêu số có \(3\) chữ số được lập thành từ các chữ số \(3,2,1\)?
Gọi số thỏa mãn bài toán là \(\overline {abc} \).
- Có \(3\) cách chọn chữ số \(a\).
- Có \(3\) cách chọn chữ số \(b\).
- Có \(3\) cách chọn chữ số \(c\).
Vậy có \(3.3.3 = 27\) số tạo thành từ các chữ số \(3,2,1\).
Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?
Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c \ne d} \right)\), \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\)
Vì \(\overline {abcd} \) là số chẵn nên \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \)
\(\Rightarrow \) Có $3$ cách chọn $d.$
Vì $a \ne d$ nên có $6$ cách chọn $a$
$b\ne a, d$ nên có $5$ cách chọn $b$
$c \ne a, b, d$ nên có $4$ cách chọn $c$
Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: $3.6.5.4 = 360$ (số)
Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$ bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày \(1\) vở kịch, $1$ điệu múa và \(1\) bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?
Chọn $1$ vở kịch có $2$ cách
Chọn $1$ điệu múa có $3$ cách.
Chọn $1$ bài hát có $6$ cách.
Vậy theo quy tắc nhân ta có: \(2.3.6 = 36\) cách
Có bao nhiêu cách sắp xếp $8$ viên bi đỏ khác nhau và $8$ viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở cạnh nhau?
Do hai viên bi cùng màu không được đứng cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:
Trường hợp 1: Các viên bi đỏ ở vị trí lẻ.
Có $8$ cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 1.
Có $7$ cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 3.
...
Có $1$ cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 15.
Suy ra có $8.7.6.5.4.3.2.1$ cách xếp viên bi đỏ.
Tương tự có $8.7.6.5.4.3.2.1$ cách xếp viên bi đen.
Vậy có \({\left( {8.7.6.5.4.3.2.1} \right)^2}\) cách xếp.
Trường hợp 2: Các viên bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.
Vậy theo quy tắc cộng ta có: $2.{\left( {8.7.6.5.4.3.2.1} \right)^2} = 3251404800$
Biển đăng kí xe ô tô có $6$ chữ số và hai chữ cái trog $26$ chữ cái (không dùng các chữ $I$ và $O$ ). Chữ số đầu tiên khác $0$. Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất có thể là bao nhiêu?
Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước.
Chữ cái đầu tiên có $24$ cách chọn.
Chữ cái tiếp theo cũng có $24$ cách chọn.
Chữ số đầu tiên có $9$ cách chọn.
Chữ số thứ hai có $10$ cách chọn.
Chữ số thứ ba có $10$ cách chọn.
Chữ số thứ tư có $10$ cách chọn.
Chữ số thứ năm có $10$ cách chọn.
Chữ số thứ sáu có $10$ cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân ta có \({24.24.9.10^5} = {5184.10^5}\) là số ô tô nhiều nhất có thể đăng kí.
Trên giá sách có $10$ quyển Văn khác nhau, $8$ quyển sách Toán khác nhau và $6$ quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?
Theo quy tắc nhân ta có:
$10.8 = 80$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Toán khác nhau.
$10.6 = 60$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
$8.6 = 48$ cách chọn một quyển Toán và một quyển Tiếng Anh khác nhau.
Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai quyển sách khác môn là: $80 + 60 + 48 = 188$ cách.
Một nhóm $9$ người gồm $3$ đàn ông, $4$ phụ nữ và $2$ đứa trẻ đi xem phim. Hỏi có bao nhiêu cách xếp họ ngồi trên một hàng ghế sao cho mỗi đứa trẻ ngồi giữa hai người phụ nữ và không có hai người đàn ông nào ngồi cạnh nhau.
Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi. Ta có phương án sau:
PA1: TNCNTNCNT.
PA2: TNTNCNCNT.
PA3: TNCNCNTNT.
Xét phương án 1: Xếp ba vị trí ghế cho $3$ người đàn ông ngồi.
- Người đàn ông thứ nhất có $3$ cách xếp.
- Người đàn ông thứ hai có $2$ cách xếp.
- Người đàn ông thứ ba có $1$ cách xếp
Nên số cách xếp ba vị trí cho $3$ người đàn ông là $3.2.1 = 6$ cách.
Tương tự: Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có $4.3.2.1 = 24$ cách.
Hai vị trí cho trẻ em ngồi có $2.1 = 2$ cách.
Lập luận tương tự cho PA2 và PA3.
Theo quy tắc cộng ta có: $3.6.24.2 = 864$ cách.
Với các chữ số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số gồm $8$ chữ số, trong đó chữ số $1$ có mặt $3$ lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng $1$ lần.
Do chữ số $1$ có mặt $3$ lần nên ta coi như tìm các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ $8$ số $0,1,1,1,2,3,4,5$.
Chọn số cho ô đầu tiên có $7$ cách.
Chọn số cho ô thứ hai có $7$ cách.
…
Chọn số cho ô thứ $8$ có $1$ cách.
Suy ra có $7.7.6.5.4.3.2.1 = 7.7!$ cách xếp $8$ chữ số $0,1,1,1,2,3,4,5$ vào $8$ ô.
Mặt khác chữ số $1$ lặp lại $3$ lần nên số cách xếp là \(\dfrac{{7.7!}}{{3!}} = 5880\) số.
Cho $8$ bạn học sinh $A,B,C,D,E,F,G,H$. Hỏi có bao nhiêu cách xếp $8$ bạn đó ngồi xung quanh một bàn tròn có $8$ ghế.
Ta thấy xếp các vị trí theo một hình tròn nên ta phải cố định vị trí của một bạn.
Ta chọn cố định vị trí của $A$ , sau đó xếp vị trí cho $7$ bạn còn lại.
Bạn thứ nhất có $7$ cách xếp.
Bạn thứ hai có $6$ cách xếp.
…
Bạn thứ 7 có $1$ cách xếp.
Vậy có $7.6.5.4.3.2.1 = 5040$ cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
Gọi số cần tìm là \(\overline {abcba} \)
Có $9$ cách chọn $a$ .
Có $10$ cách chọn $b$ .
Có $10$ cách chọn $c$ .
Vậy có $9.10.10 = 900$ số.
Trong mặt phẳng có $2010$ điểm phân biệt sao cho có ba điểm bất kì không thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu véc tơ mà có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc $2010$ điểm đã cho.
Với mỗi điểm đầu véc tơ thì có \(2009\) cách chọn điểm cuối véc tơ.
Có $2010$ cách chọn điểm đầu vecto.
Vậy có $2010.2009 = 4038090$ vecto.
