Hai quy tắc đếm cơ bản

Cách 1:

TH1: Có $2010$ vectơ không được tạo thành.

TH2: Các vectơ khác vectơ không

Có $2010$ điểm đầu và có $2009$ điểm cuối (khác điểm đầu).

Do đó có $2010 + 2010.2009 = 4040100$ véc tơ.

Bước 1: Gom $3$ em nữ thành một nhóm thì số cách đổi vị trí các em nữ trong nhóm đó là $3!$ cách.

Bước 2: Sau khi nhóm $3$ em nữ thì ta chỉ còn  $8$ phần tử. Số cách xếp  $8$ phần từ này là $8!$ cách.

Theo quy tắc nhân thì có $3!.8! = 241920$ cách.

Ta sử dụng phương pháp tạo "vách ngăn".

Bước 1: Xếp vị trí cho $6$ học sinh có $6!$ cách.

Bước 2: Do đề yêu cầu mỗi thầy giáo ngồi giữa hai học sinh nên ta chỉ tính $5$ vách ngăn được tạo ra giữa $6$ học sinh.

+) Thầy $A$ có $5$ cách xếp chỗ.

+) Thầy $B$ có $4$ cách xếp chỗ.

+) Thầy $C$ có $3$ cách xếp chỗ.

Vậy theo quy tắc nhân thì có $43200$ cách.

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách thực hiện công việc là ${n_1} + {n_2} + ... + {n_k}$ cách.

Số phần tử của tập hợp $A \cup B$ là: $n = {n_A} + {n_B}$.

Có $2$ phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ.

- Có $17$ cách chọn lớp trưởng là nam.

- Có $11$ cách chọn lớp trưởng là nữ.

Vậy có tất cả $17 + 11 = 28$ cách chọn lớp trưởng.

Có $2$ phương án chọn bài biểu diễn là bài hát hoặc vở kịch.

- Có $4$ cách chọn bài hát.

- Có $2$ cách chọn vở kịch.

Vậy có tất cả $2 + 4 = 6$ cách chọn bài biểu diễn.

Số cách thực hiện công việc $A$ là: ${n_1}.{n_2}.....{n_k}$ cách.

Có $2$ công đoạn đi từ $A$ đến $B$ là: đi từ $A$ đến $C$ và đi từ $C$ đến $B$.

- Có $3$ con đường từ $A$ đến $C$.

- Có $2$ con đường từ $C$ đến $B$.

Vậy có $3.2 = 6$ con đường đi từ $A$ đến $B$.

Gọi số thỏa mãn bài toán là $\overline {abc}$.

- Có $3$ cách chọn chữ số $a$.

- Có $3$ cách chọn chữ số $b$.

- Có $3$ cách chọn chữ số $c$.

Vậy có $3.3.3 = 27$ số tạo thành từ các chữ số $3,2,1$.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là $\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c \ne d} \right)$, $d \in \left\{ {2;4;6} \right\}$

Vì  $\overline {abcd}$ là số chẵn nên $d \in \left\{ {2;4;6} \right\}$

$\Rightarrow$ Có $3$ cách chọn $d.$

Vì $a \ne d$ nên có $6$ cách chọn $a$

$b\ne a, d$ nên có $5$ cách chọn $b$

$c \ne a, b, d$ nên có $4$ cách chọn $c$

Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: $3.6.5.4 = 360$ (số)

Chọn $1$  vở kịch có $2$  cách

Chọn $1$ điệu múa có $3$  cách.

Chọn $1$ bài hát có $6$ cách.

Vậy theo quy tắc nhân ta có: $2.3.6 = 36$ cách

Do hai viên bi cùng màu không được đứng cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:

Trường hợp 1: Các viên bi đỏ ở vị trí lẻ.

Có $8$  cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 1.

Có $7$ cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 3.

...

Có $1$  cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 15.

Suy ra có $8.7.6.5.4.3.2.1$  cách xếp viên bi đỏ.

Tương tự có $8.7.6.5.4.3.2.1$  cách xếp viên bi đen.

Vậy có ${\left( {8.7.6.5.4.3.2.1} \right)^2}$ cách xếp.

Trường hợp 2: Các viên bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: $2.{\left( {8.7.6.5.4.3.2.1} \right)^2} = 3251404800$

Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước.

Chữ cái đầu tiên có $24$  cách chọn.

Chữ cái tiếp theo cũng có $24$  cách chọn.

Chữ số đầu tiên có $9$  cách chọn.

Chữ số thứ hai có $10$  cách chọn.

Chữ số thứ ba có $10$  cách chọn.

Chữ số thứ tư có $10$  cách chọn.

Chữ số thứ năm có $10$  cách chọn.

Chữ số thứ sáu có $10$  cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có ${24.24.9.10^5} = {5184.10^5}$ là số ô tô nhiều nhất có thể đăng kí.

Theo quy tắc nhân ta có:

$10.8 = 80$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Toán khác nhau.

$10.6 = 60$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Tiếng Anh khác nhau.

$8.6 = 48$ cách chọn một quyển Toán và một quyển Tiếng Anh khác nhau.

Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai quyển sách khác môn là: $80 + 60 + 48 = 188$ cách.

Kí hiệu T là ghế đàn ông ngồi, N là ghế cho phụ nữ ngồi, C là ghế cho trẻ em ngồi. Ta có phương án sau:

PA1: TNCNTNCNT.

PA2: TNTNCNCNT.

PA3: TNCNCNTNT.

Xét phương án 1: Xếp ba vị trí ghế cho $3$  người đàn ông ngồi.

- Người đàn ông thứ nhất có $3$  cách xếp.

- Người đàn ông thứ hai có $2$  cách xếp.

- Người đàn ông thứ ba có $1$  cách xếp

Nên số cách xếp ba vị trí cho $3$  người đàn ông là $3.2.1 = 6$  cách.

Tương tự: Bốn vị trí ghế cho phụ nữ ngồi có $4.3.2.1 = 24$  cách.

Hai vị trí cho trẻ em ngồi có $2.1 = 2$ cách.

Lập luận tương tự cho PA2 và PA3.

Theo quy tắc cộng ta có: $3.6.24.2 = 864$ cách.

Do chữ số $1$ có mặt $3$ lần nên ta coi như tìm các số thỏa mãn đề bài được tạo nên từ $8$  số $0,1,1,1,2,3,4,5$.

Chọn số cho ô đầu tiên có $7$  cách.

Chọn số cho ô thứ hai có $7$  cách.

…

Chọn số cho ô thứ $8$  có $1$  cách.

Suy ra có $7.7.6.5.4.3.2.1 = 7.7!$  cách xếp $8$  chữ số $0,1,1,1,2,3,4,5$ vào $8$ ô.

Mặt khác chữ số $1$  lặp lại $3$  lần nên số cách xếp là $\dfrac{{7.7!}}{{3!}} = 5880$ số.

Ta thấy xếp các vị trí theo một hình tròn nên ta phải cố định vị trí của một bạn.

Ta chọn cố định vị trí của $A$ , sau đó xếp vị trí cho $7$  bạn còn lại.

Bạn thứ nhất có $7$  cách xếp.

Bạn thứ hai có $6$  cách xếp.

…

Bạn thứ 7 có $1$  cách xếp.

Vậy có $7.6.5.4.3.2.1 = 5040$  cách.

Gọi số cần tìm là $\overline {abcba}$

Có $9$  cách chọn $a$ .

Có $10$  cách chọn $b$ .

Có $10$  cách chọn $c$ .

Vậy có $9.10.10 = 900$  số.

Với mỗi điểm đầu véc tơ thì có $2009$ cách chọn điểm cuối véc tơ.

Có $2010$  cách chọn điểm đầu vecto.

Vậy có $2010.2009 = 4038090$  vecto.