Đường thẳng song song với mặt phẳng

Gọi $M$ là trung điểm của $CD, E$ và $F$ lần lượt là trọng tâm tam giác $BCD$ và $ACD$ $\Rightarrow E \in BM,F \in AM.$

Trong $(AMB):$ $G = AE \cap BF \Rightarrow$ $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD.$

Giả sử bốn điểm $A, D, G, M$ đồng phẳng.

$A, D, M$$\in \left( {ACD} \right)$ $\Rightarrow G \in \left( {ACD} \right)$ $\Rightarrow AG \subset \left( {ACD} \right)$ $\Rightarrow E \in \left( {ACD} \right)$(Vô lí)

Do đó $A, D, M, G$ không đồng phẳng.

Vậy $AD$ và $GM$ là hai đường thẳng chéo nhau.

Trong $(SAD)$ ta kẻ đường thẳng qua $M$ và song song với $SA$ cắt $(SBC)$ tại $A’.$

Trong $(SCF)$ kẻ đường thẳng qua $M$ và song song với $SC$ cắt $SF$ tại $C'$

$MA’ // SA$ $\Rightarrow \dfrac{{MA'}}{{SA}} = \dfrac{{DM}}{{DA}} = \dfrac{{{S_{MBC}}}}{{{S_{ABC}}}}$

Tương tự ta chứng minh được $\dfrac{{MB'}}{{SB}} = \dfrac{{EM}}{{EB}} = \dfrac{{{S_{MAC}}}}{{{S_{ABC}}}}$  và $\dfrac{{MC'}}{{SC}} = \dfrac{{FM}}{{FC}} = \dfrac{{{S_{MAB}}}}{{{S_{ABC}}}}$

Do đó ta có: $\dfrac{{MA'}}{{SA}} + \dfrac{{MB'}}{{SB}} + \dfrac{{MC'}}{{SC}} = \dfrac{{{S_{MBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{MAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \dfrac{{{S_{MAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1$

Trong tam giác $ABC$, kéo dài $AM,BM,CM$ cắt các đoạn thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt tại $H,G,F$.

+) Trong mặt phẳng $\left( {HAD} \right)$, kẻ $MA'//AD$.

+) Trong mặt phẳng $\left( {GBD} \right)$, kẻ $MB'//BD$.

+) Trong mặt phẳng $\left( {FCD} \right)$, kẻ $MC'//CD$.

Từ đó ta được các điểm $A',B',C'$ cần tìm.

Theo định lý Ta – let ta có: $\dfrac{{MA'}}{{AD}} = \dfrac{{HM}}{{HA}} \Rightarrow MA' = 5.\dfrac{{MH}}{{AH}}$

$\dfrac{{MB'}}{{BD}} = \dfrac{{GM}}{{GB}} \Rightarrow MB' = 6.\dfrac{{MG}}{{BG}}$; $\dfrac{{MC'}}{{CD}} = \dfrac{{FM}}{{FC}} \Rightarrow MC' = 4.\dfrac{{MF}}{{CF}}$

$\Rightarrow MA'.MB'.MC' = 120.\dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}}$.

Trong tam giác $ABC$ ta có: $1 = \dfrac{{MH}}{{AH}} + \dfrac{{MG}}{{BG}} + \dfrac{{MF}}{{CF}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}}}}$ $\Rightarrow \dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}} \le \dfrac{1}{{27}}$

Do đó $MA'.MB'.MC' = 120.\dfrac{{MH}}{{AH}}.\dfrac{{MG}}{{BG}}.\dfrac{{MF}}{{CF}} \le 120.\dfrac{1}{{27}} = \dfrac{{40}}{9}$$\Rightarrow {\left( {MA'.MB'.MC'} \right)_{\max }} = \dfrac{{40}}{9}$