Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức

Các mẫu thức lần lượt là: $6x^2y;x^2y^3;12xy^4$

Ta có phần hệ số của mẫu thức chung là $BCNN(6;12)=12$

Phần biến số là: $x^2y^4$

Suy ra mẫu chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}$ là $12{x^2}{y^4}$.

Mẫu thức của hai phân thức $\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}},\dfrac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}$ là ${\left( {x + 3} \right)^3}$ và $3\left( {x + 3} \right)$.

Nên mẫu thức chung có phần hệ số là $3$, phần biến số là ${\left( {x + 3} \right)^3}$ $\Rightarrow$ Mẫu thức chung $3{\left( {x + 3} \right)^3}$.

Ta có các phân thức: $\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}$ có mẫu lần lượt là:

$4x - 12 = 4\left( {x - 3} \right);4x + 12 = 4\left( {x + 3} \right);$$9 - {x^2} =  - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$

Nên mẫu thức chung có phần hệ số là $4$ và phần biến số là $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$.

Hay mẫu thức chung là $4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$.

+ Hai phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ có mẫu là $3a;4$ nên mẫu thức chung là $12a$, do đó A đúng.

+ Các phân thức  $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ có mẫu là $6a;18ab;9b$  nên mẫu thức chung là $18ab$, do đó B đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ có mẫu là ${x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2};{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$ Nên mẫu thức chung là $\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$, do đó C sai.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ có mẫu là ${\left( {x - 2y} \right)^2};{\left( {x - 2y} \right)^4};3x$ nên mẫu thức chung là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$, do đó D đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + xy}};\dfrac{1}{{xy - {y^2}}};\dfrac{3}{{{y^2} - {x^2}}}$ có mẫu lần lượt là ${x^2} + xy = x\left( {x + y} \right);xy - {y^2} = y\left( {x - y} \right);$ ${y^2} - {x^2} =  - \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$ nên có mẫu chung là $xy\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$, do đó A đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} - {y^2}}};\dfrac{{6x}}{{2x - 2y}}$ có mẫu lần lượt là ${x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right);2x - 2y = 2\left( {x - y} \right)$ nên mẫu thức chung là $2\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$, do đó B sai.

+ Các phân thức $\dfrac{{8y}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}};\dfrac{7}{{x + y}};\dfrac{1}{{{y^2}}}$ có mẫu lần lượt là  ${\left( {x - y} \right)^2};x + y;{y^2}$  nên mẫu thức  chung là ${y^2}\left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2}$, do đó C sai.

+ Các phân thức $\dfrac{4}{{5\left( {x - y} \right)}};\dfrac{6}{{3x + 3y}};\dfrac{5}{{{x^2} - {y^2}}}$ có mẫu lần lượt là $5\left( {x - y} \right);3x + 3y = 3\left( {x + y} \right);{x^2} - {y^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$. Vì BCNN của $3$ và $5$ là $15$ nên mẫu thức chung của các phân thức trên là $15\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$, do đó D sai.

Ta có: ${x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)$; $3x + 3 = 3\left( {x + 1} \right);$$2{x^2} - 2x + 2 = 2\left( {{x^2} - x + 1} \right)$  và BCNN$\left( {2;3} \right) = 6$  nên các phân thức   $\dfrac{1}{{{x^3} + 1}};\dfrac{2}{{3x + 3}};\dfrac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}$ có mẫu chung là $6\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 6\left( {{x^3} + 1} \right)$.

* Nên nhân tử phụ của $\dfrac{1}{{{x^3} + 1}}$ là $6$  $\Rightarrow \dfrac{1}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{6}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}$

* Nhân tử phụ của $\dfrac{2}{{3x + 3}}$ là $2\left( {{x^2} - x + 1} \right)$ $\Rightarrow \dfrac{2}{{3x + 3}} = \dfrac{{2.2\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{4{x^2} - 4x + 4}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}$.

* Nhân tử phụ của $\dfrac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}}$ là $3\left( {x + 1} \right)$ $\Rightarrow \dfrac{x}{{2{x^2} - 2x + 2}} = \dfrac{{x.3\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {{x^2} - x + 1} \right).3\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{3{x^2} + 3x}}{{6\left( {{x^3} + 1} \right)}}$.

$BCNN\left( {5;4} \right) = 20$ nên mẫu chung các phân thức  $\dfrac{3}{{5{x^2}yz}},\dfrac{5}{{4{y^2}z}},\dfrac{6}{{x{z^2}}}$ là $20{x^2}{y^2}{z^2}$.

Nhân tử phụ lần của 3 phân thức $\dfrac{3}{{5{x^2}yz}},\dfrac{5}{{4{y^2}z}},\dfrac{6}{{x{z^2}}}$ lần lượt là $4yz;5{x^2}z;20{x^2}y$

Nên ta có: $\dfrac{3}{{5{x^2}yz}} = \dfrac{{3.4yz}}{{5{x^2}yz.4yz}} = \dfrac{{12yz}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}$

$\dfrac{5}{{4{y^2}z}} = \dfrac{{5.5{x^2}z}}{{4{y^2}z.5{x^2}z}} = \dfrac{{25{x^2}z}}{{20{x^2}{y^2}{z^2}}}$

$\dfrac{6}{{x{z^2}}} = \dfrac{{6.20.x.y^2}}{{x{z^2}.20.x.y^2}} = \dfrac{{120xy^2}}{{20x{y^2}{z^2}}}$.

Ta có: ${x^2} + 3x + 2 = {x^2} + 2x + x + 2 = x\left( {x + 2} \right) + \left( {x + 2} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$

${x^2} + 4x + 4 = {\left( {x + 2} \right)^2}$.

Ta có mẫu thức chung của hai phân thức là $\left( {x + 1} \right){\left( {x + 2} \right)^2}$.

Do đó nhân cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{4}{{{x^2} + 3x + 2}}$ với $\left( {x + 2} \right)$ ta được: $\dfrac{4}{{{x^2} + 3x + 2}} = \dfrac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{4x + 8}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{{3x}}{{{x^2} + 4x + 4}}$ với $\left( {x + 1} \right)$ ta được: $\dfrac{{3x}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \dfrac{{3x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{3{x^2} + 3x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)}}$.

Vậy các đa thức cần điền lần lượt là $4x + 8;3{x^2} + 3x$ .

Ta có: ${x^2} + 8x + 15 = {x^2} + 5x + 3x + 15 = x\left( {x + 5} \right) + 3\left( {x + 5} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)$

${x^2} + 10x + 25 = {\left( {x + 5} \right)^2}$.

Do đó: $\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \dfrac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{1}{{x + 5}};$$\dfrac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \dfrac{{5\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{{x - 3}}$.

Mẫu thức chung của hai phân thức sau khi rút gọn là $\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)$.

Nên nhân tử phụ của phân thức $\dfrac{1}{{x + 5}}$ là $x - 3$  hay $\dfrac{1}{{x + 5}} = \dfrac{{x - 3}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)}}$.

Nhân tử phụ của phân thức $\dfrac{5}{{x - 3}}$ là $x + 5$ nên ta có: $\dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{{5\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{{5x + 25}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}$.

Từ đó ta có: $\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} + 8x + 15}} = \dfrac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}};\dfrac{{5x - 15}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \dfrac{{5x + 25}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right)}}$.

Các đa thức cần điền lần lượt là $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 5} \right);\,5x + 25$.

Các phân thức $\dfrac{1}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}};\dfrac{1}{{\left( {c - b} \right)\left( {c - a} \right)}};\dfrac{1}{{\left( {b - a} \right)\left( {a - c} \right)}}$ có mẫu thức lần lượt là $\left( {a - b} \right).\left( {b - c} \right);\,\left( {c - b} \right)\left( {c - a} \right) = \left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right);$ $\left( {b - a} \right)\left( {a - c} \right) =  - \left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)$.

Nên mẫu thức chung của các phân thức trên là $\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)$, do đó bạn Mai nói đúng.

Nhưng ta cũng có thể đổi dấu mẫu chung trên thành $- \left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = \left( {b - a} \right)\left( {c - b} \right)\left( {c - a} \right)$ nên bạn Nhung cũng đúng.

Do đó cả hai bạn đều đúng.

Mẫu chung của các phân thức $\dfrac{1}{{x + 1}},\dfrac{1}{{x - 1}},\dfrac{1}{x}$ là $\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right).x = x\left( {{x^2} - 1} \right)$ .

Mẫu thức của hai phân thức $\dfrac{x}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}},\dfrac{y}{{x - y}}$  là $3{\left( {x - y} \right)^2}$ và $\left( {x - y} \right)$

Nên mẫu thức chung có phần hệ số là $3$ , phần biến số là ${\left( {x - y} \right)^2}$ $\Rightarrow$ Mẫu thức chung $3{\left( {x - y} \right)^2}$ .

Ta có  các phân thức $\dfrac{{3x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \dfrac{{2x - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}},\dfrac{{ - 1}}{{x - 2}}$ có mẫu lần lượt là ${\left( {x - 2} \right)^2};{\left( {x + 2} \right)^2};\,x - 2$ .

Nên mẫu thức chung là ${\left( {x - 2} \right)^2}.{\left( {x + 2} \right)^2}$ .

+ Hai phân thức $\dfrac{{x + 2}}{{5\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}},\dfrac{1}{{x\left( {x + 3} \right)}}$  có mẫu là $5\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right);\,x\left( {x + 3} \right)$ nên mẫu thức chung là $5x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)$, do đó A đúng.

+ Các phân thức  $\dfrac{1}{{2{x^2}y}},\dfrac{1}{{3x{y^3}}},\dfrac{1}{{6y}}$ có mẫu là $2{x^2}y;\,3x{y^3};\,6y$  nên mẫu thức chung là $6{x^2}{y^3}$, do đó B đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}},\dfrac{1}{{x + 1}},\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 1}}$ có mẫu là $x - 1;\,x + 1;\,{x^2} - 1$ . Ta có ${x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$ nên mẫu thức chung là $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 1$ , do đó C đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}},\dfrac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}},\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}$ có mẫu là ${\left( {x - 2} \right)^2};{\left( {x + 2} \right)^2};\,{\left( {x - 2} \right)^3}$  nên mẫu thức chung là ${\left( {x - 2} \right)^3}{\left( {x + 2} \right)^2}$, do đó D sai.

+ Ta có BCNN của $3$ và $4$ là $12$ nên các phân thức $\dfrac{1}{{3\left( {x - 1} \right)}};\dfrac{x}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}};\dfrac{5}{{4\left( {x - 2} \right)}}$ mẫu chung là $12\left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^2}$ . do đó A đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{x}{{x - 1}};\dfrac{5}{{6{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}$có mẫu thức chung là $6\left( {x - 1} \right){\left( {x - 2} \right)^3}$ , do đó B sai.

+ Ta có ${x^2} - 4 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)$ nên mẫu chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} - 4}};\dfrac{7}{{12\left( {x - 1} \right)}}$ là  $12\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 12\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 1} \right)$ , do đó C sai.

+ Vì BCNN của $3$ và $5$ là $15$ nên mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{x - 2}};\dfrac{5}{{3{{\left( {x - 2} \right)}^3}}};\dfrac{x}{{5\left( {x - 1} \right)}}$là $15{\left( {x - 2} \right)^3}\left( {x - 1} \right)$ do đó D sai.

Ta có ${x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$và BCNN$\left( {2;3} \right) = 6$  nên các phân thức $\dfrac{{x - 2}}{{3\left( {x - 1} \right)}},\dfrac{5}{{2\left( {x + 1} \right)}},\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}$có mẫu chung là $6\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 6\left( {{x^2} - 1} \right)$ .

* Nên nhân tử phụ của$\dfrac{{x - 2}}{{3\left( {x - 1} \right)}}$ là $2\left( {x + 1} \right)$$\Rightarrow \dfrac{{x - 2}}{{3\left( {x - 1} \right)}}$$= \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{3.2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$= \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{6\left( {{x^2} - 1} \right)}}$

* Nhân tử phụ của $\dfrac{5}{{2\left( {x + 1} \right)}}$ là $3\left( {x - 1} \right)$$\Rightarrow \dfrac{5}{{2\left( {x + 1} \right)}}$$= \dfrac{{5.3\left( {x - 1} \right)}}{{2.3\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$$= \dfrac{{15\left( {x - 1} \right)}}{{6\left( {{x^2} - 1} \right)}}$.

* Nhân tử phụ của $\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}}$ là $6$$\Rightarrow \dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{6\left( {x + 3} \right)}}{{6\left( {{x^2} - 1} \right)}}$

Mẫu chung các phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$ là $xyz$ .

Nên ta có $\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$

Ta có mẫu thức chung của hai phân thức là $2x\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x$   

Do đó nhân cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{2}{{x + 2}}$ với $2x$ ta được $\dfrac{2}{{x + 2}} = \dfrac{{2x.2}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{4x}}{{2{x^2} + 4x}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{1}{{2x}}$ với $\left( {x + 2} \right)$ ta được $\dfrac{1}{{2x}} = \dfrac{{1.\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} + 4x}}$ .

Vậy các đa thức cần điền lần lượt là $4x;x + 2$ .

Mẫu thức chung của hai phân thức là ${x^2}\left( {x + 1} \right)$ .

Nên nhân tử phụ của phân thức $\dfrac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}$ là $1$  hay $\dfrac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}$

Nhân tử phụ của phân thức $\dfrac{{3x}}{{x + 1}}$ là ${x^2}$ nên ta có $\dfrac{{3x}}{{x + 1}} = \dfrac{{3x.{x^2}}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{3{x^3}}}{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}$ .

Các đa thức cần điền là ${x^2}\left( {x + 1} \right);3{x^3}$.

Ta có $\dfrac{{11x}}{{3x - 3}} = \dfrac{{11x}}{{3\left( {x - 1} \right)}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}} = \dfrac{{ - 5}}{{4\left( {x - 1} \right)}};\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

Ta có BCNN$\left( {3;4} \right) = 12$ nên mẫu chung của các phân thức trên là  $12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 12\left( {{x^2} - 1} \right)$ .

Do đó cả hai bạn đều sai.