Dạng 1: Tìm điều kiện sóng dừng, tìm số nút, số bụng sóng trên dây đang có sóng dừng
- Khi hai đầu cố định thì chiều dài dây phải thỏa mãn:
\(l = k\frac{\lambda }{2}\) hay \(f = k\frac{v}{{2l}}\), với k là số bó sóng trên dây.
+ Số bụng sóng = k
+ Số nút sóng = k + 1
- Khi một đầu cố định, một đầu tự do thì chiều dài dây phải thỏa mãn:
\(l = k\frac{\lambda }{2} + \frac{\lambda }{4}\) hay \(f = \frac{{\left( {2k + 1} \right)v}}{{4l}}\), với k là số bó sóng trên dây.
+ Số bụng sóng = k + 1
+ Số nút sóng = k + 1
Lưu ý:
- Nếu một đầu dây được gắn với âm thoa để tạo sóng dừng thì đầu dây đó luôn là nút sóng.
- Từ các điều kiện về chiều dài và tần số ta có chiều dài nhỏ nhất hay tần số nhỏ nhất để có sóng dừng là:
+ Hai đầu cố định: \({l_{\min }} = \frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow {f_{\min }} = \frac{v}{{2l}}\)
+ Một đầu cố định, một đầu tự do: \({l_{\min }} = \frac{\lambda }{4} \Leftrightarrow {f_{\min }} = \frac{v}{{4l}}\)
- Khoảng cách gần nhất giữa hai bụng sóng hoặc giữa hai nút sóng là \(\frac{\lambda }{2}\)
- Khoảng cách gần nhất giữa nút sóng và bụng sóng là \(\frac{\lambda }{4}\)
- Khoảng cách giữa n lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng là \(\Delta t = \left( {n - 1} \right)\frac{T}{2}\)
Bài tập ví dụ:
Trên một sợi dây đàn hồi dài 1,2 m, hai đầu cố định đang có sóng dừng, biết sóng truyền trên dây có tần số 100 Hz và tốc độ 80 m/s. Số bụng, số nút sóng trên dây là?
Hướng dẫn giải
Hai đầu cố định, điều kiện có sóng dừng là:
\(f = k\frac{v}{{2l}} \Leftrightarrow 100 = k\frac{{80}}{{2.1,2}} \Leftrightarrow k = 3\)
Vậy có 3 bụng sóng và 4 nút sóng.
Dạng 2: Bài toán liên quan đến phương trình sóng dừng
* Chọn gốc tọa độ trùng với nút sóng
- Phương trình tổng hợp tại M là \({u_M} = 2{\rm{a}}\sin \left( {\frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\)
- Biên độ dao động tổng hợp tại M là: \({A_M} = \left| {2{\rm{a}}\sin \left( {\frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)} \right|\)
Trong đó, x là khoảng cách từ M đến nút chọn làm gốc.
\({v_M} = - 2\omega \sin \left( {\frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)\sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\)
* Chọn gốc tọa độ trùng với bụng sóng
- Phương trình dao động tổng hợp tại M là: \({u_M} = 2{\rm{a}}\cos \left( {\frac{{2\pi y}}{\lambda }} \right)\cos \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\)
- Biên độ dao động tổng hợp tại M là: \({A_M} = \left| {2a\cos \left( {\frac{{2\pi y}}{\lambda }} \right)} \right|\)
Trong đó, y là khoảng cách từ M đến bụng chọn làm gốc.
\({v_M} = - 2\omega \cos \left( {\frac{{2\pi y}}{\lambda }} \right)\sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)\)
Lưu ý:
- Biên độ bụng sóng là \({A_b} = 2{\rm{a}}\)
- Biên độ nút sóng là \({A_n} = 0\)
- Biên độ điểm trung gian \(0 \le A \le 2{\rm{a}}\)
Bài tập ví dụ:
Một sóng dừng trên dây có bước sóng \(\lambda = 60cm\). Tại M trên dây là một bụng sóng và N cách M một đoạn là 10 cm. Tỉ số giữa biên độ của M so với N là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Chọn gốc tọa độ trùng với bụng sóng M => Biên độ của M là \({A_M} = 2{\rm{a}}\)
N cách M một đoạn là 10 cm => Biên độ của N là: \({A_N} = \left| {2a\cos \left( {\frac{{2\pi .10}}{{60}}} \right)} \right| = a\)
Suy ra tỉ số \(\frac{{{A_M}}}{{{A_N}}} = \frac{{2{\rm{a}}}}{a} = 2\)
Dạng 3: Xác định vận tốc, ly độ, biên độ dao động điều hòa trong sóng dừng.
Phương pháp
Phương trình sóng dừng trên sợi dây (đầu P cố định hoặc dao động nhỏ là nút sóng)
* Đầu Q cố định (nút sóng):
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại Q:
\({u_B} = Ac{\rm{os2}}\pi ft\) và \(u{'_B} = - Ac{\rm{os2}}\pi ft = Ac{\rm{os(2}}\pi ft - \pi )\)
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
\({u_M} = Ac{\rm{os(2}}\pi ft + 2\pi \frac{d}{\lambda })\) và \(u{'_M} = Ac{\rm{os(2}}\pi ft - 2\pi \frac{d}{\lambda } - \pi )\)
Phương trình sóng dừng tại M: \({u_M} = {u_M} + u{'_M}\)
\({u_M} = 2Ac{\rm{os}}(2\pi \frac{d}{\lambda } + \frac{\pi }{2})c{\rm{os}}(2\pi ft - \frac{\pi }{2}) = 2A{\rm{sin}}(2\pi \frac{d}{\lambda })c{\rm{os}}(2\pi ft + \frac{\pi }{2})\)
Biên độ dao động của phần tử tại M: \({A_M} = 2A\left| {c{\rm{os}}(2\pi \frac{d}{\lambda } + \frac{\pi }{2})} \right| = 2A\left| {{\rm{sin}}(2\pi \frac{d}{\lambda })} \right|\)
* Đầu Q tự do (bụng sóng):
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại Q: \({u_B} = u{'_B} = Ac{\rm{os2}}\pi ft\)
Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
\({u_M} = Ac{\rm{os(2}}\pi ft + 2\pi \frac{d}{\lambda })\) và \(u{'_M} = Ac{\rm{os(2}}\pi ft - 2\pi \frac{d}{\lambda })\)
Phương trình sóng dừng tại M: \({u_M} = {u_M} + u{'_M}\) ; \({u_M} = 2Ac{\rm{os}}(2\pi \frac{d}{\lambda })c{\rm{os}}(2\pi ft)\)
Biên độ dao động của phần tử tại M: \({A_M} = 2A\left| {{\rm{cos}}(2\pi \frac{d}{\lambda })} \right|\)
* Công thức tính biên độ dao động của 1 phần tử tại P cách 1 nút sóng đoạn d : \({A_P} = 2A\left| {\sin (2\pi \frac{d}{\lambda }} \right|\)
* Với x là khoảng cách từ M đến đầu nút sóng thì biên độ: \({A_M} = 2A\left| {{\rm{sin}}(2\pi \frac{x}{\lambda })} \right|\)
* Với x là khoảng cách từ M đến đầu bụng sóng thì biên độ: \({A_M} = 2A\left| {{\rm{cos}}(2\pi \frac{x}{\lambda })} \right|\)
* Tốc độ truyền sóng: \(v{\rm{ }} = \lambda f{\rm{ }} = \frac{\lambda }{T}\)
