1. MỘT SỐ CHÚ Ý
Đối với mạch chỉ có L, C thì u vuông pha với i
\({\left( {\frac{{{u_L}}}{{{U_{0L}}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{i}{{{I_0}}}} \right)^2} = 1\)
2. PHA U, I - VIẾT PHƯƠNG TRÌNH U, I
Phương pháp đại số
Bước 1: Xác định các giá trị I0, U0, ω
\({U_0} = {I_0}Z = \sqrt {{U_{0R}}^2 + {{\left( {{U_{0L}} - {U_{0C}}} \right)}^2}} \)
\(Z = \sqrt {{R^2} + {{\left( {{Z_L} - {Z_C}} \right)}^2}} \)
Bước 2: Xác định pha φu, φi
\(\tan \varphi = \tan \left( {{\varphi _u} - {\varphi _i}} \right) = \frac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R}\)
- \(\varphi > 0 \to {\varphi _u} > {\varphi _i}\) : u sớm pha φ so với i (ZL>ZC: mạch có tính cảm kháng)
- \(\varphi < 0 \to {\varphi _u} < {\varphi _i}\): u chậm pha φ so với i (ZL<ZC: mạch có tính dung kháng)
\(\varphi = 0 \to {\varphi _u} = {\varphi _i}\): u cùng pha với i (ZL=ZC: cộng hưởng điện)
Bước 3: Viết phương trình u, i theo đầu bài
Phương pháp vận dụng số phức ( Sử dụng máy tính casio fx570ES)
Cường độ dòng điện: \(i = {I_0}{\rm{cos}}\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) \Rightarrow i = {I_0}\angle {\varphi _i}\)
Điện áp: \(u = {U_0}{\rm{cos}}\left( {\omega t + {\varphi _i}} \right) \Rightarrow u = {U_0}\angle {\varphi _u}\)
Liên hệ giữa u và i: u=i\(\overline Z \)=i(R+(ZL-ZC) i) - trong đó: i là phần ảo của số phức
| Ví dụ 1: Mạch điện xoay chiều gồm một điện trở thuần R=50W, một cuộn thuần cảm có hệ số tự cảm \(L = \frac{1}{\pi }H\) và một tụ điện có điện dung \(C = \frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }F\) mắc nối tiếp. Biết rằng dòng điện qua mạch có dạng \(i = 5c{\rm{os100}}\pi {\rm{t(A)}}\). Viết biểu thức điện áp tức thời giữa hai đầu mạch điện. |
Cách 1: Phương pháp đại số
Ta có: \(R = 50\Omega ;{Z_L} = \omega L = 100\Omega ;{Z_C} = \frac{1}{{\omega C}} = 50\Omega \to Z = \sqrt {{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}} = 50\sqrt 2 \Omega \)
\({U_0} = {I_0}Z = 5.50\sqrt 2 = 250\sqrt 2 V\)
\(\tan \varphi = \frac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \frac{{100 - 50}}{{50}} = 1 \to \varphi = \frac{\pi }{4} \to {\varphi _u} = {\varphi _i} + \frac{\pi }{4}\)
\( \to u = 250\sqrt 2 {\rm{cos(100}}\pi {\rm{t + }}\frac{\pi }{4})V\)
Cách 2: Phương pháp sử dụng casio
Với máy fx570ES :
- Bước 1: Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX.
- Bước 2: Bấm SHIFT MODE \( \vee \) 3 2 : dạng hiển thị toạ độ cực:( r∠Θ )
- Bước 3: Chọn đơn vị đo góc là độ (D) hoặc rad (R) , bấm: SHIFT MODE 3 (hoặc 4 - rad) màn hình hiển thị D hoặc R
- Bước 4: Nhập liệu
Ta có: u=i\(\overline Z \)=I0∠φiX(R+(ZL−ZC))i=5∠0X(50+50i) ( Phép NHÂN hai số phức)
Nhập máy: 5 SHIFT (-) 0 X ( 50 + 50 ENG i )
- Bước 5: Gọi kết quả: Shift 2 3 = \(353.55339\angle 45 = 250\sqrt 2 \angle 45\)
Vậy biểu thức tức thời điện áp của hai đầu mạch:
\(u = 250\sqrt 2 {\rm{cos(100}}\pi {\rm{t + }}\frac{\pi }{4})V\)
| Ví dụ 2: Mạch điện xoay chiều gồm một điện trở thuần R=40W, \(L = \frac{1}{\pi }H\),\(C = \frac{{{{10}^{ - 4}}}}{{0,6\pi }}F\) mắc nối tiếp điện áp 2 đầu mạch \(u = 100\sqrt 2 {\rm{cos100}}\pi {\rm{t(V)}}\). Cường độ dòng điện qua mạch là: |
Cách 1: Phương pháp đại số
Ta có: \(R = 40\Omega ;{Z_L} = \omega L = 100\Omega ;{Z_C} = \frac{1}{{\omega C}} = 60\Omega \to Z = \sqrt {{R^2} + {{({Z_L} - {Z_C})}^2}} = 40\sqrt 2 \Omega \)
\({I_0} = \frac{{{U_0}}}{Z} = \frac{{100\sqrt 2 }}{{40\sqrt 2 }} = 2,5A\)
\(\tan \varphi = \frac{{{Z_L} - {Z_C}}}{R} = \frac{{100 - 40}}{{40}} = 1 \to \varphi = \frac{\pi }{4} \to {\varphi _i} = {\varphi _u} - \frac{\pi }{4}\)
\( \to i = 2,5{\rm{cos(100}}\pi {\rm{t - }}\frac{\pi }{4})V\)
Cách 2: Phương pháp sử dụng casio
Với máy fx570ES :
- Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện: CMPLX.
- Bấm SHIFT MODE 3 2 : dạng hiển thị toạ độ cực:( r∠Θ )
- Chọn đơn vị đo góc là độ (D), bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị D
Ta có: \(i = \frac{u}{{\overline Z }} = \frac{{{U_0}\angle {\varphi _u}}}{{(R + ({Z_L} - {Z_C})i)}} = \frac{{100\sqrt 2 \angle 0}}{{40 + 40i}}\) ( Phép CHIA hai số phức)
Nhập máy: \(100\sqrt 2 \)SHIFT (-) 0 : ( 40 + 40 ENG i ) =
- Gọi kết quả: Shift 2 3 = Hiển thị: \(2,5\angle - 45\)
Vậy biểu thức tức thời điện áp của hai đầu mạch:
\(i = 2,5{\rm{cos(100}}\pi {\rm{t - }}\frac{\pi }{4})V\)
3. BÀI TOÁN VỀ CỘNG HƯỞNG
Điều kiện để có cộng hưởng điện:
\({Z_L} = {Z_C} \Leftrightarrow \omega L = \frac{1}{{\omega C}}\) hay \({\omega ^2}LC = 1\). Khi đó:
thì \(\left\{ \begin{array}{l}Z = {Z_{\min }} = R\\I = {I_{\max }} = \frac{U}{R}\end{array} \right.\)
\({P_{\max }} = \frac{{{U^2}}}{R} = I_{\max }^2.R\)
\({U_R} = U;{U_L} = {U_C};{U_{LC}} = 0;\varphi = 0\)
u cùng pha với i (cùng pha với uR), u chậm pha \(\frac{\pi }{2}\) so với uL, u nhanh pha \(\frac{\pi }{2}\) so với uC.
Bài tập ví dụ:
Một đoạn mạch gồm \(R = 50\Omega \), cuộn cảm có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung \(C = \frac{{{{2.10}^{ - 4}}}}{\pi }\mu F\) mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có điện áp hiệu dụng 110 V, tần số 50 Hz thì thấy u và i cùng pha với nhau. Tính độ tự cảm củam cuộn cảm và công suất tiêu thụ của mạch.
Hướng dẫn giải
Ta có: \({Z_C} = \dfrac{1}{{\omega C}} = \dfrac{\pi }{{2\pi {{.50.2.10}^{ - 4}}}} = 50\Omega \)
u và i cùng pha => xảy ra cộng hưởng
\({Z_L} = {Z_C} = 50\Omega \\\Leftrightarrow \omega L = 50 \Leftrightarrow L = \dfrac{{50}}{{2\pi .50}} = \dfrac{1}{{2\pi }}H\)
Công suất tiêu thụ của mạch:
\(P = \dfrac{{{U^2}}}{R} = \dfrac{{{{110}^2}}}{{50}} = 242W\)
Sử dụng giải các bài toán liên quan đến sự lệch pha giữa các điện áp.
4. BÀI TOÁN RLC MẮC NỐI TIẾP BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ VECTO
a. Cách vẽ giản đồ
b. Một số định lí sử dụng trong tam giác thường
Tùy vào từng bài cụ thể, có thể vẽ các véctơ điện áp nối tiếp nhau dựa theo thứ tự của từng mạch điện hoặc vẽ chung gốc. Muốn có mối liên hệ của đại lượng cần tìm và đại lượng đã cho, thường dùng một số liên hệ sau:
- Nếu là tam giác thường:
- Định lí hàm số cosin: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.c{\rm{osA}}\)
- Định lí hàm số sin: \(\frac{a}{{{\mathop{\rm sinA}\nolimits} }} = \frac{b}{{{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = \frac{c}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}\)
- Nếu là tam giác vuông:
- Định lí hàm sin, cos, tan, cotg
- Định lí pitago: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)
- \(\frac{1}{{h_a^2}} = \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}\)
- \(A{H^2} = HC.HB\)
- \(A{C^2} = CH.CB\)
- \(AC.AB = AH.CB\)
c. Ví dụ
Ví dụ: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ, cuộn dây thuần cảm L, tụ điện có điện dung C, điện trở có giá trị R. Hai đầu A, B duy trì một điện áp \(u = 100\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {100\pi t} \right)V\). Cường độ dòng điện chạy trong mạch có giá trị hiệu dụng là 0,5A. Biết điên áp giữa hai điểm A, M sớm pha hơn dòng điện một góc \(\frac{\pi }{6}ra{\rm{d}}\) . Điện áp giữa hai điểm M, B chậm pha hơn điện áp giữa 2 đầu AB một góc \(\frac{\pi }{6}ra{\rm{d}}\).
a. Tìm R, ZC?
b. Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch?
c. Viết biểu thức điện áp AM?
Lời giải:
Chọn trục dòng điện làm trục pha
Theo bài ra uAM sớm pha \(\frac{\pi }{6}\)so với cường độ dòng điện, uMB chậm pha hơn uAB một góc \(\frac{\pi }{6}\), mà uMB lại chậm pha so với i một góc \(\frac{\pi }{2}\)nên uAB chậm pha \(\frac{\pi }{3}\)so với dòng điện
=> Ta có giản đồ véctơ:
Từ giản đồ véctơ, ta có:
\({U_{AM}} = {U_{AB}}.\tan \frac{\pi }{6} = \frac{{100}}{{\sqrt 3 }}V\)
\({U_{MB}} = {U_C} = {U_{AB}}.\cos \frac{\pi }{6} = 100.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 50\sqrt 3 V\)
\({U_R} = {U_{AM}}.\cos \frac{\pi }{6} = 50V\)
a. Ta có: \(R = \frac{{{U_R}}}{I} = \frac{{50}}{{0,5}} = 100\Omega \)
\({Z_C} = \frac{{{U_C}}}{I} = \frac{{50\sqrt 3 }}{{0,5}} = 100\sqrt 3 \)
b. \({I_0} = 0,5\sqrt 2 A\)
Độ lệch pha của u so với i: \(\varphi = {\varphi _u} - {\varphi _i} = - \frac{\pi }{3} \to {\varphi _i} = {\varphi _u} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3}\)
=> Biểu thức của i: \(i = 0,5\sqrt 2 {\rm{cos}}\left( {100\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)A\)
c. \({U_{0{\rm{A}}M}} = {U_{{\rm{A}}M}}\sqrt 2 = 100\sqrt {\frac{2}{3}} V\)
Độ lệch pha của uAM so với i : \({\varphi _{AM}} - {\varphi _i} = \frac{\pi }{6} \to {\varphi _{AM}} = \frac{\pi }{6} + {\varphi _i} = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2}\)
=> Biểu thức của uAM: \({u_{AM}} = 100\sqrt {\frac{2}{3}} {\rm{cos}}\left( {100\pi t + \frac{\pi }{2}} \right)V\)
5. GIẢI TOÁN RLC XOAY CHIỀU BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG MÁY TÍNH
a. Sự tương quan giữa điện xoay chiều và số phức
* Như vậy ta có thể xem R như là một số phức chỉ có phần thực a (vì nằm trên trục hoành), L và C là số phức chỉ có phần ảo b (vì nằm trên trục tung). Nhưng chúng khác nhau là L nằm ở phần dương nên được biểu diễn là bi. C nằm ở phần âm nên được biểu diễn là –bi. u và i được xem như là một số phức x và được viết dưới dạng lượng giác \(x = {X_0}\angle \varphi \)
b. Các công thức tính toán cơ bản
Khi giải các bài tập điện xoay chiều bằng số phức, ta xem đoạn mạch này như là đoạn mạch một chiều với các phần tử R, L, C mắc nối tiếp.
Chúng ta chỉ sử dụng một định luật duy nhất để giải, đó là định luật Ôm trong mạch điện một chiều.
\(I = \frac{U}{R}{\rm{ }}hay{\rm{ }}U = I.R{\rm{ }}hay{\rm{ }}R = \frac{U}{I}\)
Trong đó R không chỉ riêng mỗi điện trở mà chỉ chung tất cả những vật có trở kháng (R,ZL, ZC….)
Trong chương trình phổ thông chúng ta chỉ học đoạn mạch xoay chiều mắc nối tiếp cho nên trong đoạn mạch một chiều gồm R1, R2, ……, Rn nối tiếp ta có:
\(\begin{array}{*{20}{c}}{R{\rm{ }} = {\rm{ }}{R_1} + {\rm{ }}{R_2} + {\rm{ }} \ldots \ldots + {\rm{ }}{R_n}}\\{U{\rm{ }} = {\rm{ }}{U_1} + {\rm{ }}{U_2} + {\rm{ }} \ldots \ldots + {\rm{ }}{U_n}}\\{I{\rm{ }} = {\rm{ }}{I_1} = {\rm{ }}{I_2} = {\rm{ }} \ldots \ldots . = {\rm{ }}{I_n}}\end{array}\)
c. Thao tác trên máy
=> Để thực hiện tính toán số phức trên máy chúng ta phải vào mode CMPLX bằng cách ấn (Mode)(2).
Trên màn hình hiện CMPLX
Trong mode CMPLX:
- Để nhập ký hiệu i ta nhấn ENG
- Để nhập ký hiệu ngăn cách \(\angle \) ta nhấn (SHIFT)((-))
Như ta đã biết, số phức có hai cách ghi, đó là đại số và lượng giác
- Khi máy tính hiển thị ở dạng đại số (a+bi) thì chúng ta sẽ biết được phần thực và phần ảo của số phức
- Khi máy hiển thị ở dạng lượng giác (\(x = {X_0}\angle \varphi \)) thì chúng ta sẽ biết được độ dài (modul) và góc φ (argumen) của số phức.
- Mặc định máy tính sẽ hiển thị kết quả dưới dạng đại số. Để chuyển sang dạng lượng giác ta nhấn (SHIFT)(2), chọn (3), nhấn (=). Kết quả sẽ được chuyển sang dạng lượng giác.
d. Những lỗi thường gặp
- Khi cài đặt máy ở chế độ đơn vị đo góc nào thì phải nhập đơn vị đo góc ấy.
- Trong mode độ (màn hình hiện lên chữ D), ta phải nhập đơn vị là độ (ví dụ 450, 600, …..)
- Trong mode rad (màn hình hiện lên chữ R), ta phải nhập đơn vị là độ (ví dụ π/4, π/3, …..)
- Cách cài đặt máy: Nhấn ((SHIFT)(Mode))
Nhấn (3) cài đặt máy ở đơn vị đo là độ.
Nhấn (4) cài đặt máy ở đơn vị đo là radian.
- Trên máy Fx 570 ES, để bấm nhanh ta thường ấn dấu chia thay cho dấu phân số. Chính vì vậy trong quá trình bấm máy thường xuất hiện những lỗi như sau:
$\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\angle \frac{\pi }{4}{\rm{ }}khac{\rm{ 1:2}}\angle \frac{\pi }{4}\\
\frac{1}{2}\angle \frac{\pi }{4}{\rm{ }}khac{\rm{ }}\frac{1}{2}\angle \pi :4\\
{\rm{3 + 2i }}{\rm{ }}khac{\rm{ 3 + (2i)}}
\end{array}$
- Cách khắc phục: Sử dụng dấu ngoặc
e. Ví dụ
| Ví dụ 1: Khi đặt hiệu điện thế không đổi 30V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm \(1/4\pi \left( H \right)\) thì dòng điện trong mạch là dòng điện một chiều có cường độ 1A. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch này điện áp \(u = 150\sqrt 2 cos120\pi t{\rm{ }}\left( V \right)\) thì biểu thức cường độ dòng điện qua mạch là: A. \(i = 5\sqrt 2 cos\left( {120\pi t--\frac{\pi }{4}} \right)\left( A \right)\) B. \(i = 5cos\left( {120\pi t + \frac{\pi }{4}} \right){\rm{ }}\left( A \right)\) C. \(i = 5\sqrt 2 cos\left( {120\pi t + \frac{\pi }{4}} \right){\rm{ }}\left( A \right)\) D. \(i = 5cos\left( {120\pi t--\frac{\pi }{4}} \right){\rm{ }}\left( A \right)\) |
Hướng dẫn giải:
| Cách giải | Hướng dẫn bấm máy và kết quả |
| R = U1/I = 30/1 = 30Ω ω = 120π (rad/s), R = 30Ω, ZL=30Ω, tổng trở phức là Z = 30 + 30i - Suy ra \(i = \frac{U}{Z} = {\rm{ }}\frac{{150\sqrt 2 }}{{\left( {30{\rm{ }} + {\rm{ }}30i} \right)}}\) | 150√2: (30+30(ENG))= (SHIFT)(2)(3)= Kết quả: \(5\angle - \frac{\pi }{4}\) có nghĩa là i = 5cos(120πt – π/4) (A) => Chọn D |
Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ
Có R = 100Ω, L = 0,318H, C = 15,9μF.
Điện áp hai đầu mạch có dạng \({u_{AB}} = {\rm{ }}200\sqrt 2 cos\left( {100\pi t{\rm{ }} - {\rm{ }}7\pi /12} \right){\rm{ }}\left( V \right).\)
Viết biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch MB.
A. \({u_{MB}} = {\rm{ }}200\sqrt 2 cos\left( {100\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}7\pi /12} \right){\rm{ }}\left( V \right)\)
B. \({u_{MB}} = {\rm{ }}200cos\left( {100\pi t{\rm{ }} + {\rm{ }}7\pi /12} \right){\rm{ }}\left( V \right)\)
C. \({u_{MB}} = {\rm{ }}200cos\left( {100\pi t{\rm{ }} - {\rm{ }}5\pi /6} \right){\rm{ }}\left( V \right)\)
D. \({u_{MB}} = {\rm{ }}200cos\left( {100\pi t{\rm{ }} - {\rm{ }}5\pi /12} \right){\rm{ }}\left( V \right)\)
Hướng dẫn giải
| Cách giải | Hướng dẫn bấm máy và kết quả |
| ω = 100π (rad/s), ZC = 200Ω, ZL = 100Ω, R = 100 Ω, - Tổng trở phức của AB là: ZAB = 100+100i - 200i - Tổng trở phức của MB là: ZMB = 100i - 200i - \(i = \frac{{{u_{AB}}}}{{{Z_{AB}}}} = \frac{{200\sqrt 2 \angle - \frac{{7\pi }}{{12}}}}{{100 + (100 - 200i)}} = \) - Có i rồi ta suy ra \({u_{MB}} = i.{Z_{MB}} = {u_{AB}}.\frac{{{Z_{MB}}}}{{{Z_{AB}}}} = 200\angle - \frac{{5\pi }}{6}\) | 200√2(SHIFT)((-)) \( - \frac{{7\pi }}{{12}}\) :(100+100(ENG)-200(ENG)) = x(100(ENG)-200(ENG)) = (SHIFT)(2)(3)= Kết quả: \(200\angle - \frac{{5\pi }}{6}\) \({u_{MB}} = {\rm{ }}200cos(100\pi t{\rm{ }} - {\rm{ }}5\pi /6){\rm{ }}\left( V \right)\) |
6. BÀI TOÁN HỘP ĐEN
a. Phương pháp đại số
Bước 1: Xác định các thông số có mặt trong hộp đen X
Sử dụng các kiến thức về độ lệch pha giữa các đại lượng tức thời:
+ Khi ux cùng pha với i thì hộp đen X: chỉ chứa R hoặc mạch RLC có cộng hưởng điện.
+ Khi ux nhanh pha hơn i một góc \(\frac{\pi }{2}\) hay i chậm pha hơn ux một góc \(\frac{\pi }{2}\)thì hộp đen X chỉ chứa L hoặc L và C (ZL>ZC)
+ Khi ux chậm pha hơn i một góc \(\frac{\pi }{2}\) hay i nhanh pha hơn ux một góc \(\frac{\pi }{2}\)thì hộp đen X chỉ chứa C hoặc L và C (ZL<ZC)
+ Khi ux nhanh pha hơn i một góc φ (khác 0 và \(\frac{\pi }{2}\)) thì hộp đen X chứa RL hoặc RLC (ZL>ZC)
+ Khi ux chậm pha hơn i một góc φ (khác 0 và \(\frac{\pi }{2}\)) thì hộp đen X chứa RC hoặc RLC (ZL<ZC)
+ ...
Bước 2: Xác định các giá trị của các thông số trong hộp đen X
Sử dụng phương pháp đại số hoặc phương pháp giản đồ véctơ.
b. Phương pháp Casio
Dùng máy tính Casio giải bài toán hộp đen
