PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa
Phương pháp giải.
Tìm A, ω, φ, f, x-v-pha tại thời điểm t.
- Tìm A:
+ Đề cho PTDĐ: $x = Ac{\text{os(}}\omega {\text{t + }}\varphi {\text{) }} \to {\text{A}}$
+ Tìm A: $\left\{ \begin{array}{l}
{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}\\
A = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{\omega } = \dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{L}{2} = \dfrac{S}{4} = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}^2}}{{{a_{{\rm{max}}}}}}
\end{array} \right.$
Trong đó:
+ L: chiều dài quỹ đạo của dao động
+ S: quãng đường vật đi được trong một chu kì.
+ Đề cho x, v, ω hoặc v, a, ω:
Ta sử dụng công thức độc lập với thời gian: ${A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}{\text{ }}{\text{, }}{A^2} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}$
- Tìm T: $T = \dfrac{{\Delta t}}{N},f = \dfrac{N}{{\Delta t}}$ với N là tổng số dao động trong thời gian ∆t
- Tìm ω: Đề cho f hoặc T: Sử dụng công thức: $\omega = \dfrac{{2\pi }}{T} = 2\pi f$
- Xác định x-v-a-pha dao động tại thời điểm t:
+ li độ x: $x = Ac{\text{os(}}\omega {\text{t + }}\varphi {\text{)}}$
+ vận tốc v: $v = x' = - \omega A\sin (\omega t + \varphi ) = \omega Acos(\omega t + \varphi + \dfrac{\pi }{2})$
hoặc sử dụng công thức: ${A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}$
+ gia tốc a: $a = v' = - {\omega ^2}A\cos (\omega t + \varphi ) = - {\omega ^2}x$
+ Pha dao động: ωt+φ
II. Xác định li độ, vận tốc, gia tốc
1. Phương pháp giải bài toán cho t tìm x, v, a và ngược lại
Sử dụng công thức x, v, a theo thời gian t:
$x = Ac{\text{os(}}\omega {\text{t + }}\varphi {\text{)}}$
$v = x' = - \omega A\sin (\omega t + \varphi ) = \omega Acos(\omega t + \varphi + \dfrac{\pi }{2})$
$a = v' = - {\omega ^2}A\cos (\omega t + \varphi ) = - {\omega ^2}x$
2. Bài tập cho x, v hoặc a tìm các đại lượng còn lại tại cùng một thời điểm.
Sử dụng hệ thức độc lập
- Hệ thức độc lập A-x-v: ${A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}{\text{ }}$
- Hệ thức độc lập A-a-v: ${A^2} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}$
- Quan hệ giữa a-x: a=-ω2x
3. Bài tập cho x, v hoặc a tại một thời điểm t1 tìm x, v, a tại thời điểm trước (hoặc sau) đó T/4, T/2, 3T/4, ...
Biết tại thời điểm t vật có li độ x = x0.
* Từ phương trình dao động điều hoà: x = Acos(wt + j) cho x = x0
Lấy nghiệm wt + j = a với $0 \leqslant \alpha \leqslant \pi $ ứng với x đang giảm (vật chuyển động theo chiều âm vì v < 0) hoặc wt + j = - a ứng với x đang tăng (vật chuyển động theo chiều dương)
* Li độ và vận tốc dao động sau (trước) thời điểm đó Dt giây là
$\left\{ \begin{gathered}{\text{x }} = {\text{ Acos}}( \pm \omega \Delta t + \alpha ) \hfill \\ v = - \omega {\text{A}}\sin ( \pm \omega \Delta t + \alpha ) \hfill \\\end{gathered} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{gathered}{\text{x }} = {\text{ Acos}}( \pm \omega \Delta t - \alpha ) \hfill \\ v = - \omega {\text{A}}\sin ( \pm \omega \Delta t - \alpha ) \hfill \\\end{gathered} \right.$
1. Viết phương trình dao động điều hòa
a. Phương pháp.
Phương trình dao động tổng quát: \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}Acos\left( {\omega t{\rm{ }} + {\rm{ }}\varphi } \right)\)
- Bước 1: Tìm A: $\left\{ \begin{array}{l}
A = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{\omega } = \dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{\omega ^2}}} = \dfrac{L}{2} = \dfrac{S}{4} = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}^2}}{{{a_{{\rm{max}}}}}}\\
{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {\dfrac{a}{{{\omega ^4}}}^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}}
\end{array} \right.$
- L: chiều dài quỹ đạo của dao động
- S: quãng đường vật đi được trong một chu kì
- Bước 2: Tìm Tìm \(\omega\): \(\omega = \sqrt {\dfrac{k}{m}} = 2\pi f = \dfrac{{2\pi }}{T} = \sqrt {\dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{A}} = \dfrac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{A} = \dfrac{{{a_{{\rm{max}}}}}}{{{v_{{\rm{max}}}}}} = \sqrt {\dfrac{{{v^2}}}{{{A^2} - {x^2}}}} \)
Trong đó:
- Chu kì T: \(T = \dfrac{t}{N}\)
- Tần số f: \(f = \dfrac{N}{t}\)
- N là số dao động vật thực hiện được trong khoảng thời gian t
- Bước 3: Tìm \(\varphi \)
Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = Ac{\rm{os}}\varphi \\{\rm{v = - A}}\omega {\rm{sin}}\varphi \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{{{x_0}}}{A}\\\sin \varphi = - \dfrac{v}{{A\omega }}\end{array} \right. \to \varphi = ?\)
- nếu \(v > 0 \to \sin \varphi < 0\) vật chuyển động theo chiều dương
- nếu \(v < 0 \to \sin \varphi > 0\) vật chuyển động theo chiều âm
Ta có thể thay đổi thứ tự các bước tùy theo tính chất đề bài.
b. Ví dụ:
| Ví dụ 1: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo trục Ox (VTCB là O) với biên độ 4cm và tần số 10Hz. Tại thời điểm t = 0, vật có li độ 4cm. Phương trình dao động của vật là: A. \(x = 4c{\rm{os(20}}\pi {\rm{t + }}\pi {\rm{)}}\) B. \(x = 4c{\rm{os(20}}\pi t{\rm{)}}\) C. \(x = 4c{\rm{os(}}10{\rm{t + }}\pi {\rm{)}}\) D. \(x = 4c{\rm{os(10t)}}\) |
Hướng dẫn:
Ta có:
\(A{\rm{ }} = {\rm{ }}4cm\)
\(f = 10{\rm{ }}Hz \to \omega = 2\pi f = 2\pi .10 = 20\pi {\rm{ }}ra{\rm{d}}/s\)
Tại t = 0: \(x = A \to \varphi = 0\)
=> Phương trình dao động : \(x = 4c{\rm{os(20}}\pi t{\rm{)}}\)
Chọn B
| Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4s chất điểm thực hiện được 100 dao động thành phần. Chọn gốc thời gian lúc vật đi qua vị trí có li độ \(x = 2cm\) theo chiều âm với tốc độ \(40\sqrt 3 cm/s\). Phương trình dao động của chất điểm là: A. \(x = 0,04cos(20t + \dfrac{\pi }{3}){\rm{ }}cm\) B. \(x = 4cos(10\pi t + \dfrac{\pi }{3}){\rm{ }}cm\) C. \(x = 0,04cos(10\pi t + \dfrac{\pi }{3}){\rm{ }}cm\) D. \(x = 4cos(20t + \dfrac{\pi }{3}){\rm{ }}cm\) |
Hướng dẫn:
Chu kì: \(T = \dfrac{t}{N} = \dfrac{{31,4}}{{100}} = 0,314{\rm{s}}\)
\( \to \omega = \dfrac{{2\pi }}{T} = \dfrac{{2\pi }}{{0,314}} = 20{\rm{r}}a{\rm{d}}/s\)
Sử dụng hệ thức độc lập A-x-v:
\(\begin{array}{l}{A^2} = {x^2} + \dfrac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {2^2} + \dfrac{{{{(40\sqrt 3 )}^2}}}{{{{20}^2}}} = 16\\ \to A = 4cm\end{array}\)
Tại t = 0: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\v < 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}Ac{\rm{os}}\varphi {\rm{ = 2}}\\{\rm{sin}}\varphi {\rm{ > 0}}\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\varphi {\rm{ = }}\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\\{\rm{sin}}\varphi {\rm{ > 0}}\end{array} \right. \to \varphi = \dfrac{\pi }{3}\)
=> Phương trình dao động: \(x = 4cos(20t + \dfrac{\pi }{3}){\rm{ }}cm\)
Chọn D
2. Cho phương trình vận tốc hoặc gia tốc - Tìm phương trình li độ x
a. Phương pháp:
Giả sử phương trình của v và a là: \(\left\{ \begin{array}{l}v = \omega Ac{\rm{os(}}\omega {\rm{t + }}{\varphi _v})\\a = \omega {\rm{Acos(}}\omega {\rm{t + }}{\varphi _a})\end{array} \right.\)
- Bước 1: Tìm A, ω: từ phương trình của v hoặc a.
- Bước 2: Tìm \({\varphi _x}:\left\{ \begin{array}{l}{\varphi _x} = {\varphi _v} - \frac{\pi }{2}\\{\varphi _x} = {\varphi _a} - \pi \end{array} \right.\)
(do vận tốc nhanh pha hơn x một góc \(\pi /2\) và gia tốc a ngược pha với x)
b. Ví dụ:
Cho phương trình của vận tốc là \(v = 8\pi cos(2\pi t + \frac{\pi }{3})cm/s\). Tìm phương trình của li độ x.
Hướng dẫn:
Từ phương trình vận tốc, ta có: \(\omega = 2\pi ra{\rm{d}}/s\) , \(A = \frac{{{v_{{\rm{max}}}}}}{\omega } = \frac{{8\pi }}{{2\pi }} = 4cm\)
\({\varphi _x} = {\varphi _v} - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{6}\)
=> Phương trình của li độ x: \(x = 4cos(2\pi t - \frac{\pi }{6})cm\)
IV. Xác định thời gian
1. Xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ t1 đến t2
Phương pháp
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
- Cách 1: Sử dụng đường tròn lượng giác
+ Bước 1: Xác định góc ∆φ
+ Bước 2: \(\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \frac{{\Delta \varphi }}{{\frac{{2\pi }}{T}}} = \frac{{\Delta \varphi }}{{2\pi }}.T = \frac{{\Delta {\varphi ^0}}}{{360}}.T\)
Trong đó:
φ: góc theo rad
φ0: góc theo độ
Cách 2: Sử dụng trục thời gian trên đường thẳng được suy ra từ đường tròn.
Phương pháp
Trong 1 chu kì T vật đi qua x hai lần nếu không kể đến chiều chuyển động, nếu kể đến chiều chuyển động thì đi qua một lần.
- Qua x không kể đến chiều:
+ n chẵn: \(t = \frac{{n - 2}}{2}T + {t_2}\) với t2: thời gian để vật đi qua vị trí x lần thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu.
+ n lẻ: \(t = \frac{{n - 1}}{2}T + {t_1}\) với t1: thời gian để vật đi qua vị trí x lần thứ 1 kể từ thời điểm ban đầu.
- Qua x kể đến chiều (theo chiều + hoặc -)
$t = (n - 1)T + {t_1}$ với t1 là thời gian để vật đi qua vị trí x theo chiều đầu bài yêu cầu lần thứ 1 kể từ thời điểm ban đầu.
Xác định t1, t2 như mục 1
3. Xác định số lần vật đi qua vị trí đã biết từ thời điểm t1 đến thời điểm t2
- Cách 1: Phương pháp đại số
+ Giải phương trình lượng giác được các nghiệm
+ Từ t1 < t ≤ t2 Þ Phạm vi giá trị của (Với k Î Z)
+ Tổng số giá trị của k chính là số lần vật đi qua vị trí đó.
- Cách 2: Phương pháp ứng dụng vòng tròn lượng giác
+ Bước 1: Xác định T
+ Bước 2: tách \(\Delta t = aT + {t^*}\)
+ Bước 3: Xác định số lần vật qua vị trí x trong khoảng thời gian t* (n*)
=> Số lần vật qua vị trí x:
+ n= 2a + n* (nếu không kể đến chiều chuyển động)
+ n= a+n* (nếu qua vị trí biên hoặc khi kể đến chiều chuyển động)
Trong mỗi chu kỳ (mỗi dao động) vật qua mỗi vị trí biên 1 lần còn các vị trí khác 2 lần ( nếu không kể đến chiều chuyển động) và 1 lần (nếu kể đến chiều chuyển động).
V. Ứng dụng vòng tròn lượng giác - Bài tập quãng đường - Tốc độ trung bình
1. Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2 - Tốc độ trung bình trong khoảng thời gian \(\Delta t\)
Chú ý:
+ Trong 1 chu kì, vật đi được quãng đường: \(S = 4A\)
+ Trong n chu kì, vật đi được quãng đường: \(S = 4nA\)
+ Trong \(\dfrac{1}{2}\) chu kì, vật đi được quãng đường: \(2A\)
Phương pháp giải:
- Cách 1: Phương pháp đại số
+ Bước 1: Xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {\rm{Aco}}{\mathop{\rm s}\nolimits} (\omega {t_1} + \varphi )\\{v_1} = - \omega A{\rm{sin}}(\omega {t_1} + \varphi )\end{array} \right.va \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = {\rm{Aco}}{\mathop{\rm s}\nolimits} (\omega {t_2} + \varphi )\\{v_2} = - \omega A{\rm{sin}}(\omega {t_2} + \varphi )\end{array} \right.\)
(v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
+ Bước 2: Phân tích: t2 – t1 = nT/2 + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < T/2)
+ Bước 3: Tính quãng đường:
Quãng đường đi được trong thời gian nT/2 là S1 = 2nA, trong thời gian Dt là S2.
Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2
( Tính S2 bằng cách định vị trí x1, x2 và chiều chuyển động của vật trên trục Ox)
- Cách 2: Phương pháp ứng dụng vòng tròn lượng giác
+ Bước 1: Phân tích: t2 – t1 = nT/4 + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < T/4)
+ Bước 2: Tính quãng đường:
Quãng đường đi được trong thời gian nT/4 là S1 = nA, trong thời gian Dt là S2.
Quãng đường tổng cộng là S = S1 + S2
Tính S2 bằng cách xác định trên vòng tròn lượng giác (tọa độ và hướng của x1, x2)
- Tốc độ trung bình của vật đi từ thời điểm t1 đến t2:
\({v_{tb}} = \dfrac{S}{{{t_2} - {t_1}}}\) với S là quãng đường tính như trên.
Tốc độ trung bình trong 1 chu kì: \({v_{tb}} = \dfrac{{4A}}{T} = \dfrac{{4A}}{{\dfrac{{2\pi }}{\omega }}} = \dfrac{{2A\omega }}{\pi } = \dfrac{{2{v_{{\rm{max}}}}}}{\pi }\)
2. Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian \(\Delta t\) - tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất trong khoảng thời gian \(\Delta t\)
Phương pháp giải:
Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
* Trường hợp: 0 < Dt < T/2
- Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều.
+ Góc quét: Dj = wDt.
+ Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 1)
\({S_{M{\rm{ax}}}} = 2{\rm{A}}\sin \dfrac{{\Delta \varphi }}{2}\)
+ Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 2)
\({S_{Min}} = 2A(1 - c{\rm{os}}\dfrac{{\Delta \varphi }}{2})\)
* Trong trường hợp: Dt > T/2
Tách \(\Delta t = n\dfrac{T}{2} + \Delta t'\) trong đó \(n \in {N^*};0 < \Delta t' < \dfrac{T}{2}\)
+ Trong thời gian \(n\dfrac{T}{2}\) quãng đường luôn là 2nA
+ Trong thời gian Dt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên.
+ Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Dt:
\({v_{tbM{\rm{ax}}}} = \dfrac{{{S_{M{\rm{ax}}}}}}{{\Delta t}}\) và \({v_{tbMin}} = \dfrac{{{S_{Min}}}}{{\Delta t}}\) với SMax; SMin tính như trên.
