Hình thoi

Vì chu vi hình thoi là $16\,cm$ nên cạnh hình thoi có độ dài $16:\,4 = 4\,cm$ . Suy ra $AD = 4\,cm$ .

Xét tam giác $AHD$ vuông tại $H$ có $AH = \dfrac{1}{2}AD \Rightarrow \widehat {ADH} = 30^\circ$ (tính chất)

Suy ra $\widehat {DAB} = 180^\circ  - \widehat {ADC} = 180^\circ  - 30^\circ  = 150^\circ$ (vì $ABCD$ là hình thoi)

Nên hình thoi $ABCD$ có $\widehat D = \widehat B = 30^\circ ;\,\widehat A = \widehat C = 150^\circ$ (vì hai góc đối bằng nhau).

+ Xét tam giác $ABC$ có $MN$ là đường trung bình nên $MN{\rm{//}}AC;\,MN = \dfrac{1}{2}AC$  (1)

Tương tự ta có $PQ$ là đường trung bình tam giác $ADC$ nên $PQ{\rm{//}}AC;\,PQ = \dfrac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN{\rm{//}}PQ;\,MN = PQ \Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành.

Để hình bình hành $MNPQ$ là hình thoi ta cần có $MN = MQ$.

Mà $MN = \dfrac{1}{2}AC\,\left( {cmt} \right);\,MQ = \dfrac{1}{2}BD$ (do $MQ$ là đường trung bình tam giác $ABD$ )

Suy ra $AC = BD$ .

Vậy để hình bình hành $MNPQ$ là hình thoi thì $AC = BD$.

Giả sử $ABCD$ là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại $H$ và $AC = 10cm,BD = 24cm.$

Do $ABCD$ là hình thoi nên:

 $AC \bot BD;AH = \dfrac{1}{2}AC$$= \dfrac{1}{2}.10 = 5\left( {cm} \right);$$\,\,HB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.24 = 12\left( {cm} \right).$

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ ta có: $A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169$ 

Suy ra $AB = 13\,cm$.

Vì $M'$  đối xứng $M$ qua $D$ nên $DM = DM'$  (1).

$M,D$ lần lượt là trung điểm của $BC,AB$ nên $MD$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ . Suy ra $MD{\rm{//}}AC$ (2).

Mặt khác $\Delta ABC$vuông ở $A$ nên  $AB \bot AC$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $DM \bot AB \Rightarrow MM' \bot AB$.

 Vì $D$ là trung điểm của $AB$(gt) và $D$ là trung điểm của $MM'$  nên tứ giác $AMBM'$là hình bình hành. Mặt khác $MM' \bot AB$nên $AMBM'$ là hình thoi.

Vì $BC = 4\,cm$ nên $BM = \dfrac{{BC}}{2} = 2\,cm$ .

Chu vi tứ giác $AMBM'$ bằng $4.BM = 4.2 = 8\,cm$.

Vì $E,F$ lần lượt là trung điểm của$AB$ , $BC$ nên $EF$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ . Suy ra $EF{\rm{//}}AC$ và $EF = \dfrac{1}{2}AC$ (1).

Tương tự ta có : $HG{\rm{//}}AC$ và $HG = \dfrac{1}{2}AC$  (2).

Từ (1) và (2) suy ra  tứ giác $EFGH$ là hình bình hành.

Muốn cho tứ giác $EFGH$ là hình thoi thì nó cần phải có thêm hai cạnh kề bằng nhau.

Nên $EH = EF \Leftrightarrow AC = BD$.

Từ giả thiết ta có $MP,NP,NQ,QM$ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác $BDE,ECD,DCB,BEC$ . (định nghĩa đường trung bình).

Đặt $BD = CE = 2a$ .

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

$MP = \dfrac{1}{2}BD = a;NQ = \dfrac{1}{2}DB = a;$$NP = \dfrac{1}{2}CE = a;MQ = \dfrac{1}{2}CE = a.$

Suy ra $MN = NP = PQ = QM$ .

Tứ giác $MNPQ$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi $MNPQ$ ta được: $MN \bot PQ$.

Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ đến cạnh $CD$ . Từ giả thiết ta có: $AH \bot DC,CH = HD$ suy ra $AH$ là đường trung trục của đoạn $CD$ nên $AC = CD$ .  (1)

Do $ABCD$ là hình thoi nên $AD = CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AD = CD = AC$ nên tam giác $ACD$ là tam giác đều, do đó $\widehat D = {60^0}$ .

Vì góc $A$ và góc $D$ là hai góc trong cùng phía của $AB$ // $CD$ nên chúng bù nhau hay $\widehat A = {180^0} - {60^0} = {120^0}$.

Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được: $\widehat B = \widehat D = {60^0},\,\,\widehat A = \widehat C = {120^0}$.

Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên: $EI = IM = IA = \dfrac{1}{2}AM$.

Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có: $\widehat {EIM} = 2\widehat {EAI}$ (góc ngoài của tam giác).

Chứng minh tương tự với tam giác vuông $ADM$ ta có: $\widehat {MID} = 2\widehat {IAD},DI = \dfrac{1}{2}AM$.

Do đó:

$EI = DI\,\,\left( { = \dfrac{1}{2}AM} \right);\,\,\,\widehat {EID} = \widehat {EIM} + \widehat {MID} = 2\left( {\widehat {EAI} + \widehat {IAD}} \right) = 2\widehat {EAD} = {60^0}$.

Tam giác IED cân (vì EI = DI) có: $\widehat {EID} = {60^0}$ nên là tam giác đều, từ đó EI = ED = ID.

Tương tự tam giác IDF đều suy ra: $ID = DF = IF.$

Do đó $EI = ED = DF = IF.$ Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi.

Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID.

Gọi N là trung điểm của AH.

Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác.

Do đó $AN = NH = HD.$

Ta có: $MH//IN$ (vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và $KH//IN$ (vì KH là đường trung bình của tam giác DIN).

Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – Clit) nên M, H, K thẳng hàng.

Vậy D  sai vì $ID = IF$