Đối xứng trục

Vì đoạn thẳng $A'B'$  đối xứng với $AB$ qua $d$ nên $A'B' = AB = 3\,cm$ .

+ Xét tam giác $ABC$ có chu vi ${P_{ABC}} = AB + AC + BC \Rightarrow AC = {P_{ABC}} - AB - BC = 17 - 4 - 7$ $= 6\,cm$ .

+ Vì tam giác $ABC$ và  tam giác $A'B'C'$ đối xứng  nhau qua đường thẳng $d$ nên $AC = A'C' = 6\,cm$ .

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $BC$ . Khi đó tam giác $A'BC$ đối xứng với tam giác $ABC$ qua $BC$ .

Tứ giác tạo thành là $ABCA'$ .

Ta có $A'B = AB = 11\,cm$  (vì $A'B$ và $AB$ đối xứng nhau qua $BC$ )

$A'C = AC = 15\,cm$ ( vì $A'C$ và $AC$ đối xứng nhau qua $BC$ )

Chu vi tứ giác $ABCA'$ là $P = AB + AC + A'B + A'C = 11 + 15 + 11 + 15 = 52\,cm$ .

Ta có $CN \bot CE\,\left( {gt} \right)$ mà $\widehat {MCN} = {45^0}$ nên $\widehat {MCE} = {45^0}$ hay $\widehat {{C_2}} + \widehat {{C_3}} = {45^0}$. Mà $\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_3}} = {45^0}$(vì $\widehat {MCN} = {45^0}$) nên $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$.

Xét tam giác $CDN$ và tam giác $CBE$ có:

$BC = DC$  (do $ABCD$ là hình vuông); $\widehat D = \widehat B = {90^0}$ ; $\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}$(cmt)

Suy ra $\Delta CDN = \Delta CBE(g.c.g)$ .Suy ra $CN = CE$

Xét tam giác $CEN$ có $CN = CE$ (cmt) nên tam giác $CEN$ là tam giác cân tại $C$.

Suy ra phân giác $CM$ đồng thời là đường trung trực của $NE$ .

Vậy E là điểm đối xứng của $N$ qua $CM$ .

Ta có: $\Delta CMN = \Delta CME$(do tính đối xứng qua $CM$ )

Nên $MN = ME$

Suy ra chu vi tam giác $AMN$ là:

$AM + AN + MN = AM + AN{\rm{ }} + ME = AM + AN + MB + BE$

$= AM + AN + MB + ND$ (vì $\Delta CDN = \Delta CBE$ (cmt) nên $BE = ND$)

$= \left( {AM{\rm{ }} + MB} \right) + \left( {AN + ND} \right) = 2a$

Vậy chu vi tam giác $AMN$ bằng $2a$ .

Do tính chất đối xứng qua $d$, ta có $AM = BM'$.

 Mà $AM = BC\left( {gt} \right)$ nên $BM' = BC$.

Ta lại có: $\widehat {M'BA} = \widehat {MAB} = {20^0}$ (do $M,{\rm{ }}A$ đối xứng với $M',{\rm{ }}B$ qua $d$).

Suy ra $\widehat {M'BC} = \widehat B - {20^0} = {80^0} - {20^0} = {60^0}$.

Xét tam giác $M'BC$ có $BM' = BC$, $\widehat {M'BC} = {60^0}$ do đó tam giác $M'BC$ là tam giác đều.

Ta cũng có: $\widehat {MCB} = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {180^0} - \left( {{{20}^0} + {{80}^0}} \right) = {80^0}$

Suy ra $\widehat {MCM'} = \widehat {MCB} - \widehat {M'CB} = {80^0} - {60^0} = {20^0}$

Mà $\widehat {CMM'} = \widehat A = {20^0}$(góc đồng vị).

Nên $\widehat {MCM'} = \widehat {CMM'} = {20^ \circ }$

Suy ra $M'C = M'M = M'B$.

Ta lại có: $\widehat {M'MB} = \widehat {M'BM}$ (tam giác $M'MB$  cân tại đỉnh $M'$); $\widehat {M'MB} = \widehat {MBA}$(so le trong).

Nên $\widehat {M'BM} = \widehat {MBA} = \dfrac{1}{2}\widehat {M'BA} = {10^0}$

Vậy $\widehat {BMC} = \widehat {CMM'} + \widehat {M'MB} = {20^0} + {10^0} = {30^0}$

Gọi $B'$  là điểm đối xứng của $B$ qua đường thẳng $d$. $B'$ cố định.

Ta có $MB = MB'$ (tính chất đối xứng trục).

Xét ba điểm $M,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B'$ ta có $MA + MB' \ge AB'$

Do đó $MA + MB \ge AB'$

Dấu  “=” xảy ra khi và chỉ khi $A,M,B'$ thẳng hàng theo thứ tự đó hay $M$ là giao điểm của đoạn $AB'$  và đường thẳng $d$ .

Vậy khi $M \equiv M'$ là giao điểm của đoạn thẳng $AB'$  và đường thẳng $d$ thì tổng $MA + MB$ nhỏ nhất, trong đó $B'$ là điểm đối xứng của $B$ qua $d$ .

Trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $A'$ sao cho $CA = CA'$

Khi đó ta có: $\Delta CAA'$ cân tại $C$ có $CM$ là phân giác $\widehat {ACA'}$ nên $CM$ cũng là đường trung trực của $AA'$.

Từ đó ta có: $MA = MA'$

Nên $MA + MB = MA' + MB$.

Xét tam giác $MA'B$ có $MA' + MB > A'B \Leftrightarrow MA + MB > A'C + BC$

Hay $MA + MB > AC + BC$ (vì $CA = CA'$).