Cho tam giác \(ABC\), điểm \(I\) nằm trong tam giác. Các tia \(AI,BI,CI\) cắt các cạnh \(BC,AC,AB\) theo thứ tự ở \(D,E,F\). Tổng \(\dfrac{{AF}}{{FB}} + \dfrac{{AE}}{{EC}}\) bằng tỉ số nào dưới đây?
Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\), cắt \(CF,BE\) lần lượt tại \(H,K\).
\(AH//BC\) nên theo định lí Talet ta có: \(\dfrac{{AF}}{{FB}} = \dfrac{{AH}}{{BC}}\).
\(AK//BC\) nên theo định lí Talet ta có: \(\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AK}}{{BC}}\).
Suy ra \(\dfrac{{AF}}{{FB}} + \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AH}}{{BC}} + \dfrac{{AK}}{{BC}} = \dfrac{{HK}}{{CB}}\) hay \(\dfrac{{AF}}{{FB}} + \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{HK}}{{CB}}\) (1)
Lại có:
\(AH//DC\) nên theo định lí Talet ta có: \(\dfrac{{AI}}{{ID}} = \dfrac{{AH}}{{DC}}\)
\(AK//BD\) nên theo định lí Talet ta có: \(\dfrac{{AI}}{{ID}} = \dfrac{{AK}}{{BD}}\)
Do đó \(\dfrac{{AI}}{{ID}} = \dfrac{{AH}}{{DC}} = \dfrac{{AK}}{{BD}}\) (2)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{{AH}}{{DC}} = \dfrac{{AK}}{{BD}} = \dfrac{{AI + AK}}{{DC + BD}} = \dfrac{{HK}}{{BC}}\) (3)
Từ (2) và (3) suy ra: \(\dfrac{{AI}}{{ID}} = \dfrac{{HK}}{{BC}}\) (4)
Từ (1) và (4) suy ra: \(\dfrac{{AF}}{{FB}} + \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AI}}{{ID}}\).
Viết tỉ số cặp đoạn thẳng có độ dài như sau: \(AB = 12\,cm,CD = 10\,cm\).
\(\begin{array}{l}AB = 12\;cm,\;CD = 10\;cm\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{12}}{{10}} = \dfrac{6}{5}\end{array}\).
Vậy \(\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{6}{5}\) là tỉ số 2 đoạn thẳng (cùng đơn vị).
Cho hình vẽ. Điều kiện nào sau đây không suy ra được \(DE//BC\)?
Theo định lý đảo của định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Dễ thấy, từ các điều kiện \(\dfrac{{DB}}{{DA}} = \dfrac{{EC}}{{EA}}\), \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\), \(\dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{EC}}\) ta đều suy ra được \(DE//BC\).
Chỉ có D sai.
Viết tỉ số cặp đoạn thẳng có độ dài như sau: $AB = 4\,dm,CD = 20\,dm$
\(\begin{array}{l}AB = 4\;dm,\;CD = 20\;dm\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{4}{{20}} = \dfrac{1}{5}\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{1}{5}\) là tỉ số 2 đoạn thẳng (cùng đơn vị).
Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$:
Theo định lý đảo của định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Nên D sai.
Cho hình vẽ, trong đó $DE{\rm{//}}BC$, $AD = 12,\,\,DB = 18,\,\,CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng:
Vì $DE{\rm{//}}BC$, theo định lý Ta-lét ta có \(\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{18}} = \dfrac{{AE}}{{30}}\)\( \Rightarrow EA = \dfrac{{30.12}}{{18}} = 20\,cm\)
Nên \(AC = AE + EC = 50\,cm\)
Chọn câu trả lời đúng:
Cho hình thang $ABCD$ ($AB{\rm{//}}CD$),$O$ là giao điểm của $AC$ và$BD$ . Xét các khẳng định sau:
(I) \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) (II) \(\dfrac{{OB}}{{OC}} = \dfrac{{BC}}{{AD}}\)
Vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD\), áp dụng định lý Talet, ta có:
\(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\)
\( \Rightarrow \)Khẳng định (I) \(\dfrac{{OA}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{CD}}\) đúng, khẳng định (II) \(\dfrac{{OB}}{{OC}} = \dfrac{{BC}}{{AD}}\) sai.
Cho biết $M$ thuộc đoạn thẳng $AB$ thỏa mãn \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{3}{8}\). Tính tỉ số \(\dfrac{{AM}}{{AB}}\) ?
Ta có:
\(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MB + AM}} = \dfrac{3}{{8 + 3}} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{3}{{11}}\)
Cho hình vẽ, trong đó \(AB{\rm{//}}CD\) và \(DE = EC\). Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
(I) \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{KB}}{{DE}}\) (II)\(AK = KB\)
(III) \(\dfrac{{AO}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}\) (IV) \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\)
Theo định lý Ta-lét:
Vì \(AK{\rm{//}}EC\) nên \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OK}}{{OE}}\) và \(KB{\rm{//}}ED\) nên \(\dfrac{{BK}}{{ED}} = \dfrac{{OK}}{{OE}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\) từ đó \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{KB}}{{DE}}\) và \(\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}\)
Mà \(EC = ED \Rightarrow AK = KB\) .
Nên (I), (II), (IV) đúng.
Vì \(AB{\rm{//}}DC \Rightarrow \dfrac{{AO}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}\) nên (III) sai.
Chọn câu trả lời đúng: Cho hình bên, biết \(DE{\rm{//}}AC\), tìm \(x\) :
Vì \(DE{\rm{//}}AC\), áp dụng định lý Talet, ta có:
\(\dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{BE}}{{BC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BD + DA}} = \dfrac{{BE}}{{BE + EC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{5}{{5 + 2}} = \dfrac{x}{{x + 2,5}} \)\(\Rightarrow \dfrac{x}{{x + 2,5}} = \dfrac{5}{7} \)\( \Rightarrow 7x = 5x + 12,5 \)\(\Rightarrow x = 6,25. \)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\,cm$, điểm $D$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AD = 6\,cm$. Kẻ $DE$ song song với $BC$ $\left( {E \in AC} \right)$, kẻ $EF$ song song với $CD$ $\left( {F \in AB} \right)$. Tính độ dài $AF$ .
Áp dụng định lí Ta-lét :
Với ${\rm{EF//}}CD$ ta có $\dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$.
Với $DE{\rm{//}}BC$ ta có $\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$.
Suy ra $\dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$, tức là $\dfrac{{AF}}{6} = \dfrac{6}{9}$.
Vậy ${\rm{AF = }}\dfrac{{6.6}}{9} = 4$(cm).
Tính các độ dài $x,y$ trong hình bên:
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(OA'B'\), ta có:
\(\begin{array}{l}OA{'^2} + A'B{'^2} = OB{'^2}\\ \Leftrightarrow {2^2} + {4^2} = OB{'^2}\\ \Leftrightarrow OB{'^2} = 20\\ \Rightarrow OB' = \sqrt {20} \end{array}\)
\(A'B' \bot AA',\;AB \bot AA' \Rightarrow A'B'\parallel AB\) (Theo định lý từ vuông góc đến song song)
Áp dụng định lý Ta-let, ta có:
\(\dfrac{{OA'}}{{OA}} = \dfrac{{OB'}}{{OB}} = \dfrac{{A'B'}}{{AB}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {20} }}{x} = \dfrac{2}{5}\\\dfrac{4}{y} = \dfrac{2}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5.\sqrt {20} }}{2} = 5\sqrt 5 \\y = \dfrac{{4.5}}{2} = 10\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 5\sqrt 5 \) và \(y = 10\).
Tìm giá trị của \(x\) trên hình vẽ.
Vì \(MN{\rm{//}}HK\), áp dụng định lý Ta-let ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{SM}}{{SH}} = \dfrac{{SN}}{{SK}} \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SM + MH}} = \dfrac{{SN}}{{SK}}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{{x + 3}} = \dfrac{7}{{12}} \Rightarrow 12x = 7x + 21\\ \Rightarrow x = \dfrac{{21}}{5}\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{{21}}{5}\) .
Cho hình thang $ABCD$ $\left( {AB{\rm{//}}CD} \right)$ có $BC = 15\,cm$. Điểm $E$ thuộc cạnh $AD$ sao cho $\dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}$. Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $CD$ , cắt $BC$ ở $F$ . Tính độ dài $BF$ .
Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và$EF$ .
Xét tam giác \(ACB\) có \(IF{\rm{//}}AB\) nên theo định lý Ta-lét ta có
$\dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{AI}}{{AC}} = \dfrac{{AE}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}$ nên
$BF = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{1}{3}.15 = 5\left( {cm} \right)$
Cho tam giác $ABC$ . Một đường thẳng song song với $BC$ cắt các cạnh $AB$ và $AC$ theo thứ tự ở $D$ và $E$ . Chọn câu đúng.
Vì \(DE{\rm{//}}BC\) nên theo định lý Ta-let ta có \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\) . Từ đó
$\dfrac{{AD}}{{AB}} + \dfrac{{CE}}{{CA}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} + \dfrac{{CE}}{{CA}} = \dfrac{{AC}}{{AC}} = 1$
Cho tam giác $ABC$ , đường trung tuyến $AD$ . Gọi $K$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AD$ sao cho $\dfrac{{AK}}{{KD}} = \dfrac{1}{2}$. Gọi $E$ là giao điểm của $BK$ và $AC$ . Tính tỉ số $\dfrac{{AE}}{{EC}}$.
Kẻ $DM{\rm{//}}BE \Rightarrow DM{\rm{//}}KE$, theo định lý Ta-lét trong tam giác \(ADM\) ta có $\dfrac{{AE}}{{EM}} = \dfrac{{AK}}{{KD}} = \dfrac{1}{2}$
Xét tam giác \(BEC\) có $DM{\rm{//}}BE$ nên $\dfrac{{EM}}{{EC}} = \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$ (định lý Ta-lét)
Do đó $\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AE}}{{EM}}.\dfrac{{EM}}{{EC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$
Cho hình thang \(ABCD\)\(\left( {AB//CD} \right)\) có diện tích \(36\,c{m^2}\),\(AB = 4\,{\rm{cm,CD = 8}}\,{\rm{cm}}\). Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Tính diện tích tam giác \(COD\).
Kẻ \(AH \bot DC;\,OK \bot DC\) tại \(H;K\) suy ra \(AH{\rm{//}}OK\) .
Chiều cao của hình thang :\(AH = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \dfrac{{2.36}}{{4 + 8}} = 6\left( {cm} \right)\)
Vì \(AB{\rm{//}}DC\) (do \(ABCD\) là hình thang) nên theo định lý Ta-lét ta có
\(\dfrac{{OC}}{{OA}} = \dfrac{{CD}}{{AB}} = \dfrac{8}{4} = 2\)\( \Rightarrow \dfrac{{OC}}{{OC + OA}} = \dfrac{2}{{2 + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{OC}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\)
Vì \(AH{\rm{//}}OK\) (cmt) nên theo định lý Ta-lét cho tam giác \(AHC\) ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{{OK}}{{AH}} = \dfrac{{OC}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow OK = \dfrac{2}{3}AH \Leftrightarrow OK = \dfrac{2}{3}.6 = 4\,cm\end{array}\)
Do đó \({S_{COD}} = \dfrac{1}{2}OK.DC = \dfrac{1}{2}.4.8 = 16\left( {c{m^2}} \right)\).
Cho điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\). Vẽ về một phía của \(AB\) các tam giác đều \(AMC\) và \(MBD\) . Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(MC\), \(F\) là giao điểm của \(BC\) và \(DM\) .
Đặt \(MA = a,MB = b\). Tính \(ME,MF\) theo \(a\) và \(b\).
Vì các tam giác \(AMC\) và \(BMD\) đều nên \(\widehat {BMD} = \widehat {MAC} = 60^\circ \Rightarrow MD{\rm{//}}AC\) (vì hai góc ở vị trí đồng vị)
Vì \(MD{\rm{//}}AC\) nên theo hệ quả định lý Talet cho hai tam giác \(DEM\) và \(AEC\) ta có \(\dfrac{{ME}}{{EC}} = \dfrac{{MD}}{{AC}} = \dfrac{b}{a}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}\dfrac{{ME}}{{EC}} = \dfrac{b}{a} \Rightarrow \dfrac{{ME}}{{ME + EC}} = \dfrac{b}{{b + a}}\\ \Rightarrow \dfrac{{ME}}{a} = \dfrac{b}{{b + a}} \Rightarrow ME = \dfrac{{ab}}{{b + a}}\end{array}\)
Tương tự \(MF = \dfrac{{ba}}{{a + b}}\) .
Vậy \(ME = MF = \dfrac{{ab}}{{b + a}}\).
Cho điểm \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\). Vẽ về một phía của \(AB\) các tam giác đều \(AMC\) và \(MBD\) . Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(MC\), \(F\) là giao điểm của \(BC\) và \(DM\) .
Tam giác \(MEF\) là tam giác gì? Chọn đáp án đúng nhất.
Từ câu trước ta có \(ME = MF \Rightarrow \Delta EMF \) cân tại \(M\) .
Ta có \(\widehat {AMC} + \widehat {EMF} + \widehat {DMB} = 180^\circ \) mà \(\widehat {AMC} = \widehat {DMB} = 60^\circ \) (tính chất tam giác đều), nên
\(\begin{array}{l}\widehat {EMF} = 180^\circ - \widehat {CMA} - \widehat {DMB}\\ = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \end{array}\)
Từ đó \(MEF\) là tam giác cân có một góc bằng \(60^\circ \) nên nó là tam giác đều.
Cho tứ giác \(ABCD\), lấy bất kỳ \(E \in BD\) . Qua \(E\) vẽ \(EF\) song song với \(AD\)( \(F\) thuộc \(AB\)), vẽ \(EG\) song song với \(DC\)(\(G\) thuộc\(BC\)). Chọn khẳng định sai.
Áp dụng định lí Ta-lét trong \(\Delta ABD\) với \(EF{\rm{//}}AD\), ta có \(\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BF}}{{FA}}\). (1)
Áp dụng định lí Ta-lét trong\(\Delta BDC\) với \(EG{\rm{//}}DC\), ta có \(\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra\(\dfrac{{BF}}{{FA}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\), do đó \(FG{\rm{//}}AC\)(định lí Ta-lét đảo).
Vậy A, B, C đúng, D sai.
