Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, N là điểm trên đoạn thẳng AM. Gọi D là giao điểm của CN và AB, E là giao điểm của BN và AC. Chọn khẳng định đúng nhất.
Kẻ đường thẳng đi qua $A$ song song với $BC$ lần lượt cắt $CD$ và $BE$ kéo dài tại \(B'\) và \(C'\).
Vì M là trung điểm của $BC$ nên \(BM = MC\).
Vì \(AB'{\rm{//}}MC\), áp dụng định lý Talet ta có:
\(\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AB'}}{{MC}}\) (1)\(\)
Vì \(AC'{\rm{//}}\,BM\), áp dụng định lý Talet ta có:
\(\dfrac{{AN}}{{NM}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\dfrac{{AB'}}{{MC}} = \dfrac{{AC'}}{{BM}}\)
Ta có $M$ là trung điểm của $BC$ \( \Rightarrow \)\(BM = MC\)\( \Rightarrow \)\(AB' = AC'\) (*)
Vì \(AB'{\rm{//}}\,BC\), áp dụng định lý Talet ta có:
\(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}}\) (**)
Vì \(AC'{\rm{//}}\,BC\), áp dụng định lý Talet ta có:
\(\dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}\) (***)
Từ (*), (**) và (***) ta có:
\(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AB'}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} = \dfrac{{AC'}}{{BC}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{CE}}\) hay \(DE{\rm{//}}BC\)
