Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 1

Để $x = 1$ là nghiệm của $P\left( x \right) = {x^2} + mx - 9$ ta có:

$\begin{array}{l}P\left( 1 \right) = 1 + m - 9 = 0\\ \Leftrightarrow m - 8 = 0\\ \Leftrightarrow m = 8\end{array}$.

Vậy $m = 8$ thì $x = 1$ là một nghiệm của đa thức $P\left( x \right)$.

Ta có: $f(x) =  - 3{x^2} + {x^4} + 2x + {x^3} - 4$$= {x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 2x - 4$

$g(x) = {x^3} - 4{x^2} + {x^4} - 4 + 3x$$= {x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 3x - 4$.

Vậy $f\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 2x - 4;$ $g\left( x \right) = {x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 3x - 4.$

$h(x) = f(x) - g(x) =$(${x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 2x - 4$)$- ({x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 3x - 4)$

$= {x^4} + {x^3} - 3{x^2} + 2x - 4$$- {x^4} - {x^3} + 4{x^2} - 2x + 4$

$= {x^2} - x$.

Vậy $h\left( x \right) = {x^2} - x$.

Theo câu trước ta có: $h(x)=f(x)-g(x)= {x^2} - x$

Ta có: $h(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x = 0$.

$\Leftrightarrow x(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy đa thức h(x) các các nghiệm là: $x = 0;x = 1.$

Xét hai tam giác vuông ABD và EBD có:

BD chung; $\widehat {ABD} = \widehat {EBD}$ (gt)

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta EBD \,(ch - gn)$

$\Rightarrow BA = BE;DA = DE$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra: $\Delta ABE$ cân tại $B$ và $\Delta ADE$ cân tại D.

Do tam giác $DEC$ vuông tại $C$ nên $DC > DE;$ mà $DE = AD$ (theo câu trước)

Suy ra $DC > AD.$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông BDE có:

$B{D^2} = B{E^2} + D{E^2} \Leftrightarrow B{D^2} = BE{}^2 + A{D^2}$ (do $AD = DE$ (theo câu trước))

$\Leftrightarrow BD = \sqrt {B{E^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}}  = \sqrt {169}  = 13(cm)$.

Do $a > 2;\,b > 2 \Rightarrow a - 1 > 1 > 0;b - 1 > 1 > 0$

$\Rightarrow (a - 1)(b - 1) > 1 \Leftrightarrow ab - a - b + 1 > 1 \Leftrightarrow ab > a + b$.

Ta có: $f\left( x \right)$ thỏa mãn: $\left( {x - 1} \right).f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)f\left( {x + 3} \right)$.

Nếu $f\left( a \right) = 0 \Rightarrow a$ là một nghiệm của $f\left( x \right)$.

Vì $\left( {x - 1} \right).f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)f\left( {x + 3} \right)$ đúng với mọi x.

+) Ta thấy $x = 1$ thì ta có: 

$\left( {1 - 1} \right)f\left( 1 \right) = \left( {1 + 2} \right)f\left( {1 + 3} \right)$

$\Rightarrow 0.f\left( 1 \right) = 3.f\left( 4 \right)$

$\Rightarrow 0 = 3.f\left( 4 \right)$

$\Rightarrow f\left( 4 \right) = 0$

$Hay\,\,\,\,x = 4$ là một nghiệm của $f\left( x \right)$

+) Với $x =  - 2$ ta được:

$\left( { - 2 - 1} \right).f\left( { - 2} \right) = \left( { - 2 + 2} \right).f\left( { - 2 + 3} \right)$

$\Rightarrow - 3.f\left( { - 2} \right) = 0$

$\Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 0$

Hay $x =  - 2$ là một nghiệm của $f\left( x \right)$

+) Với $x = 4$ ta được:

$\left( {4 - 1} \right).f\left( 4 \right) = \left( {4 + 2} \right).f\left( {4 + 3} \right)$

$\Rightarrow 3.f\left( 4 \right)$$= \,6.f\left( 7 \right)$

$\Rightarrow 0= 6f\left( 7 \right)$$\Rightarrow f\left( 7 \right) = 0$

$Hay\,\,\,\,x = 7$ là một nghiệm của $f\left( x \right)$

+) Với $x = 7$ ta tìm được $f\left( {10} \right) = 0\,\,\,\,hay\,\,\,x = 10$ là một nghiệm của $f\left( x \right)$

+) Với $x = 10$ ta tìm được $f\left( {13} \right) = 0\,\,\,hay\,\,\,\,x = 13$ là một nghiệm của $f\left( x \right)$

Vậy 5 nghiệm của $f\left( x \right)$ là: $x \in \left\{ {4; - 2;7;10;13} \right\}$.