Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn: \(\left( {x - 1} \right).f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)f\left( {x + 3} \right)\) với mọi \(x.\) Tìm 5 nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\).

Ta có: \(f\left( x \right)\) thỏa mãn: \(\left( {x - 1} \right).f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)f\left( {x + 3} \right)\).

Nếu \(f\left( a \right) = 0 \Rightarrow a\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\).

Vì \(\left( {x - 1} \right).f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)f\left( {x + 3} \right)\) đúng với mọi x.

+) Ta thấy \(x = 1\) thì ta có: 

\(\left( {1 - 1} \right)f\left( 1 \right) = \left( {1 + 2} \right)f\left( {1 + 3} \right)\)

\(\Rightarrow 0.f\left( 1 \right) = 3.f\left( 4 \right)\)

\(\Rightarrow 0 = 3.f\left( 4 \right)\)

\( \Rightarrow f\left( 4 \right) = 0\)

\(Hay\,\,\,\,x = 4\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

+) Với \(x =  - 2\) ta được:

\(\left( { - 2 - 1} \right).f\left( { - 2} \right) = \left( { - 2 + 2} \right).f\left( { - 2 + 3} \right)\)

\( \Rightarrow - 3.f\left( { - 2} \right) = 0\)

\( \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 0\)

Hay \( x =  - 2\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

+) Với \(x = 4\) ta được:

\(\left( {4 - 1} \right).f\left( 4 \right) = \left( {4 + 2} \right).f\left( {4 + 3} \right)\)

\( \Rightarrow 3.f\left( 4 \right)\)\( = \,6.f\left( 7 \right)\)

\( \Rightarrow 0= 6f\left( 7 \right)\)\( \Rightarrow f\left( 7 \right) = 0\)

\(Hay\,\,\,\,x = 7\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

+) Với \(x = 7\) ta tìm được \(f\left( {10} \right) = 0\,\,\,\,hay\,\,\,x = 10\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

+) Với \(x = 10\) ta tìm được \(f\left( {13} \right) = 0\,\,\,hay\,\,\,\,x = 13\) là một nghiệm của \(f\left( x \right)\)

Vậy 5 nghiệm của \(f\left( x \right)\) là: \(x \in \left\{ {4; - 2;7;10;13} \right\}\).