Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng

Nhận thấy $(P):x - y + 3 = 0$ nhận $\overrightarrow n  = \left( {1; - 1;0} \right)$ làm véc tơ pháp tuyến nên các véc tơ $\overrightarrow a  = \left( {3; - 3;0} \right),\overrightarrow a  = \left( { - 1;1;0} \right)$ cũng là các véc tơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( {2, - 3,4} \right)$ và nhận $\vec n = ( - 2,4,1)$ làm vectơ pháp tuyến là:

$- 2(x - 2) + 4(y + 3) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 4y + z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0$

Ta có: $\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( {1,3, - 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm VTPT nên $\left( Q \right):2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0$

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và nhận $\overrightarrow {AB}$  làm vectơ pháp tuyến.

Có $I\left( {3, - 2,0} \right)$ và $\overrightarrow {AB}  = ( - 2, - 2, - 4)$. Chọn $\vec n = (1,1,2)$ là vectơ pháp tuyến ta có phương trình

$(x - 3) + (y + 2) + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 1 = 0$

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$  qua $B\left( {1,0,1} \right)$ và nhận $\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]$  là vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = (0,3, - 1)$ và $\overrightarrow {AC}  = (1,6, - 2)$. Suy ra  $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0, - 1, - 3} \right)$

Quan sát đáp án bài cho, ta chọn ngay đáp án D.

Ta sử dụng phương trình đoạn chắn $\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0$ 

Có $\overrightarrow {{n_Q}}  = (1,2, - 3)$  và $\overrightarrow {{n_R}}  = (2, - 3,1)$. Suy ra $\vec n = ( - 7, - 7, - 7)$. Chọn $\vec n' = (1,1,1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Ta có phương trình $\left( P \right)$ là

$(x - 1) + (y - 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0$

Cách tính tích có hướng bằng CASIO fx 570 vn plus:

Bước 1: Nhập các vecto

MODE 8->1->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

MODE 8->2->1. Nhập vecto thứ nhất vào.

Bước 2: Tính tích có hướng

Ấn AC để ra màn hình. Ấn (SHIFT 5 -> 3) và (SHIFT 5 ->4) và ấn “=”

Nhận xét $\left( P \right)$  và $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng song song.

Chọn $A\left( { - 11,0,0} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ . Ta có

$d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(Q)} \right) = \dfrac{{| - 11 + 2.0 + 2.0 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3$ 

Vì $\left( P \right)$  song song với $\left( Q \right)$  nên $\left( P \right):x + y - z + c = 0$  với $c \ne  - 2$ .

Chọn $A\left( {2,0,0} \right)$ thuộc $\left( Q \right)$ ta có

$d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{{|2 + c|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow |2 + c| = 6$.

 Suy ra $c = 4$ hoặc $c =  - 8$.

Yêu cầu bài toán tương đương với $\dfrac{3}{6} = \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}} \ne \dfrac{7}{{ - 4}}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{2}$

$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}}  = 0$

$\Leftrightarrow m.1 + 1.( - 3) + ( - 2).m = 0 \Leftrightarrow  - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m =  - 3$

$A,B$ thuộc $\left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\end{array}} \right.$

$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$  nên ta có điều kiện $3a + b + c = 0$.

Giải hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\\{3a + b + c = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}&{}\\{b = 27}&{}\\{c =  - 45}&{}\end{array}} \right.$

 Suy ra $S =  - 12$.

Theo giả thiết $(ABC) \bot (P)$  nên ta có $0.bc + 1.c - 1.b = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c$

Với giả thiết $d\left( {O,(ABC)} \right) = \dfrac{1}{3}$  ta có $\dfrac{{| - bc|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{3}$

Vì $b,c > 0$ nên có $\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}}  = 3bc \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2} = 9{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 8{b^2}{c^2}$

Thay $b = c > 0$ vào ta được $2{b^2} = 8{b^4} \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{2}$, suy ra $c = \dfrac{1}{2}$

Vậy $M = b + c = 1$.

$\left( P \right)$ có $\overrightarrow {{n_P}}  = (1,3, - 2),\left( Q \right)$ có $\overrightarrow {{n_Q}}  = (1,1,2)$, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có $\overrightarrow {{n_1}}  = (0,0,1)$ , mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ có $\overrightarrow {{n_2}}  = (0,1,0)$, mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có $\overrightarrow {{n_3}}  = (1,0,0)$.

Có $\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_Q}} |}} = 0$  (1)

Có $\cos \left( \left( P \right),\left( Oxy \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{|\overrightarrow{{{n}_{P}}}|.|\overrightarrow{{{n}_{1}}}|}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$ (2)

Có $\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = \dfrac{3}{{\sqrt {14} }}$  (3)

 Có $\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_3}} |}} = \dfrac{1}{{\sqrt {14} }}$ (4)

Trong $[0;90^0]$, góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.

Do đó góc giữa $(P)$ và $(Q)$ lớn nhất.

Ta có $\overrightarrow {MA}  = (1 - x,2 - y, - 1 - z)$  và $\overrightarrow {MB}  = (2 - x, - 1 - y,3 - z)$

Theo giả thiết $M{A^2} - M{B^2} = 2 \Leftrightarrow M{A^2} = 2 + M{B^2}$  nên ta có

${(1 - x)^2} + {(2 - y)^2} + {( - 1 - z)^2} = 2 + {(2 - x)^2} + {( - 1 - y)^2} + {(3 - z)^2}$

$\Leftrightarrow  - 2x - 4y + 2z + 6 =  - 4x + 2y - 6z + 16$

$\Leftrightarrow 2x - 6y + 8z - 10 = 0$

$\Leftrightarrow x - 3y + 4z - 5 = 0$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua giao tuyến của $\left( Q \right),\left( R \right)$ nên có phương trình dạng $m\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) + n\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0$  với ${m^2} + {n^2} > 0.$

Do $\left( P \right)$ đi qua $M\left( {3;4;1} \right)$ nên $56m + 108n = 0 \Rightarrow \dfrac{m}{n} =  - \dfrac{{27}}{{14}}.$

Chọn $m = 27,n =  - 14$ thì:

$\begin{array}{l}\left( P \right):27.\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) - 14.\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 75x - 50y - 150z + 575 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 23 = 0\end{array}$

Ta có: $\overrightarrow {MM'}  = \left( {4; - 2;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MM'}  = \left( {2; - 1;3} \right)$

Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M'$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm VTPT nên có phương trình:

$2\left( {x - 5} \right) - 1\left( {y + 4} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 20 = 0$ 

Gọi $A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)$ là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là : $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

$M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Lại có $OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a =  - \,b = c\end{array} \right.$ và $\left[ \begin{array}{l}a = b =  - \,c\\a =  - \,b =  - \,c\end{array} \right.,$ mà $a = b =  - \,c$ không thỏa mãn điều kiện $\left( 1 \right).$

Vậy có $3$ mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giả sử $M\left( {x,y,z} \right)$ là điểm cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Ta có

$\begin{array}{l}\dfrac{{|x + 2y - 2z + 1|}}{3} = \dfrac{{|x - 2y + 2z - 1|}}{3}\\ \Leftrightarrow |x + 2y - 2z + 1| = |x - 2y + 2z - 1|\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 2z + 1 = x - 2y + 2z - 1}\\{x + 2y - 2z + 1 =  - (x - 2y + 2z - 1)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4y - 4z + 2 = 0}\\{2x = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y - 2z + 1 = 0}\\{x = 0}\end{array}} \right.\end{array}$ 

Giả sử  $M({x_0},{y_0},{z_0})$  là điểm thuộc $({P_m})$  ta có

$\begin{array}{l}m{x_0} + m(m + 1){y_0} + {(m - 1)^2}{z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow m{x_0} + {m^2}{y_0} + m{y_0} + {m^2}{z_0} - 2m{z_0} + {z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow ({y_0} + {z_0}){m^2} + ({x_0} + {y_0} - 2{z_0})m + {z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} + {z_0} = 0}&{}\\{{x_0} + {y_0} - 2{z_0} = 0}&{}\\{{z_0} - 1 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_0} = 1}&{}\\{{y_0} =  - 1}&{}\\{{x_0} = 3}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(3, - 1,1)\end{array}$