Bất phương trình

Bất phương trình $\dfrac{3}{{2 - x}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2 - x}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{2 - x}} < 0.$

Đặt $f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{2 - x}}.$ Ta có $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \,1$ và $2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2.$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - \,1\\x > 2\end{array} \right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \,\infty ; - \,1} \right) \cup \left( {2; + \,\infty } \right).$

Điều kiện $x \ge  - 7$.

Đặt $t = \sqrt {x + 7}$ , điều kiện $t \ge 0$.

Ta có $\sqrt {{t^2} + 1 - 2t}  = 2 - \sqrt {{t^2} - 6 - t}$$\Leftrightarrow \left| {t - 1} \right| = 2 - \sqrt {{t^2} - t - 6}$

Nếu $t \ge 1$ thì ta có $3 - t = \sqrt {{t^2} - t - 6}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} - t - 6 = 9 - 6t + {t^2}\\t \le 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow t = 3$$\Leftrightarrow \sqrt {x + 7}  = 3$$\Leftrightarrow x = 2$

Nếu $t < 1$ thì ta có $1 + t = \sqrt {{t^2} - t - 6}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t^2} - t - 6 = 1 + 2t + {t^2}\\t \ge  - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow t =  - \dfrac{7}{3}\;\;\left( l \right)$.

Bất phương trình $\dfrac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} - 4}} \ge 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} - 4}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} \ge 0.$

Đặt $f\left( x \right) = \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.$ Ta có $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \,1$ và $\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \,2\\x = 2\end{array} \right..$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \,2 < x \le  - \,1\\x > 2\end{array} \right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \,2; - \,1} \right] \cup \left( {2; + \,\infty } \right).$

Bất phương trình $\dfrac{4}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0.$

Đặt $f\left( x \right) = \dfrac{{2x + 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.$

Ta có $2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - \,3$ và $\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \,1\end{array} \right..$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - \,3\\ - \,1 < x < 1\end{array} \right..$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \,\infty ; - \,3} \right) \cup \left( { - \,1;1} \right).$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \le 0\\x - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\x > m\end{array} \right.$.

Do đó hệ có nghiệm khi $m < 1$.

Bất phương trình $\dfrac{1}{{x + 1}} < \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0.$

$\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\dfrac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x + 1}} < 0\end{array} \right.$ (vì ${\left( {x - 1} \right)^2} > 0,\,\,\forall x \ne 1$).

Đặt $f\left( x \right) = \dfrac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x + 1}}.$ Ta có $x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ và $x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - \,1.$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x <  - \,1\\0 < x < 3\end{array} \right..$

Kết hợp với điều kiện $x \ne 1,$ ta được tập nghiệm $S = \left( { - \,\infty ; - \,1} \right) \cup \left( {0;1} \right) \cup \left( {1;3} \right).$

Ta có $\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12 = 0\;\,\left( * \right)\end{array} \right.$.

Giả sử phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$, theo Vi-et ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 3} \right)\\{x_1}.{x_2} = 4m + 12\end{array} \right.$.

Để phương trình $\left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 4m + 12} \right] = 0$có ba nghiệm phân biệt lớn hơn $-1$. thì phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ khác $1$ và đều lớn hơn $- 1$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\1 + 2\left( {m + 3} \right) + 4m + 12 \ne 0\\{x_2} > {x_1} >  - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {4m + 12} \right) > 0\\6m + 19 \ne 0\\\left( {{x_1} + 1} \right) + \left( {{x_2} + 1} \right) > 0\\\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 > 0\\m \ne  - \dfrac{{19}}{6}\\ - 2\left( {m + 3} \right) + 2 > 0\\4m + 12 - 2\left( {m + 3} \right) + 1 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 3\end{array} \right.\\m \ne  - \dfrac{{19}}{6}\\m <  - 2\\m >  - \dfrac{7}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{7}{2} < m <  - 3\\m \ne  - \dfrac{{19}}{6}\end{array} \right.$.

Bất phương trình tương đương với

$\dfrac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{2x\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} <  - \dfrac{{4x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{{3x + 22}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} < 0.$

Đặt $f\left( x \right) = \dfrac{{3x + 22}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.$

Ta có $3x + 22 = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{{22}}{3};\,\,\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - \,3\end{array} \right..$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy rằng $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ; - \dfrac{{22}}{3}} \right) \cup \left( { - \,3;3} \right).$

Vậy nghiệm nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = 2.$

Xét phương trình: $\left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| = {x^2} - 5x + a$     (1)

$\Leftrightarrow a = \left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| - {x^2} + 5x$

Xét $f\left( x \right) = \left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| - {x^2} + 5x$

$= \left\{ \begin{array}{l}\left( {10x - 2{x^2} - 8} \right) - {x^2} + 5x{\rm{ }} & {\rm{khi }}10x - 2{x^2} - 8 \ge 0\\ - \left( {10x - 2{x^2} - 8} \right) - {x^2} + 5x{\rm{ }} & {\rm{khi }}10x - 2{x^2} - 8 < 0\end{array} \right.$

$= \left\{ \begin{array}{l} - 3{x^2} + 15x - 8 & {\rm{khi }}1 \le x \le 4\\{x^2} - 5x + 8 & {\rm{khi }}x \le 1 \vee x \ge 4\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 4 < a < \dfrac{{43}}{4}$.

Ta có $\left| {2x - 3} \right| \le 1 \Leftrightarrow  - \,1 \le 2x - 3 \le 1 \Leftrightarrow 2 \le 2x \le 4 \Leftrightarrow 1 \le x \le 2.$

$\sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)}  \le {x^2} + 2x + a \Leftrightarrow \sqrt { - {x^2} - 2x + 15}  - {x^2} - 2x \le a$

Đặt $t = \sqrt { - {x^2} - 2x + 15}$, ta có bảng biến thiên

Suy ra $t \in \left[ {0;4} \right]$.

Bất phương trình đã cho thành ${t^2} + t - 15 \le a$.

Xét hàm $f\left( t \right) = {t^2} + t - 15$ với $t \in \left[ {0;4} \right]$

Ta có bảng biến thiên

Bất phương trình ${t^2} + t - 15 \le a$ nghiệm đúng $\forall t \in \left[ {0;4} \right]$ khi và chỉ khi $a \ge 5.$

Vì $\left| {x - 3} \right| \ge 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$ nên suy ra $\left| {x - 3} \right| >  - 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \mathbb{R}.$

Trường hợp 1: $x \in \left[ {2; + \infty } \right)$.

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

${x^2} - \left( {a + 3} \right)x + 8 \le 0$$\Leftrightarrow a \ge x + \dfrac{8}{x} - 3 \ge 4\sqrt 2  - 3 \approx 2,65$$\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)$.

Dấu  xảy ra khi $x = 2\sqrt 2$.

Trường hợp 2: $x \in \left( { - \infty ;2} \right)$.

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

${x^2} - \left( {a + 1} \right)x + 4 \le 0$

$\Leftrightarrow ax \ge {x^2} -x+4$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge \dfrac{{x^2} -x+4}{x}\;\;khi\;\;x \in \left( {0;2} \right)\;\;\;\;\;\;\\a \le \dfrac{{x^2} -x+4}{x}\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\;\;\;\end{array} \right.$.

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a \ge x + \dfrac{4}{x} - 1\;\;khi\;\;x \in \left( {0;2} \right)\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\a \le x + \dfrac{4}{x} - 1\;\;khi\;\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$.

Giải $\left( 1 \right)$ ta được $a > 3$ (theo bất đẳng thức Cauchy).

Giải $\left( 2 \right)$: $a \le x + \dfrac{4}{x} - 1$$\Leftrightarrow a \le  - 2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}}  - 1 =  - 5$.

Vậy giá trị dương nhỏ nhất của $a$ gần với số $2,6$.

Bất phương trình $\left| {5x - 4} \right| \ge 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 4 \ge 6\\5x - 4 \le  - \,6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x \ge 10\\5x \le  - \,2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - \dfrac{2}{5}\end{array} \right..$

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( { - \,\infty ; - \dfrac{2}{5}} \right] \cup \left[ {2; + \,\infty } \right).$

Mà $S = \left( { - \,\infty ;a} \right] \cup \left[ {b; + \,\infty } \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{2}{5}\\b = 2\end{array} \right.$

Vậy $P = 5a + b = 5.\left( { - \dfrac{2}{5}} \right) + 2 = 0$

Đặt $t = {x^2} \ge 0$

Ta có $\left| {{t^2} - 2t - 3} \right| \le t - 5$.

Nếu ${t^2} - 2t - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le  - 1\\t \ge 3\end{array} \right.$ thì ta có ${t^2} - 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le 2$ loại

Nếu ${t^2} - 2t - 3 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < t < 3$ thì ta có $- {t^2} + t + 8 \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{2}\\t \ge \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right.$ loại.

Ta có $\left| {3x - 3} \right| \le \left| {2x + 1} \right| \Leftrightarrow {\left| {3x - 3} \right|^2} \le {\left| {2x + 1} \right|^2} \Leftrightarrow {\left( {3x - 3} \right)^2} - {\left( {2x + 1} \right)^2} \le 0$

$\Leftrightarrow \left( {3x - 3 - 2x - 1} \right)\left( {3x - 3 + 2x + 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {5x - 2} \right) \le 0$

Xét dấu $\left( {x - 4} \right)\left( {5x - 2} \right)$ ta được:

Suy ra $\dfrac{2}{5} \le x \le 4$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {\dfrac{2}{5};4} \right].$

Ta có $\left| {x + 3} \right|\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1 - \left| {x + 3} \right|\left( {x - 2} \right)$

Xét hàm số $y = 1 - \left| {x + 3} \right|(x - 2)$

Ta có $y = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - x + 7\,\,\;khi\,\,\;x \ge  - 3\\{x^2} + x - 5\,\,\;\;\;khi\,\;\;x <  - 3\end{array} \right.$

Bảng biến thiên của $y = 1 - \left| {x + 3} \right|(x - 2)$

Dựa vào bảng trên phương trình có đúng $1$ nghiệm khi và chỉ khi$\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > \dfrac{{29}}{4}\end{array} \right.$

TH1. Với $2x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{2},$ khi đó $\left| {2x + 1} \right| < 3x \Leftrightarrow 2x + 1 < 3x \Leftrightarrow x > 1.$

Kết hợp với điều kiện $x \ge  - \dfrac{1}{2}$ suy ra ${S_1} = \left( {1; + \,\infty } \right).$

TH2. Với $2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x <  - \dfrac{1}{2},$ khi đó $\left| {2x + 1} \right| < 3x \Leftrightarrow  - \,2x - 1 < 3x$ $\Leftrightarrow x >  - \dfrac{1}{5}.$

Kết hợp với điều kiện $x <  - \dfrac{1}{2}$ suy ra ${S_2} = \emptyset .$

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $S = {S_1} \cup {S_2} = \left( {1; + \,\infty } \right).$

Mà $x \in \left[ { - 2017;2017} \right]$ nên $x \in \left( {1;2017} \right]$ hay $x \in \left\{ {2;3;...;2017} \right\}$

Vậy có $2016$ giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn.

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$\left( {x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) < 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28}$$\Leftrightarrow {x^2} + 5x + 4 - 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28}  < 0$(1)

Đặt $\sqrt {{x^2} + 5x + 28}  = t\left( {t > 0} \right)$

(1) trở thành: ${t^2} - 5t - 24 < 0 \Leftrightarrow  - 3 < t < 8$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 5x + 28 < 64\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 36 < 0 \Leftrightarrow  - 9 < x < 4\end{array}$

Xét bất phương trình $\left| {x + 2} \right| + \left| { - \,2x + 1} \right| \le x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(  *  \right).$

Bảng xét dấu

TH1. Với $x <  - \,2,$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow \left( { - \,x - 2} \right) + \left( { - \,2x + 1} \right) \le x + 1$$\Leftrightarrow  - \,2 \le 4x \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{2}.$

Kết hợp với điều kiện $x <  - \,2,$ ta được tập nghiệm ${S_1} = \emptyset .$

TH2. Với $- \,2 \le x <  \dfrac{1}{2},$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow x + 2 - 2x + 1 \le x + 1$$\Leftrightarrow 2x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 1.$

Kết hợp với điều kiện $- \,2 \le x < \dfrac{1}{2},$ ta được tập nghiệm ${S_2} = \emptyset .$

TH3. Với $x \ge \dfrac{1}{2},$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow x + 2 - \left( { - 2x + 1} \right) \le x + 1$$\Leftrightarrow 2x \le 0 \Leftrightarrow x \le 0.$

Kết hợp với điều kiện $x \ge \dfrac{1}{2},$ ta được tập nghiệm ${S_3} = \emptyset .$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = {S_1} \cup {S_2} \cup {S_3} = \emptyset .$