Bất phương trình

Ta có: $\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - \dfrac{{x + 1}}{{{x^3} - {x^2} - 3x + 3}} < 0}\\{x > {m^2} + m}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0}\\{x > {m^2} + m}\end{array}} \right.$  $\left( {**} \right)$

Bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0$ là $S = \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {57} }}{6}; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt {57} }}{6};1} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;2} \right)$

Do đó bất phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi hệ bất phương trình$\left( {**} \right)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow {m^2} + m < 2$$\Leftrightarrow {m^2} + m - 2 < 0$$\Leftrightarrow  - 2 < m < 1$

Vậy $- 2 < m < 1$ là giá trị cần tìm.

Xét bất phương trình $\left| {x + 2} \right| - \left| {x - 1} \right| \le x - \dfrac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left(  *  \right).$

Lập bảng xét dấu

TH1. Với $x <  - \,2,$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow  - \,x - 2 + x - 1 < x - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x >  - \dfrac{3}{2}.$

Kết hợp với điều kiện $x <  - \,2,$ ta được tập nghiệm ${S_1} = \emptyset .$

TH2. Với $- \,2 \le x < 1,$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow x + 2 + x - 1 < x - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x <  - \dfrac{5}{2}.$

Kết hợp với điều kiện $- \,2 \le x < 1,$ ta được tập nghiệm ${S_2} = \emptyset .$

TH3. Với $x \ge 1,$ khi đó $\left(  *  \right) \Leftrightarrow x + 2 - x + 1 < x - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x > \dfrac{9}{2}.$

Kết hợp với điều kiện $x \ge 1,$ ta được tập nghiệm ${S_3} = \left( {\dfrac{9}{2}; + \,\infty } \right).$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = {S_1} \cup {S_2} \cup {S_3} = \left( {\dfrac{9}{2}; + \,\infty } \right).$

Ta có: $\angle CAB + \angle BAD + \angle DAE = {180^o}$

$\Rightarrow \angle CAB + \angle EAD = {90^o}$

Mà $\angle CAB + \angle CBA = {90^o}$ ($\Delta CAB$ vuông tại C)

$\Rightarrow \angle CBA = \angle EAD$ kết hợp $AB = AD\,\,\,\left( {gt} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta CAB = \Delta EDA\,\,\,\left( {ch - gn} \right)\\ \Rightarrow CB = EA = x \Rightarrow CA = CE - EA = 20 - x\,\,\,\,\left( {cm} \right)\end{array}$

Diện tích viên gạch là $S = A{B^2} = C{B^2} + C{A^2} = {x^2} + {\left( {20 - x} \right)^2}$

ĐKXĐ: $x \ge  - \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sqrt {2x + 4}  - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4} } \right) \le x + 3\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt {2x + 4}  - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {2x + 4}  + \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4} } \right) \le \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 4}  + \sqrt {x + 1} } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4} } \right) \le \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 4}  + \sqrt {x + 1} } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {\sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4}  - \sqrt {2x + 4}  - \sqrt {x + 1} } \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4}  - \sqrt {2x + 4}  - \sqrt {x + 1}  \le 0\,\,\,\,\,\left( {do\,\,\,x + 3 > 0\,\,\,\forall x \ge  - \dfrac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {2x + 1}  + \sqrt {x + 4}  \le \sqrt {2x + 4}  + \sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow 3x + 5 + 2\sqrt {\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 4} \right)}  \le 3x + 5 + 2\sqrt {\left( {2x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)} \\ \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 4} \right) \le \left( {2x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 9x + 4 \le 2{x^2} + 6x + 4\\ \Leftrightarrow 3x \le 0 \Leftrightarrow x \le 0\end{array}$        

Kết hợp ĐKXĐ $\Rightarrow x \in \left[ { - \dfrac{1}{2};0} \right] \subset \left( { - \dfrac{2}{3};\dfrac{1}{2}} \right)$

Gọi số nguyên lớn nhất bạn An có thể chọn là $x$ $\left( {x \in \mathbb{Z}} \right)$.

Theo bài ra ta có $2\left( {4x - 30} \right) - 10$ là số có 2 chữ số.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}10 \le 2\left( {4x - 30} \right) - 10 \le 99\\ - 99 \le 2\left( {4x - 30} \right) - 10 \le  - 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}20 \le 2\left( {4x - 30} \right) \le 109\\ - 89 \le 2\left( {4x - 30} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 \le 4x - 30 \le \dfrac{{109}}{2}\\ - \dfrac{{89}}{2} \le 4x - 30 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}40 \le 4x \le \dfrac{{169}}{2}\\ - \dfrac{{29}}{2} \le 4x \le 30\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 \le x \le \dfrac{{169}}{8}\\ - \dfrac{{29}}{8} \le x \le \dfrac{{30}}{4}\end{array} \right.\end{array}$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ và $x$ là số lớn nhất nên $x = 21$.

Vậy số lớn nhất An có thể chọn có hàng đơn vị bằng 1.