Tìm \(m\) để bất phương trình \(\sqrt {x - {m^2} - m} \left( {3 - \dfrac{{x + 1}}{{{x^3} - {x^2} - 3x + 3}}} \right) < 0\,\,(*)\) có nghiệm .

Ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - \dfrac{{x + 1}}{{{x^3} - {x^2} - 3x + 3}} < 0}\\{x > {m^2} + m}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0}\\{x > {m^2} + m}\end{array}} \right.\)  \(\left( {**} \right)\)

Bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} + 3x - 4} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 3} \right)}} < 0\) là \(S = \left( {\dfrac{{ - 3 - \sqrt {57} }}{6}; - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {\dfrac{{ - 3 + \sqrt {57} }}{6};1} \right) \cup \left( {\sqrt 3 ;2} \right)\)

Do đó bất phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi hệ bất phương trình\(\left( {**} \right)\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow {m^2} + m < 2\)\( \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 < 0\)\( \Leftrightarrow  - 2 < m < 1\)

Vậy \( - 2 < m < 1\) là giá trị cần tìm.