Cho \({x^2} + {y^2} = 2,\) đẳng thức nào sau đây đúng?
Ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 2\left( {xy + x + y + 1} \right)\) \( = 2xy + 2x + 2y + 2\)
Thay \({x^2} + {y^2} = 2\) ta được
\(2xy + 2x + 2y + {x^2} + {y^2}\) \( = \left( {{x^2} + xy + 2x} \right) + \left( {{y^2} + xy + 2y} \right)\) \( = x\left( {x + y + 2} \right) + y\left( {x + y + 2} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Từ đó ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Cho \(B = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 6} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 6} \right)\). Chọn kết luận đúng.
Ta có \(B = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 6} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 6} \right)\)\( = {m^2} + 6m - m - 6 - \left( {{m^2} - 6m + m - 6} \right)\) \( = {m^2} + 5m - 6 - {m^2} + 6m - m + 6 = 10m\)
Nhận thấy \(10\,\, \vdots \,\,10 \Rightarrow 10.m\,\, \vdots \,10\) nên \(B\,\, \vdots \,10\) với mọi giá trị nguyên của \(m.\)
Cho \(m\) số mà mỗi số bằng \(3n - 1\) và \(n\) số mà mỗi số bằng \(9 - 3m.\) Biết tổng tất cả các số đó bằng 5 lần tổng \(m + n.\) Khi đó
+ Tổng của \(m\) số mà mỗi số bằng \(3n - 1\) là \(m\left( {3n - 1} \right)\)
+ Tổng của \(n\) số mà mỗi số bằng \(9 - 3m\) là \(n\left( {9 - 3m} \right)\)
Tổng tất cả các số trên là \(m\left( {3n - 1} \right) + n\left( {9 - 3m} \right)\)
Theo để bài ta có \(m\left( {3n - 1} \right) + n\left( {9 - 3m} \right) = 5\left( {m + n} \right)\)
\( \Leftrightarrow 3mn - m + 9n - 3mn = 5m + 5n\)
\( \Leftrightarrow 6m = 4n \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}n\)
Vậy \(m = \dfrac{2}{3}n\)
Tính tổng các hệ số của lũy thừa bậc ba, lũy thừa bậc hai và lũy thừa bậc nhất trong kết quả của phép nhân \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)\)
Ta có \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)\)\( = {x^2}.{x^3} + {x^2}.\left( { - 2x} \right) + {x^2}.1 + x.{x^3} + x.\left( { - 2x} \right) + x.1 + 1.{x^3} + 1.\left( { - 2x} \right) + 1.1\)
\( = {x^5} - 2{x^3} + {x^2} + {x^4} - 2{x^2} + x + {x^3} - 2x + 1\) \( = {x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} - x + 1\)
Hệ số của lũy thừa bậc ba là \( - 1\)
Hệ số của lũy thừa bậc hai là \( - 1\)
Hệ số của lũy thừa bậc nhất là \( - 1\)
Tổng các hệ số này là \( - 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) = - 3\)
Nếu \(a + b = m\) và \(ab = n\) thì
Ta có \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = x.x + x.b + a.x + a.b\) \( = {x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab\)
Mà \(a + b = m\) và \(ab = n\) nên ta có \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} + mx + n.\)
Xác định hệ số \(a,b,c\) biết rằng với mọi giá trị của \(x\) thì \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\)
Ta có \(VT = \left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right)\)\( = ax.{x^2} + ax.bx + ax.\left( { - 1} \right) + 4.{x^2} + 4.bx + 4.\left( { - 1} \right)\)
\( = a{x^3} + ab{x^2} - ax + 4{x^2} + 4bx - 4\)
\( = a{x^3} + \left( {ab{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( {4bx - ax} \right) - 4\)
\( = a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4\)
Theo bài ra ta có \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x\)
\( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4 = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\ab + 4 = 58\\4b - a = 15\\ - 4 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\9.b = 54\\4b - 9 = 15\\c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 6\\c = - 4\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
Cho biết \(\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = 2\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\). Khi đó
Ta có \(\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = 2\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)
\( \Leftrightarrow x.x + xz + yx + yz + y.y + yx + zy + zx = 2\left( {z.z + zy + xz + xy} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2xz + 2xy + 2yz + {y^2} = 2{z^2} + 2zy + 2xz + 2xy\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2xz + 2xy + 2yz + {y^2} - 2{z^2} - 2zy - 2xz - 2xy = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2{z^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2{z^2}\\ \Leftrightarrow {z^2} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\end{array}\)
Cho các số \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\). Khi đó \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) bằng
Vì \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\) nên \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = k\,\,\), suy ra \(x = ka;y = kb,z = kc\)
Thay \(x = ka;y = kb,z = kc\) vào \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) ta được
\(\left[ {{{\left( {ka} \right)}^2} + 2\left( {k{b^2}} \right) + 3{{\left( {kc} \right)}^2}} \right]\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = \left( {{k^2}{a^2} + 2{k^2}{b^2} + 3{k^2}{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\)
\( = {k^2}\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = {k^2}{\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)^2} = {\left[ {k\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)} \right]^2}\)
\( = {\left( {k{a^2} + 2k{b^2} + 3k{c^2}} \right)^2}\) \( = {\left( {ka.a + 2.kb.b + 3.kc.c} \right)^2}\)
\( = {\left( {xa + 2yb + 3zc} \right)^2}\) do \(x = ka;y = kb,z = kc\)
Vậy \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right) = {\left( {ax + 2by + 3cz} \right)^2}\)