Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

Câu 41 Trắc nghiệm

Cho \({x^2} + {y^2} = 2,\) đẳng thức nào sau đây đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 2\left( {xy + x + y + 1} \right)\) \( = 2xy + 2x + 2y + 2\)

Thay \({x^2} + {y^2} = 2\) ta được

\(2xy + 2x + 2y + {x^2} + {y^2}\) \( = \left( {{x^2} + xy + 2x} \right) + \left( {{y^2} + xy + 2y} \right)\) \( = x\left( {x + y + 2} \right) + y\left( {x + y + 2} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)

Từ đó ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)

Câu 42 Trắc nghiệm

Cho \(B = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 6} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 6} \right)\). Chọn kết luận đúng.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \(B = \left( {m - 1} \right)\left( {m + 6} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 6} \right)\)\( = {m^2} + 6m - m - 6 - \left( {{m^2} - 6m + m - 6} \right)\) \( = {m^2} + 5m - 6 - {m^2} + 6m - m + 6 = 10m\)

Nhận thấy \(10\,\, \vdots \,\,10 \Rightarrow 10.m\,\, \vdots \,10\) nên \(B\,\, \vdots \,10\) với mọi giá trị nguyên của \(m.\)

Câu 43 Trắc nghiệm

Cho \(m\) số mà mỗi số bằng \(3n - 1\) và \(n\) số mà mỗi số bằng \(9 - 3m.\) Biết tổng tất cả các số đó bằng 5 lần tổng \(m + n.\) Khi đó

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

+ Tổng của \(m\) số mà mỗi số bằng \(3n - 1\) là \(m\left( {3n - 1} \right)\)

+ Tổng của \(n\) số mà mỗi số bằng \(9 - 3m\) là \(n\left( {9 - 3m} \right)\)

Tổng tất cả các số trên là \(m\left( {3n - 1} \right) + n\left( {9 - 3m} \right)\)

Theo để bài ta có \(m\left( {3n - 1} \right) + n\left( {9 - 3m} \right) = 5\left( {m + n} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3mn - m + 9n - 3mn = 5m + 5n\)

\( \Leftrightarrow 6m = 4n \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}n\)

Vậy \(m = \dfrac{2}{3}n\)

Câu 44 Trắc nghiệm

Tính tổng các hệ số của lũy thừa bậc ba, lũy thừa bậc hai và lũy thừa bậc nhất trong kết quả của phép nhân \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^3} - 2x + 1} \right)\)\( = {x^2}.{x^3} + {x^2}.\left( { - 2x} \right) + {x^2}.1 + x.{x^3} + x.\left( { - 2x} \right) + x.1 + 1.{x^3} + 1.\left( { - 2x} \right) + 1.1\)

\( = {x^5} - 2{x^3} + {x^2} + {x^4} - 2{x^2} + x + {x^3} - 2x + 1\) \( = {x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} - x + 1\)

Hệ số của lũy thừa bậc ba là \( - 1\)

Hệ số của lũy thừa bậc hai là \( - 1\)

Hệ số của lũy thừa bậc nhất là \( - 1\)

Tổng các hệ số này là \( - 1 + \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) =  - 3\)

Câu 45 Trắc nghiệm

Nếu \(a + b = m\) và \(ab = n\) thì

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = x.x + x.b + a.x + a.b\) \( = {x^2} + \left( {a + b} \right)x + ab\)

Mà \(a + b = m\) và \(ab = n\) nên ta có \(\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right) = {x^2} + mx + n.\)

Câu 46 Trắc nghiệm

Xác định hệ số \(a,b,c\) biết rằng với mọi giá trị của \(x\) thì \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có \(VT = \left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right)\)\( = ax.{x^2} + ax.bx + ax.\left( { - 1} \right) + 4.{x^2} + 4.bx + 4.\left( { - 1} \right)\)

\( = a{x^3} + ab{x^2} - ax + 4{x^2} + 4bx - 4\)

\( = a{x^3} + \left( {ab{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( {4bx - ax} \right) - 4\)

\( = a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4\)

Theo bài ra ta có \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x\)

\( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4 = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\ab + 4 = 58\\4b - a = 15\\ - 4 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\9.b = 54\\4b - 9 = 15\\c =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 6\\c =  - 4\end{array} \right.\)

Vậy \(a = 9,b = 6,c =  - 4.\)

Câu 47 Trắc nghiệm

Cho biết \(\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = 2\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\). Khi đó

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \(\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right) + \left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right) = 2\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)

\( \Leftrightarrow x.x + xz + yx + yz + y.y + yx + zy + zx = 2\left( {z.z + zy + xz + xy} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2xz + 2xy + 2yz + {y^2} = 2{z^2} + 2zy + 2xz + 2xy\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2xz + 2xy + 2yz + {y^2} - 2{z^2} - 2zy - 2xz - 2xy = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2{z^2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2{z^2}\\ \Leftrightarrow {z^2} = \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{2}\end{array}\)

Câu 48 Trắc nghiệm

Cho các số \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\). Khi đó \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Vì \(x,y,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\) nên \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = k\,\,\), suy ra \(x = ka;y = kb,z = kc\)

Thay \(x = ka;y = kb,z = kc\) vào \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) ta được

\(\left[ {{{\left( {ka} \right)}^2} + 2\left( {k{b^2}} \right) + 3{{\left( {kc} \right)}^2}} \right]\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = \left( {{k^2}{a^2} + 2{k^2}{b^2} + 3{k^2}{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\)

\( = {k^2}\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)\) \( = {k^2}{\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)^2} = {\left[ {k\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right)} \right]^2}\)

\( = {\left( {k{a^2} + 2k{b^2} + 3k{c^2}} \right)^2}\) \( = {\left( {ka.a + 2.kb.b + 3.kc.c} \right)^2}\) 

\( = {\left( {xa + 2yb + 3zc} \right)^2}\) do \(x = ka;y = kb,z = kc\)

Vậy \(\left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {{a^2} + 2{b^2} + 3{c^2}} \right) = {\left( {ax + 2by + 3cz} \right)^2}\)