Tính tỉ số diện tích của tam giác \(BEF\) và tam giác \(ABC\).
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1564121626391_dddddd.png)
Gọi \(FK \bot AB\) tại \(K,\,AI \bot BC\) tại \(I\).
Ta có: \({S_{BEF}} = \dfrac{1}{2}FK.BE\) và \({S_{FAB}} = \dfrac{1}{2}FK.AB\) mà \(AB = 2EB\) (do \(E\) là trung điểm của \(AB\)) nên \({S_{BEF}} = \dfrac{1}{2}FK.\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}FK.AB} \right) = \dfrac{1}{2}{S_{ABF}}\) (1)
Lại có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AI.BC;\,\) \({S_{ABF}} = \dfrac{1}{2}AI.BF = \dfrac{1}{2}AI.\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}AI.BC} \right) = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({S_{BEF}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABF}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}.\)
Tỉ số cần tìm là \(\dfrac{1}{4}.\)
Tính tỉ số diện tích của tam giác \(BEF\) và tam giác \(ABC\).
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1564121626391_dddddd.png)
Gọi \(FK \bot AB\) tại \(K,\,AI \bot BC\) tại \(I\).
Ta có: \({S_{BEF}} = \dfrac{1}{2}FK.BE\) và \({S_{FAB}} = \dfrac{1}{2}FK.AB\) mà \(AB = 2EB\) (do \(E\) là trung điểm của \(AB\)) nên \({S_{BEF}} = \dfrac{1}{2}FK.\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}FK.AB} \right) = \dfrac{1}{2}{S_{ABF}}\) (1)
Lại có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AI.BC;\,\) \({S_{ABF}} = \dfrac{1}{2}AI.BF = \dfrac{1}{2}AI.\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}AI.BC} \right) = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({S_{BEF}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABF}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}.\)
Tỉ số cần tìm là \(\dfrac{1}{4}.\)
Cho hình vuông ABCD có cạnh \(20cm\). Hãy xác định điểm E trên cạnh AB sao cho diện tích hình thang vuông BCDE bằng \(\dfrac{3}{4}\) diện tích hình vuông ABCD.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1564122006587_gggggggggg.png)
Gọi \(BE = x\,\,(m)\).
Diện tích hình vuông ABCD là:
\({S_{ABCD}} = A{B^2} = {20^2} = 400\left( {{m^2}} \right)\).
Diện tích hình thang vuông BCDE là:
\({S_{BCDE}} = \dfrac{{\left( {BE + DC} \right)BC}}{2} = \dfrac{{\left( {x + 20} \right).20}}{2} = 10\left( {x + 20} \right)\).
Vì diện tích hình thang vuông BCDE bằng \(\dfrac{3}{4}\) diện tích hình vuông ABCD nên ta có:
\({S_{BCDE}} = \dfrac{3}{4}.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 10(x + 20) = \dfrac{3}{4}.400 \Leftrightarrow x + 20 = 30 \Leftrightarrow x = 10\,(cm)\).
Vậy điểm E ở trên cạnh AB sao cho \(BE = 10\,cm\) hay \(E\) là trung điểm đoạn \(AB.\)
Hãy chọn câu đúng:
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo.
Cho hình bình hành $ABCD\left( {AB{\rm{//}}CD} \right)$, đường cao \(AH = 6\,cm;CD = 12\,cm\) . Diện tích hình bình hành $ABCD$ là
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528890182870_70.png)
\({S_{ABCD}} = AH.CD = 6.12 = 72\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho hình thang $ABCD\left( {AB{\rm{//}}CD} \right),$ đường cao $AH$, \(AB = 4\,cm,CD = 8\,cm,\) diện tích hình thang là \(54\,c{m^2}\) thì $AH$ bằng
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528890942916_71.png)
\({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}} = \dfrac{{2.54}}{{4 + 8}} = 9\,(cm)\)
Hai đường chéo hình thoi có độ dài là $6\,cm$ và $8\,cm$ . Độ dài cạnh hình thoi là
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528944479996_80.png)
Giả sử hình thoi $ABCD$ có đường chéo $AC$ vuông góc với $BD$ tại$O$ , \(BD = 6cm;\,AC = 8cm\) .
Suy ra \(BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.6 = 3(cm);\,AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.8 = 4(cm)\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOB$ vuông tại $O$ ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\,(cm)\)
Cho hình thoi có cạnh là $5\,cm$ , một trong hai đường chéo có độ dài là $6\,cm$ . Diện tích của hình thoi là:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528944597798_81.png)
Giả sử hình thoi $ABCD$ , đường chéo $AC$ vuông góc với $BD$ tại$O$ , \(AB = 5\,cm;\,\,\,BD = 6\,cm.\)
\(BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,(cm)\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOB$ vuông tại $O$ ta có:
\(AO = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{5^2} - {3^2}} = 4\)
\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BD.AC = \dfrac{1}{2}BD.2AO = BD.AO = 6.4 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại$O$ . Biết \(AB = 10\,cm,OA = 6\,cm\) .Diện tích hình thoi $ABCD$ là:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528944714774_82.png)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOB$ vuông tại $O$ ta có:
\(BO = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}} = 8\)
\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BD.AC = \dfrac{1}{2}2.BO.2AO = 2BO.AO = 2.8.6 = 96\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho tứ giác $ABCD$ có đường chéo $AC$ vuông góc với $BD$ , diện tích của $ABCD$ là \(25\,c{m^2};BD = 5cm\) . Độ dài đường chéo $AC$ là:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528944845035_83.png)
\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BD.AC \)\(\Rightarrow AC = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{BD}} = \dfrac{{2.25}}{5} = 10\,cm.\)
Một hình thang có đáy nhỏ là $9\,cm$ , chiều cao là $4\,cm$ , diện tích là \(50\,c{m^2}\) . Đáy lớn là:
Tổng hai đáy của hình thang là: \(2.50:4 = 25\,\,cm.\)
Độ dài đáy lớn là: \(25 - 9 = 16\,\,cm\).
Cho hình vẽ dưới đây với \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(MNCB\) là hình bình hành. Chọn khẳng định đúng.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945000331_84.png)
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945084717_84.png)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \({S_{ABCD}} = BC.DC\)
Vì BCNM là hình bình hành, lại có \(CD \bot AD\) (vì \( ABCD\) là hình chữ nhật) hay \(CD \bot MN\) nên ta có: \({S_{BCNM}} = MN.DC\)
Mà \(BC = MN\) (do BCNM là hình bình hành) nên \({S_{BCNM}} = MN.DC=BC.CD\), suy ra \({S_{ABCD}} = {S_{BCNM}}\) .
Tính diện tích mảnh đất hình thang vuông $ABCD$ có độ dài hai đáy \(AB = 10\,cm;\,DC = 13\,cm;\,\widehat A = \widehat D = 90^\circ \) ( hình vẽ), biết tam giác $BEC$ vuông tại $E$ và có diện tích bằng \(13,5\,c{m^2}\).
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945148995_85.png)
Tứ giác $ABED$ có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.
Suy ra \(DE = AB = 10\,cm\) . Do đó: \(EC = DC - DE = 13 - 10 = 3\,(cm)\)
Ta có:
\({S_{BEC}} = \dfrac{1}{2}BE.EC \Rightarrow BE = \dfrac{{2{S_{BEC}}}}{{EC}} = \dfrac{{2.13,5}}{3} = 9\,(cm)\)
\({S_{ABED}} = AB.BE = 10.9 = 90\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
\({S_{ABCD}} = {S_{ABED}} + {S_{BEC}} = 90 + 13,5 = 103,5\,(c{m^2})\).
Hình thoi có độ dài hai đường chéo là \(6\,cm\) và \(8\,cm\). Tính độ dài đường cao của hình thoi.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945368392_86.png)
Giả sử hình thoi $ABCD$ , đường chéo $AC$ vuông góc với $BD$ tại $O$ , \(AC = 8\,cm;\,BD = 6\,cm\)
Gọi $BH$ là đường cao hình thoi kẻ từ đỉnh $B$ .
Ta có: \(DO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.6 = 3\,(cm);\,AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,(cm)\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOD$ vuông tại $O$ ta có:
\(AD = \sqrt {A{O^2} + O{D^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\,(cm)\\{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BD.AC = \dfrac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\\{S_{ABCD}} = BH.AD \)\(\Rightarrow BH = \dfrac{{{S_{ABCD}}}}{{AD}} = \dfrac{{24}}{5} = 4,8\,(cm)\)
Cho hình thoi $MNPQ$ . Biết $A,B,C,D$ lần lượt là các trung điểm của các cạnh $NM,NP,PQ,QM$.
Tính tỉ số diện tích của tứ giác $ABCD$ và hình thoi $MNPQ$ .
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945554663_87.png)
Xét tam giác $MNP$ có: \(MA = AN;\,NB = BP(gt) \Rightarrow \) $AB$ là đường trung bình của tam giác $MNP$ \( \Rightarrow AB = \dfrac{1}{2}MP;\,AB{\rm{//}}MP\,(1)\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Xét tam giác $MQP$ có: \(MD = DQ;\,PC = CQ(gt) \Rightarrow \) $CD$ là đường trung bình của tam giác $MQP$ \( \Rightarrow CD = \dfrac{1}{2}MP;\,CD{\rm{//}}MP\,(2)\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Xét tam giác $MNQ$ có: \(MA = AN;\,MD = DQ(gt) \Rightarrow \) $AD$ là đường trung bình của tam giác $MNQ$ \( \Rightarrow AD = \dfrac{1}{2}NQ;\,AD{\rm{//}}NQ\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Từ (1) và (2) suy ra \(AB = CD;AB{\rm{//}}CD \Rightarrow \) $ABCD$ là hình bình hành (dhnb).
Ta có: \(AB{\rm{//}}MP(cmt);\,NQ \bot MP(gt) \Rightarrow AB \bot NQ\) . Mặt khác \(AD{\rm{//}}NQ\,\,(cmt)\) , suy ra \(AD \bot AB \Rightarrow \widehat {DAB} = 90^\circ \)
Hình bình hành $ABCD$ có \(\widehat {DAB} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật (dhnb).
Diện tích hình thoi $MNPQ$ là: \({S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}MP.NQ\,(3)\)
Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ là: \({S_{ABCD}} = AB.AD = \dfrac{1}{2}MP.\dfrac{1}{2}NQ = \dfrac{1}{4}MP.NQ\,\,(4)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(\dfrac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{MNPQ}}}} = \dfrac{1}{2}\) .
Cho hình thoi $MNPQ$ . Biết $A,B,C,D$ lần lượt là các trung điểm của các cạnh $NM,NP,PQ,QM$.
Cho diện tích hình thoi $MNPQ$ bằng \(30\,c{m^2}\) , tính diện tích tứ giác $ABCD$ .
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945668986_88.png)
Ta có:\(\dfrac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{MNPQ}}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}.30 = 15\left( {c{m^2}} \right)\) .
Cho tam giác $ABC$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC$ . Vẽ \(BP \bot MN;\,CQ \bot MN\,\left( {P,\,Q \in MN} \right)\) . So sánh \({S_{BPQC}}\) và \({S_{ABC}}\).
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945957242_90.png)
Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\) và \(AH\) cắt \(MN\) tại \(K\) .
+ Xét tam giác \(ABC\) có \(MN\) là đường trung bình nên \(MN{\rm{//}}BC\) suy ra \(AH \bot MN\) tại \(K\) .
Xét tứ giác \(CBPQ\) có \(PQ{\rm{//}}BC\) (do \(MN{\rm{//}}BC\)) và \(PB{\rm{//}}CQ\) (do cùng vuông góc với \(PQ\) ) nên \(CBPQ\) là hình bình hành. Lại có \(\widehat {PBC} = 90^\circ \) nên tứ giác \(CBPQ\) là hình chữ nhật.
Suy ra \({S_{CBPQ}} = BP.BC\) .
+ Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta AKM\) có
Suy ra \(\Delta BPM = \Delta AKM\,\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow BP = AK\) (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét \(\Delta ABK\) có \(MK{\rm{//}}BH\) (do\(MN{\rm{//}}BC\) ) và \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(K\) là trung điểm của \(AH\) (định lý về đường trung bình của tam giác). Nên \(AK = \dfrac{1}{2}AH\) (2).
Từ (1) và (2) ta có \(PB = \dfrac{1}{2}AH\) .
+ \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC\) mà \(PB = \dfrac{1}{2}AH\)(cmt) nên \({S_{ABC}} = PB.BC\) .
Lại có \({S_{CBPQ}} = BP.BC\) (cmt) nên ta có \({S_{ABC}} = {S_{CBPQ}}\) .
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Về phía ngoài tam giác, vẽ các hình vuông $ABDE,ACFG,BCHI$ . Chọn khẳng định đúng:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528946095822_91.png)
Ta có \({S_{BCHI}} = B{C^2};\,{S_{ACFG}} = A{C^2};\,{S_{ABDE}} = A{B^2}\)
Theo định lý Pytago cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) \( \Rightarrow {S_{BCHI}} = {S_{ACFG}} + {S_{ABDE}}\) .
Cho hình vuông ABCD có cạnh 10m. Hãy xác định điểm E trên cạnh AB sao cho diện tích hình thang vuông BCDE bằng \(\dfrac{4}{5}\) diện tích hình vuông ABCD.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945813122_89.png)
Gọi \(BE = x\,\,(m)\) .
Diện tích hình vuông ABCD là:
\({S_{ABCD}} = A{B^2} = {10^2} = 100\left( {{m^2}} \right)\)
Diện tích hình thang vuông BCDE là:
\({S_{BCDE}} = \dfrac{{\left( {BE + DC} \right)BC}}{2} = \dfrac{{\left( {x + 10} \right).10}}{2} = 5\left( {x + 10} \right)\)
Vì diện tích hình thang vuông BCDE bằng \(\dfrac{4}{5}\) diện tích hình vuông ABCD nên ta có:
\({S_{BCDE}} = \dfrac{4}{5}.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow 5(x + 10) = \dfrac{4}{5}.100 \Leftrightarrow x + 10 = 16 \Leftrightarrow x = 6\,(m)\) .
Vậy điểm E ở trên cạnh AB sao cho \(BE = 6\,m\) .
Trong các hình thoi có chu vi bằng nhau, hình nào có diện tích lớn nhất?
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1564122572165_kkkkkkkkkk.png)
Xét hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Kẻ BH vuông góc với AD.
Ta có: \({S_{ABCD}} = AD.BH\)
Trong tam giác vuông ABH vuông tại H thì:
\(BH \le AB\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)
Do đó: \({S_{ABCD}} = AD.BH \le AD. AB = AB. AB = A{B^2}\).
\({S_{ABCD}}\) có giá trị lớn nhất bằng \(A{B^2}\) khi ABCD là hình vuông.
Vậy trong các hình thoi có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.