Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm - Đề số 5

Ta có:

$\begin{array}{l} + )\,M\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right)\\ = {x^2} + 2x - 5 + {x^2} - 9x + 5 = 2{x^2} - 7x\end{array}$

$\begin{array}{l} + )\,N\left( x \right) = P\left( x \right) - Q\left( x \right)\\ = {x^2} + 2x - 5 - \left( {{x^2} - 9x + 5} \right)\\ = {x^2} + 2x - 5 - {x^2} + 9x - 5\\ = 11x - 10\end{array}$.

Vậy $M\left( x \right) = 2{x^2} - 7x;N\left( x \right) = 11x - 10$.

Theo kết quả câu trước ta có: $M\left( x \right) = 2{x^2} - 7x;N\left( x \right) = 11x - 10$.

Ta có:

$\begin{array}{l}M\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2x - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\end{array}$.

Và $N\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 11x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{10}}{{11}}$.

Vậy $M\left( x \right)$ có hai nghiệm và $N\left( x \right)$ có một nghiệm.

$\begin{array}{l}\,f\left( x \right) = {x^6} - 2019{x^5} + 2019{x^4} - 2019{x^3} + 2019{x^2} - 2019x + 1\\ = {x^6} - \left( {2018 + 1} \right)\left( {{x^5} - {x^4} + {x^3} - {x^2} + x} \right) + 1\\ = {x^6} - 2018{x^5} - {x^5} + 2018{x^4} + {x^4} - 2018{x^3} - {x^3} + 2018{x^2} + {x^2} - 2018x - x + 1\end{array}$.

Thay $x = 2018$ vào đa thức $f\left( x \right)$ ta được:

$f\left( {2018} \right) = {2018^6} - {2018^6} - {2018^5} + {2018^5} + {2018^4} - {2018^4} - {2018^3}$$+ {2018^3} + {2018^2} - {2018^2} - 2018 + 1$

$=  - 2018 + 1 =  - 2017$.

Vì $AE$ là phân giác của $\angle CAK\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle CAE = \angle BAE$ (tính chất tia phân giác).

Xét hai tam giác vuông $\Delta ACE$ và $\Delta AKE$ có:

+) $AE$ chung (gt)

+) $\angle CAE = \angle BAE\,\left( {cmt} \right)$

$\Rightarrow \Delta ACE = \Delta AKE$ (cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow AC = AK$ (hai cạnh tương ứng)

Vì $\Delta ACE = \Delta AKE\,\left( {cmt} \right)\, \Rightarrow \,\,CE = \,EK$ (hai cạnh tương ứng) (1)

Vì $AC = AK\,\,\left( {cmt} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AE$ là đường trung trực của $CK$ (dấu hiệu nhận biết đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Rightarrow CK \bot \,\,AE$ (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng).

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $C$ ta có $\angle B + \angle BAC = {90^0} \Rightarrow \angle B = {90^0} - \angle BAC = {90^0} - {60^0} = {30^0}$.

Vì $AE$ là phân giác của $\angle BAC\,\,\left( {gt} \right)\, \Rightarrow \angle EBA\, = \dfrac{1}{2}\angle BAC = \dfrac{1}{2}{.60^0} = {30^0}$ (tính chất tia phân giác)

$\Rightarrow \angle EBA\,\, = \,\angle EAB\, = {30^0} \Rightarrow \Delta ABE$ cân tại $E$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

Mà $EK \bot AB\,\left( {gt} \right) \Rightarrow EK$ cũng là đường trung trực của $AB$ (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow AB = 2AK$ (tính chất đường trung trực)

Mà theo câu trước ta có: $AK = AC\,\, \Rightarrow AB = 2AC.$

+) Xét $\Delta BEK$ vuông tại $K$ có: $EB > BK$ (bất đẳng thức tam giác).

Mà $\left\{ \begin{array}{l}BK = AK\\AK = AC\end{array} \right.\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow EB > AC.$

+) Xét $\Delta ABE$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}BD\, \bot \,AE\\EK\, \bot \,AB\\AC\, \bot \,BE\,\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right)$.

Suy ra: $BD,\,EK,\,AC$ là ba đường cao của $\Delta ABE$, 

Mà trong một tam giác ba đường cao đồng quy tại một điểm.

Vậy 3 đường thẳng $BD,\,EK,\,AC$ đồng quy.

Ta có:

$f\left( { - 1} \right) = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = \,a - b + c = \,\left( {a + c} \right) - b$.

Mà $a + c = b + 2018 \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = b + 2018 - b = 2018$. Vậy $f\left( { - 1} \right) = 2018$.

Ta có:

$\begin{array}{l}F\left( 1 \right) = a + b + c \Rightarrow 3F\left( 1 \right) = 3a + 3b + 3c\\F\left( { - 2} \right) = 4a - 2b + c \Rightarrow 2F\left( { - 2} \right) = 8a - 4b + 2c\end{array}$.

Xét:

$\begin{array}{l}3F\left( 1 \right) = 3a + 3b + 3c = 11a - 8a + 4b - b + 5c - 2c\\ = \left( {11a - b + 5c} \right) - \left( {8a - 4b + 2c} \right) = 0 - 2F\left( { - 2} \right) =  - 2F\left( { - 2} \right)\\ \Rightarrow 3F\left( 1 \right) =  - 2F\left( { - 2} \right)\end{array}$.

Suy ra: $F\left( 1 \right)$  và $F\left( { - 2} \right)$ không thể cùng dấu hay $F\left( 1 \right);F\left( { - 2} \right)$ trái dấu.