Bài toán tương giao đồ thị

Đặt \(t = 3x + 1\).

Dễ thấy với mỗi \(x\) chỉ có một \(x\) và ngược lại.

Do đó số nghiệm \(x\) của phương trình đã cho bằng số nghiệm \(t\) của phương trình \(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

Ta có:

\(\left| {f\left( t \right) - 2} \right| = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) - 2 = 5\\f\left( t \right) - 2 =  - 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = 7\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( t \right) =  - 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Từ bbt ta thấy,

+) Đường thẳng \(y = 7\) cắt đồ thị hàm số tại duy nhất 1 điểm nên (1) có 1 nghiệm.

+) Đường thẳng \(y =  - 3\) cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm nên (2) có 2 nghiệm.

Dễ thấy các nghiệm của (1) và (2) phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm.

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}} = x + m\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 3 = {x^2} + mx - x - m\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m + 3 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( { - m + 3} \right) > 0\\1 + \left( {m - 3} \right).1 - m + 3 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 + 4m - 12 > 0\\1 \ne 0\,\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện bài toán ta suy ra \(m \in \left[ { - 2020; - 1} \right) \cup \left( {3;2020} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có 2019 + 2017 = 4036 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt \(t = 1 - f\left( x \right)\), phương trình trở thành \(f\left( t \right) = 2\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 2\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - f\left( x \right) = 1\\1 - f\left( x \right) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( x \right) = 3\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

+ Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 0\) nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 3\) nên phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm.

Đặt \(t = 3 - {x^2}\), ta có: \({x^2} \ge 0,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow t = 3 - {x^2} \le 3,\,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Rightarrow t \in \left( { - \infty ;3} \right].\) 

Bất phương trình \(f\left( {3 - {x^2}} \right) \ge m\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với mọi \(t \in \left( { - \infty ;3} \right].\)

Từ BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy: \(f\left( t \right) \ge m\) vô nghiệm với \(t \in \left( { - \infty ;3} \right]\) khi \(m > 3\).

Vậy \(m > 3\).

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng ta có:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( {{C_m}} \right)\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ; > 0\\0 + 2m.0 + m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m - 2 > 0\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne 2\end{array} \right.\) .

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là \(2\) nghiệm phân biệt của phương trình \(\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow B\left( {{x_1};{x_1} + 4} \right);\,\,\,C\left( {{x_2};{x_2} + 4} \right).\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2m\\{x_1}.{x_2} = m + 2\end{array} \right..\)

Ta có: \({S_{KBC}} = \frac{1}{2}.d\left( {K,BC} \right).BC.\)

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + 4 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\).

Vì \(B,\,\,C\) thuộc đường thẳng \(\left( d \right)\) nên ta có: \(d\left( {K,BC} \right) = d\left( {K;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 .\)

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} + 4 - {x_1} - 4} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {2{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\BC = \sqrt 2 .\sqrt {4{m^2} - 4\left( {m + 2} \right)} \\BC = 2\sqrt 2 .\sqrt {{m^2} - m - 2} \end{array}\) 

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{KBC}} = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\sqrt 2 .2\sqrt 2 \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 8\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - m - 2}  = 4\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 32\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)  

Vậy \(m = \frac{{1 \pm \sqrt {137} }}{2}\).

Số nghiệm của pt $\left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right| = m$(*) số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ và đường thẳng $y = m$.

Ta có đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ như hình vẽ:           

Để pt $(*)$ có $4$ nghiệm phân biệt thì đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ tại $4$ điểm phân biệt.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng  cắt đồ thị hàm số $y = \left| {{x^4} - 4{x^2} + 3} \right|$ tại $4$ điểm phân biệt $ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}  m = 0 \hfill \\  1 < m < 3 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

Đặt \(t = f\left( {\cos x} \right) - 1\), phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = 0\).

Với \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) \( \Rightarrow  - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow  - 3 \le f\left( {\cos x} \right) \le 1\) \( \Rightarrow  - 4 \le f\left( {\cos x} \right) - 1 \le 0\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 4;0} \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\\t = {t_3} \in \left( {1;2} \right)\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

+ Với \(t = {t_1} \Rightarrow f\left( {\cos x} \right) - 1 = {t_1} \Leftrightarrow f\left( {\cos x} \right) = {t_1} + 1 \in \left( { - 1;0} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f\left( {\cos x} \right) = {t_1} + 1 \in \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {a_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\\\cos x = {a_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\left( 1 \right)\\\cos x = {a_3} \in \left( {1;2} \right)\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\).

Trên đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\) phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Với \(t = {t_2} \Rightarrow f\left( {\cos x} \right) - 1 = {t_2} \Leftrightarrow f\left( {\cos x} \right) = {t_2} + 1 \in \left( {0;1} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f\left( {\cos x} \right) = {t_2} + 1 \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {b_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\\\cos x = {b_2} \in \left( {0;1} \right)\,\,\left( 2 \right)\\\cos x = {b_3} \in \left( {1;2} \right)\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\).

Trên đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\) phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm phân biệt.

Ta có \(f\left( x \right) = {2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = {3.2^{2019}}{x^2} + {3.2^{2019}}x = {3.2^{2019}}x\left( {x + 1} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{f'\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}.\dfrac{1}{{x.\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành \({2^{2019}}{x^3} + {3.2^{2018}}{x^2} - 2018 = 0\) (*)

Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) là ba ngiệm của phương trình (*) nên theo hẹ thức Vi-et ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{{ - 3}}{2}\\{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} = 0\\{x_1}{x_2}{x_3} = \dfrac{{2018}}{{{2^{2019}}}}\end{array} \right.\)

Ta có \(P = \dfrac{1}{{f'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( {{x_3}} \right)}} = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} - \dfrac{1}{{{x_1} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} - \dfrac{1}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_3}}} - \dfrac{1}{{{x_3} + 1}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left[ {\left( {\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} + \dfrac{1}{{{x_3}}}} \right) - \left( {\dfrac{1}{{{x_1} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 1}} + \dfrac{1}{{{x_3} + 1}}} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left[ {\dfrac{{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3}}}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} - \dfrac{{\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right) + \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right) + \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}}} \right]\)

\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}\left( {0 - \dfrac{{{x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_1}{x_3} + 2\left( {{x_1} + {x_2} + {x_3}} \right) + 3}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{{{{3.2}^{2019}}}}.\dfrac{{0 + 2.\dfrac{{ - 3}}{2} + 3}}{{\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)\left( {{x_3} + 1} \right)}} = 0\)

Ta có: \( - 1 < \cos x \le 0\,\,\,\forall x \in \left[ {\dfrac{\pi }{2};\pi } \right)\), khi đó dựa vào đồ thị hàm số ta có \(0 \le f\left( {\cos x} \right) < 2\).

\( \Leftrightarrow 0 \le 2f\left( {\cos x} \right) < 4 \Leftrightarrow 0 \le \sqrt {2f\left( {\cos x} \right)}  < 2\).

Đặt \(t = \sqrt {2f\left( {\cos x} \right)} \) \( \Rightarrow t \in \left[ {0;2} \right)\).

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tổng tất cả giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \(t \in \left[ {0;2} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với \(t \in \left[ {0;2} \right)\) thì \(f\left( t \right) \in \left[ { - 2;2} \right)\), do đó phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \in \left[ { - 2;2} \right)\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy tổng các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \( - 2 - 1 + 0 + 1 =  - 2\).

Đặt \(2\sin x - 1 = t\), với \(x \in \left[ {0;3\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 3;1} \right]\).

Vì \(f'\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc ba nên có dạng \(f'\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d = 0\\c = 0\\ - a + b - c + d =  - 2\\d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 3\\c = 0\\d = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4}}}{4} - {x^3} + 2x\).

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 - \sqrt 3 \\x = 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Từ đó suy ra BBT của hàm số \(y = f\left( {x - 1} \right)\) như sau:

Từ BBT trên ta suy ra BBT của hàm số \(y = f\left( {\left| x \right| - 1} \right)\) như sau:

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f\left( {\left| t \right| - 1} \right) = m\) có tối đa 4 nghiệm \(t \in \left( { - 3;1} \right)\)

Với mỗi giá trị \(t \in \left( { - 3;1} \right)\) thì phương trình \(2\sin x - 1 = t\) có tối đa 4 nghiệm trên \(\left[ {0;3\pi } \right]\).

Vậy tập nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| {2\sin x - 1} \right| - 1} \right) = m\) có tối đa 16 phần tử.

Ta có \({f^2}\left( x \right) - \left( {m + 4} \right)\left| {f\left( x \right)} \right| + 2m + 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left| {f\left( x \right)} \right|^2} - \left( {m + 4} \right)\left| {f\left( x \right)} \right| + 2m + 4 = 0\)

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| {f\left( x \right)} \right| = 2\\
\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2
\end{array} \right.$

Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) ta được:

Dễ thấy phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 2\) có \(4\) nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) nên để phương trình đã cho có \(6\) nghiệm phân biệt thì phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2\) phải có \(2\) nghiệm phân biệt khác các nghiệm trên.

Do đó đường thẳng \(y = m + 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) tại \(2\) điểm phân biệt.

Từ hình vẽ ta có \(\left[ \begin{array}{l}m + 2 > 4\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 2;3;4} \right\}\).

Vậy có \(3\) giá trị thỏa mãn.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {{x^2} - 6\left| x \right| - 1} \right)^2} - \left( {m - 5} \right)\left| x \right|\left( {\left| x \right| - 6} \right) + 1 - m = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 6\left| x \right| - 1} \right)^2} - \left( {m - 5} \right)\left( {{x^2} - 6\left| x \right|} \right) + 1 - m = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} - 6\left| x \right|\). Khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}{\left( {t - 1} \right)^2} - \left( {m - 5} \right)t + 1 - m = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 - \left( {m - 5} \right)t + 1 - m = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m - 3} \right)t + 2 - m = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 6\left| x \right|\), ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(t = {x^2} - 6\left| x \right|\) có tối đa 4 nghiệm phân biệt, do đó để phương trình ban đầu có 8 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \( - 9 < t < 0\).

Xét phương trình (*) ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m - 3} \right)^2} - 4\left( {2 - m} \right)\\\Delta  = {m^2} - 6m + 9 - 8 + 4m\\\Delta  = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}\end{array}\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow m \ne 1\).

Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt là \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{m - 3 + m - 1}}{2} = m - 2\\{t_2} = \dfrac{{m - 3 - m + 1}}{2} =  - 1 \in \left( { - 9;0} \right)\end{array} \right.\).

Để phương trình có 8 nghiệm phân biệt thì \({t_1} \in \left( { - 9;0} \right)\).

\( \Rightarrow  - 9 < m - 2 < 0 \Leftrightarrow  - 7 < m < 2\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Kết hợp điều kiện \(m \ne 1\) \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\)

Vậy có 7 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xét \(x \in \left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]:\) 

Đặt \(t = \sin x\,\,\left( {t \in \left[ { - 1;1} \right]} \right)\).

Dựa vào BBT ta thấy phương trình \(f\left( t \right) = 1\) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}t = {t_1} <  - 1\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\\t = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\\t = {t_4} > 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\sin x = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\\\sin x = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy,

+) Phương trình \(\sin x = {t_3} \in \left( {0;1} \right)\) có 3 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\)

+) Phương trình \(\sin x = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\) có 2 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right]\)

Vậy phương trình đã cho có tất cả 5 nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\dfrac{{5\pi }}{2}} \right].\)

Số nghiệm của phương trình ${x^2}\left| {x - 3} \right| = m + \dfrac{1}{m}$ là số giao điểm của đường thẳng $y = m + \dfrac{1}{m}$ và đồ thị hàm số $y = {x^2}\left| {x - 3} \right|$.

Ta có: \({x^2}\left| {x - 3} \right| = \left| {{x^2}} \right|.\left| {x - 3} \right| = \left| {{x^2}\left( {x - 3} \right)} \right| = \left| {{x^3} - 3{x^2}} \right|\).

Do đó, ta có đồ thị hàm số $y = {x^2}\left| {x - 3} \right|$:

Phương trình ${x^2}\left| {x - 3} \right| = m + \dfrac{1}{m}$ có 4 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $đường thẳng $y = m + \dfrac{1}{m}$ cắt  đồ thị hàm số $y = {x^2}\left| {x - 3} \right|$ tại 4 điểm phân biệt $ \Leftrightarrow 0 < m + \dfrac{1}{m} < 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  \dfrac{{{m^2} + 1}}{m} > 0 \hfill \\ \dfrac{{{m^2} - 4m + 1}}{m} < 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right.$                     $\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  m > 0 \hfill \\  {m^2} - 4m + 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}  m > 0 \hfill \\  2 - \sqrt 3  < m < 2 + \sqrt 3  \hfill \\ \end{gathered}  \right.  \hfill \\ \end{gathered} $

$ \Leftrightarrow 2 - \sqrt 3  < m < 2 + \sqrt 3 $

Ta có: \(f\left( {f\left( x \right) + m} \right) + 1 = f\left( x \right) + m\)

Đặt \(t = f\left( x \right) + m\), phương trình trở thành: \(f\left( t \right) + 1 = t \Leftrightarrow f\left( t \right) = t - 1\,\,\,\left( * \right)\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = t - 1\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = t - 1\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\\t = 0\\t = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) =  - m - 2\\f\left( x \right) =  - m\\f\left( x \right) =  - m + 2\end{array} \right.\).

Dựa vào đồ thị trên \(\left[ { - 1;1} \right]\), phương trình \(f\left( {f\left( x \right) + m} \right) + 1 = f\left( x \right) + m\) có đúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 \le  - m - 2 \le 1\\ - 3 \le  - m \le 1\\ - 3 \le  - m + 2 \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le m \le 1\\ - 1 \le m \le 3\\1 \le m \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có:

\(f\left( {\left| {2f\left( x \right) + m} \right|} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {2f\left( x \right) + m} \right| =  - 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left| {2f\left( x \right) + m} \right| = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (2) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2f\left( x \right) + m = 2\\2f\left( x \right) + m =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{2 - m}}{2}\\f\left( x \right) = \dfrac{{ - 2 - m}}{2}\end{array} \right.\).

Dựa vào BBT trên \(\left[ { - 1;1} \right]\), để phương trình \(f\left( {\left| {2f\left( x \right) + m} \right|} \right) = 1\) có đúng 2 nghiệm thì \(\left\{ \begin{array}{l} - 3 \le \dfrac{{2 - m}}{2} \le 1\\ - 3 \le \dfrac{{ - 2 - m}}{2} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le m \le 8\\ - 4 \le m \le 4\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\). Vậy có 5 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Số nghiệm của pt $2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right| = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = 2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right|$ và đường thẳng $y = m$.

Ta có đồ thị hàm số $y = 2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right|$:

Pt $2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right| = m$ có $6$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = 2{\left| x \right|^3} - 9{x^2} + 12\left| x \right|$ tại $6$ điểm phân biệt $ \Leftrightarrow 4 < m < 5$.

Ta có: \(\left| {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {f\left( x \right)} \right) = 2\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( {f\left( x \right)} \right) =  - 2\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = a <  - 4\,\,\,\left( {1.1} \right)\\f\left( x \right) = b > 3\,\,\,\,\,\,\,\left( {1.2} \right)\end{array} \right.\), \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) =  - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2.1} \right)\\f\left( x \right) = c \in \left( {1;3} \right)\,\,\,\left( {2.2} \right)\\f\left( x \right) = d > 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2.3} \right)\end{array} \right.\)

Tiếp tục dựa vào BBT ta có:

- Phương trình (1.1) có 0 nghiệm.

- Phương trình (1.2) có 2 nghiệm phân biệt.

- Phương trình (2.1) có 1 nghiệm.

- Phương trình (2.2) có 2 nghiệm phân biệt.

- Phương trình (2.3) có 2 nghiệm phân biệt.

Rõ ràng 7 nghiệm trên là phân biệt.

Vậy phương trình \(\left| {f\left( {f\left( x \right)} \right)} \right| = 2\) có 7 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:.

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{1 - x}} = mx - m - 1\,\,\left( {x \ne 1} \right)\\ \Leftrightarrow x = \left( {mx - m - 1} \right)\left( {1 - x} \right)\\ \Leftrightarrow x = mx - m - 1 - m{x^2} + mx + x\\ \Leftrightarrow m{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(d:\,\,y = mx - m - 1\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(M,\,\,N\) thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - m\left( {m + 1} \right) > 0\\m - 2m + m + 1 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m > 0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0\).

Khi đó hoành độ của hai điểm \(M,\,\,N\) là nghiệm của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + {x_N} = 2\\{x_M}.{x_N} = \dfrac{{m + 1}}{m}\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_M} = m{x_M} - m - 1\\{y_N} = m{x_N} - m - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {y_M} + {y_N} = \left( {{x_M} + {x_N}} \right) - 2m - 2 =  - 2\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), ta có \(I\left( {1; - 1} \right)\) \( \Rightarrow A{I^2} = {2^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 8\).

\(\begin{array}{l}M{N^2} = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {\left( {{y_M} - {y_N}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {\left( {m{x_M} - m - 1 - m{x_N} + m + 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2} + {m^2}{\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + {m^2}} \right){\left( {{x_M} - {x_N}} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + {m^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} - 4{x_M}{x_N}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 + {m^2}} \right)\left[ {4 - 4\dfrac{{m + 1}}{m}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, =  - 4\dfrac{{1 + {m^2}}}{m}\end{array}\)

Do \(M{N^2} > 0\) nên \(m < 0\).

Đặt \(T = A{M^2} + A{N^2}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A{I^2} = \dfrac{{A{M^2} + A{N^2}}}{2} - \dfrac{{M{N^2}}}{4}\\ \Rightarrow 4A{I^2} = 2T - M{N^2}\\ \Leftrightarrow T = \dfrac{{4A{I^2} + M{N^2}}}{2} \Leftrightarrow T = \dfrac{{4.8 - 4\dfrac{{1 + {m^2}}}{m}}}{2}\\ \Leftrightarrow T = 16 - 2\dfrac{{1 + {m^2}}}{m} \Leftrightarrow T = \dfrac{{ - 2{m^2} + 16m - 2}}{m}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}T' = \dfrac{{\left( { - 4m + 16} \right)m - \left( { - 2{m^2} + 16m - 2} \right)}}{{{m^2}}}\\T' = \dfrac{{ - 4{m^2} + 16m + 2{m^2} - 16m + 2}}{{{m^2}}}\\T' = \dfrac{{ - 2{m^2} + 2}}{{{m^2}}} = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\end{array}\)

BBT:

Từ BBT ta thấy \(\min T = 20 \Leftrightarrow m =  - 1\) .

Đồ thị hàm số \(y =  - {x^4} + 4{x^2} - 3\)  cắt trục tung \( \Rightarrow x = 0\)

Với \(x = 0\) thay vào hàm số \( \Rightarrow y =  - 3\).