Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi phương trình \(f\left[ {f\left( {\cos x} \right) - 1} \right] = 0\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\)?

Đặt \(t = f\left( {\cos x} \right) - 1\), phương trình trở thành: \(f\left( t \right) = 0\).

Với \(x \in \left[ {0;3\pi } \right]\) \( \Rightarrow  - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow  - 3 \le f\left( {\cos x} \right) \le 1\) \( \Rightarrow  - 4 \le f\left( {\cos x} \right) - 1 \le 0\) \( \Rightarrow t \in \left[ { - 4;0} \right]\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = {t_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)\\t = {t_2} \in \left( { - 1;0} \right)\\t = {t_3} \in \left( {1;2} \right)\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

+ Với \(t = {t_1} \Rightarrow f\left( {\cos x} \right) - 1 = {t_1} \Leftrightarrow f\left( {\cos x} \right) = {t_1} + 1 \in \left( { - 1;0} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f\left( {\cos x} \right) = {t_1} + 1 \in \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {a_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\\\cos x = {a_2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\left( 1 \right)\\\cos x = {a_3} \in \left( {1;2} \right)\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\).

Trên đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\) phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+ Với \(t = {t_2} \Rightarrow f\left( {\cos x} \right) - 1 = {t_2} \Leftrightarrow f\left( {\cos x} \right) = {t_2} + 1 \in \left( {0;1} \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \(f\left( {\cos x} \right) = {t_2} + 1 \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {b_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\\\cos x = {b_2} \in \left( {0;1} \right)\,\,\left( 2 \right)\\\cos x = {b_3} \in \left( {1;2} \right)\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right)\end{array} \right.\).

Trên đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\) phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm phân biệt.