Bài toán tương giao đồ thị

Bước 1: Đặt $t = {x^2} - 1$ $\Rightarrow t \ge  - 1$. Đưa phương trình đã cho về phương trình ẩn $t$.

Đặt $t = {x^2} - 1$ $\Rightarrow t \ge  - 1$.

Phương trình đã cho trở thành $f\left( t \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) =  - 1,\,\,t \ge  - 1\,\,\,\left( * \right)$.

Bước 2: Biện luận số nghiệm của $x$

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng $y =  - 1$ cắt đồ thị hàm số $y = f\left( t \right)$ tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng $- 1$.

Suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm thực $t$, ứng với mỗi nghiệm $t$ cho 2 nghiệm thực $x$.

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thực.

Bước 1: Đặt $t = {x^3} - 3x$, quan sát đồ thị tìm nghiệm của phương trình $\left| {f\left( t \right)} \right| = \dfrac{2}{3}$ tìm các nghiệm ${t_i}$.

Ta có :$\left| {f\left( {{x^3} - 3x} \right)} \right| = \dfrac{2}{3}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {{x^3} - 3x} \right) = \dfrac{2}{3}\\f\left( {{x^3} - 3x} \right) =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$

Đặt $t = {x^3} - 3x$ ta được $\left[ \begin{array}{l}f\left( t \right) = \dfrac{2}{3}\\f\left( t \right) =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$

+) Phương trình $f\left( t \right) = \dfrac{2}{3}$ có ba nghiệm phân biệt ${t_1},\,\,{t_2},\,\,{t_3}$, trong đó $- 2 < {t_1} < 0 < {t_2} < 2 < {t_3}$.

+) Phương trình $f\left( t \right) =  - \dfrac{2}{3}$ có ba nghiệm phân biệt ${t_4},\,\,{t_5},\,\,{t_6}$, trong đó ${t_4} <  - 2 < 2 < {t_5} < {t_6}$ .

Các nghiệm ${t_1},\,\,{t_2},\,\,{t_3},\,\,{t_4},\,\,{t_5},\,\,{t_6}$ phân biệt.

Bước 2: Khảo sát hàm số $g\left( x \right) = {x^3} - 3x$ suy ra số nghiệm của phương trình ${x^3} - 3x = {t_i}$.

Xét hàm $g\left( x \right) = {x^3} - 3x$ có $g'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$

BBT :

Từ BBT ta thấy :

+) Phương trình ${x^3} - 3x = {t_1} \in \left( { - 2;0} \right)$ có $3$ nghiệm phân biệt.

+) Phương trình ${x^3} - 3x = {t_2} \in \left( {0;2} \right)$ có $3$ nghiệm phân biệt.

+) Phương trình ${x^3} - 3x = {t_3} > 2$ có đúng $1$ nghiệm.

+) Phương trình ${x^3} - 3x = {t_4} <  - 2$ có đúng $1$ nghiệm.

+) Phương trình ${x^3} - 3x = {t_5} > 2$ có đúng $1$ nghiệm.

+) Phương trình ${x^3} - 3x = {t_6} > 2$ có đúng $1$ nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tất cả $3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 10$ nghiệm.

Dựa vào đồ thị ta có:

$f\left( {2 - f\left( x \right)} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - f\left( x \right) =  - 2\\2 - f\left( x \right) = 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 4\\f\left( x \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_0} \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình $f\left( {2 - f\left( x \right)} \right) = 1$ có tất cả $3$ nghiệm thực phân biệt.

Bước 1: Tính $\left[ {f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]'$ và tìm nghiệm của $\left[ {f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]' = 0$.

Xét hàm  $y = f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)$ trên nửa khoảng $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)$ ta có:

$y' = {\left[ {f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)} \right]^\prime }$ $= {\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)^\prime }.f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)$ $= \dfrac{{ - x.f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$

$y' = 0 \Leftrightarrow x.f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{f'\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{\sqrt {4 - {x^2}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - 1}\\{\sqrt {4 - {x^2}} {\rm{\;}} = 1}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = {\rm{\;}} \pm \sqrt 3 {\rm{\;}} \notin \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 0$

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số $y = f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)$ trên nửa khoảng  $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)$ rồi suy ra tập giá trị của $m$.

Bảng biến thiên:

Từ đồ thị hàm số đã cho ta thấy $- 1 < f\left( {\sqrt 2 } \right)$ nên để phương trình $f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = m$ có nghiệm trong nửa khoảng $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right)$ thì $- 1 < m \le 3$.

Vậy $m \in \left( { - 1;3} \right]$.

Bước 1:

Đặt $t = \sin x \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Dễ thấy với mỗi $t \in \left[ {0;1} \right)$ thì sẽ có 2 giá trị $x \in \left[ {0;\pi } \right]$.

Bước 2:

Do đó, để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm trên đoạn $\left[ {0;\pi } \right]$ thì phương trình $f\left( t \right) = m$ có nghiệm duy nhất $t \in \left[ {0;1} \right)$$\Leftrightarrow  - 4 < m \le  - 3$.

Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.