Bài tập ôn tập chương 3

Gọi vận tốc của xe tải là x, đơn vị km/h, điều kiện: $x > 0$ . Khi đó ta có:

Vận tốc xe du lịch là $x + 10\left( {km/h} \right)$

Thời gian xe du lịch đi từ A đến lúc gặp xe tải là: $0,5 + 1 = 1,5\left( h \right)$

Quãng đường xe du lịch và xe tải đi được đến lúc gặp nhau lần lượt là: $\left( {x + 10} \right).1,5\left( {km} \right)$ và $x.1\left( {km} \right)$ .

Vì hai xe đi ngược chiều nên quãng đường AB là tổng quãng đường mà hai xe đi được. Ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\left( {x + 10} \right).1,5 + x.1 = 90\\ \Leftrightarrow 2,5x = 75\\ \Leftrightarrow x = 30(tm)\end{array}$

Vậy vận tốc của xe du lịch và xe tải lần lượt là $40{\rm{ }}\left( {km/h} \right)$ và $30{\rm{ }}\left( {km/h} \right).$

Gọi thời gian làm một mình xong việc của người thứ hai là $x$ (phút), điều kiện:$x > \dfrac{{22}}{3}$ . Biểu thị công việc bằng $1$  ta có:

Năng suất của người thứ nhất và thứ hai lần lượt là $\dfrac{1}{{24}}$ (công việc/phút) và $\dfrac{1}{x}$ (công việc/phút).

Năng suất làm chung của hai người là $\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}$ (công việc/phút)

Khối lượng công việc người thứ nhất làm một mình trong $\dfrac{{26}}{3}$ phút  là $\dfrac{1}{{24}}.\dfrac{{26}}{3} = \dfrac{{13}}{{36}}$ (công việc)

Khối lượng công việc hai người làm chung trong $\dfrac{{22}}{3}$ phút  là $\dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right)$ (công việc)

Theo bài ra ta có phương trình:

 $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{13}}{{36}} + \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{22}}{3}.\left( {\dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x}} \right) = \dfrac{{23}}{{36}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{24}} + \dfrac{1}{x} = \dfrac{{23}}{{264}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{22}} \Leftrightarrow x = 22(tm)\end{array}$

Vậy nếu làm riêng người thứ hai cần làm trong  $22$  phút thì xong công việc.

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:

$\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{1}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{2}{5}\end{array}$

ĐKXĐ: $x \ne \left\{ { - 1; - 3; - 5; - 7; - 9} \right\}$ .

Khi đó:

$\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x + 5}} - \dfrac{1}{{x + 7}} + \dfrac{1}{{x + 7}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x + 9} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}\\ \Rightarrow 5\left[ {x + 9 - \left( {x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\ \Leftrightarrow 5\left( {x + 9 - x - 1} \right) = 2{x^2} + 20x + 18\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 20x - 22 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 11 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 11x - 11 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 11 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 11\end{array} \right.(tm)\\ \Rightarrow S = \left\{ {1; - 11} \right\}\end{array}$

Vậy  tổng  các nghiệm của phương trình là $1 + \left( { - 11} \right) =  - 10.$

ĐKXĐ: $x \ne  \pm 1$ .

$Pt \Leftrightarrow 20{\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right)^2} + 48.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5{\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} = 0$

Với $x =  - 2$ ta có phương trình $\Leftrightarrow 20.{\left( {\dfrac{{ - 4}}{{ - 1}}} \right)^2} = 0$ vô lý $\Rightarrow x =  - 2$ không là nghiệm của phương trình.

Lại có với $x \ne 1;\,\,x \ne  - 2$ thì ${\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2} \ne 0,$ ta chia hai vế của phương trình cho ${\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}} \right)^2}$, ta được:

$pt \Leftrightarrow 20{\left[ {\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]^2} + 48\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} - 5 = 0$

Đặt $t = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}$ , ta có

 $\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow 20{t^2} + 48t - 5 = 0 \Leftrightarrow 20{t^2} + 50t - 2t - 5 = 0\\ \Leftrightarrow 10t\left( {2t + 5} \right) - \left( {2t + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2t + 5} \right)\left( {10t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t + 5 = 0\\10t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \dfrac{5}{2}\\t = \dfrac{1}{{10}}\end{array} \right..\end{array}$

Với $t =  - \dfrac{5}{2}$ ta có:

 $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \dfrac{5}{2}\\ \Rightarrow 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) =  - 5\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x + 4 =  - 5{x^2} - 15x - 10\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 9x + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 7\left( {{x^2} + 2.\dfrac{9}{{14}}x + \dfrac{{81}}{{196}}} \right) - \dfrac{{81}}{{28}} + 14 = 0\\ \Leftrightarrow 7{\left( {x + \dfrac{9}{{14}}} \right)^2} + \dfrac{{311}}{{28}} = 0\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array}$

Với $t = \dfrac{1}{{10}}$ ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{10}}\\ \Rightarrow 10\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {x^2} + 3x + 2\\ \Leftrightarrow 9{x^2} - 33x + 18 = 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 11x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\x = 3\end{array} \right.(tm)\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {3;\,\,\dfrac{2}{3}} \right\}$

Từ giả thiết suy ra ${x_1} = \dfrac{2}{3};{x_2} = 3 \Rightarrow 3{x_1} - {x_2} =  - 1.$

Nhận thấy $x = 0$ không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho  ${x^2} \ne 0$ ta được:

$\dfrac{{{x^2} - 3x + 3}}{x}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 3}}{x} = 2 \Leftrightarrow \left( {x + \dfrac{3}{x} - 3} \right)\left( {x + \dfrac{3}{x} - 2} \right) = 2$

Đặt  $t = x + \dfrac{3}{x} - 3$ , ta có:

$\begin{array}{l}pt \Leftrightarrow t\left( {t + 1} \right) = 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t + 2} \right) = 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = 0\\t + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 2\end{array} \right..\end{array}$

Với $t = 1 \Rightarrow x + \dfrac{3}{x} - 3 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$

Với $t =  - 2 \Rightarrow x + \dfrac{3}{x} - 3 =  - 2 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} = 0$ vô nghiệm

Vậy phương trình  có tập nghiệm là $S = \left\{ {1;3} \right\}$

Tích các nghiệm của phương trình là $1.3 = 3.$

Phương trình

 $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {4{m^2} - 9} \right)x = 2{m^2} + m - 3\\ \Leftrightarrow \left( {4{m^2} - 9} \right)x = 2{m^2} - 2m + 3m - 3\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right)\left( {2m + 3} \right)x = 2m\left( {m - 1} \right) + 3\left( {m - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right)\left( {2m + 3} \right)x = \left( {m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right)\end{array}$

Phương trình có vô số nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}\left( {2m - 3} \right)\left( {2m + 3} \right) = 0\\\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}2m - 3 = 0\\2m + 3 = 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\2m + 3 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{3}{2}\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - \dfrac{3}{2}$

Vậy phương trình có vô số nghiệm khi $m =  - \dfrac{3}{2}.$