Bài tập ôn tập chương 3

Các câu A, C, D đúng

Câu B sai vì phương trình có 1nghiệm duy nhất còn có thể là phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích

A, B sai vì chúng đều không có cùng tập nghiệm

C sai vì thiếu điều kiện $k \ne 0$ .

D đúng với quy tắc chuyển vế

$2x + 3 = x + 5 \Leftrightarrow 2x - x = 5 - 3 \Leftrightarrow x = 2$

Vậy $x=2$.

${x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình có 2 nghiệm $x=-1;x=0$

Thay $x = 2$ vào phương trình ta được: $2.2 + k = 2 - 1 \Rightarrow k =  - 3$

ĐKXĐ: $x \ne  \pm 3$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \dfrac{{x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}}\\ \Rightarrow 6x = x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 6x = 3x - {x^2} - 3x - 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right).\end{array}$

Ta thấy $x =  - 3$ không thỏa mãn ĐKXĐ nên phương trình vô nghiệm.

ĐKXĐ: $x \ne 2;x \ne 5$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} = 1\,\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 5} \right) - 1\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)}} = 0\\ \Rightarrow x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 5} \right) - 1\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3x + 15 - {x^2} + 7x - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 2x =  - 5 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{5}{2}\left( {tmdk} \right).\end{array}$

ĐKXĐ: $x \ne 0;x \ne  - 1$  .

Do đó bước giải sai đầu tiên của phương trình là ĐKXĐ: $x \ne 0;x \ne 1$ 

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} - 8x + 7 \ne 0\\4{x^2} - 10x + 7 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{\left( {x - 1} \right)^2} + 3 > 0\\4\left( {x - \dfrac{5}{4}} \right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \forall x \in \mathbb{R}$

Vậy phương trình xác định với mọi $x \in R.$

ĐKXĐ: $x \ne  \pm 2$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{5x - 2}}{{{x^2} - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 2x + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.\end{array}$

Kết hợp ĐKXĐ ta có phương trình nghiệm đúng với mọi $x \ne  \pm 2$.

Vậy phương trình có vô số nghiệm $x \ne  \pm 2$

$\begin{array}{l}2x\left( {x - 5} \right) + 21 = x\left( {2x + 1} \right) - 12\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 10x + 21 = 2{x^2} + x - 12\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 10x - 2{x^2} - x =  - 12 - 21\\ \Leftrightarrow  - 11x =  - 33\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ 3 \right\}$   hay ${x_0} = 3 < 4.$

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ne 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 3\\x \ne  - 2\end{array} \right.$

ĐK: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x\\ \Rightarrow x + 2 - 2\left( {x - 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2\\ \Leftrightarrow  \dfrac{{1}}{2} (x-1) + \dfrac{1}{3}(x-1) - \dfrac{1}{6}(x-1) = 2\\\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6}} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\dfrac{4}{6} = 2\\ \Leftrightarrow x - 1= 3\\ \Leftrightarrow x= 4\\ \Rightarrow S = \left\{ 4 \right\}\end{array}$

Để $P = Q$ thì:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + {x^2} = 2x\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 + {x^2} = 2{x^2} - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} - 2{x^2} + 2x = 1\\ \Leftrightarrow 2x = 1 \\ \Leftrightarrow x = 0,5\end{array}$

Vậy với $x=0,5$ thì $P=Q$.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x + 98}}{2} + \dfrac{{x + 96}}{4} + \dfrac{{x + 65}}{{35}} = \dfrac{{x + 3}}{{97}} + \dfrac{{x + 5}}{{95}} + \dfrac{{x + 49}}{{51}}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{x + 98}}{2} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + 96}}{4} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + 65}}{{35}} + 1} \right) = \left( {\dfrac{{x + 3}}{{97}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + 5}}{{95}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + 49}}{{51}} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 100}}{2} + \dfrac{{x + 100}}{4} + \dfrac{{x + 100}}{{35}} = \dfrac{{x + 100}}{{97}} + \dfrac{{x + 100}}{{95}} + \dfrac{{x + 100}}{{51}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 100}}{2} + \dfrac{{x + 100}}{4} + \dfrac{{x + 100}}{{35}} - \dfrac{{x + 100}}{{97}} - \dfrac{{x + 100}}{{95}} - \dfrac{{x + 100}}{{51}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 100} \right)\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{35}} - \dfrac{1}{{97}} - \dfrac{1}{{95}} - \dfrac{1}{{51}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + 100 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 100\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ { - 100} \right\}$

Suy ra nghiệm của phương trình là số nguyên âm.

$\begin{array}{l}\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) - \left( {x + 2} \right){x^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5 - {x^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {5 - 3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\5 - 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\\\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ { - 2;\dfrac{5}{3}} \right\}$

ĐKXĐ: $x \ne  - 1$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ \Rightarrow  - 7{x^2} + 4 = 5\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow  - 7{x^2} + 4 = 5x + 5 - {x^2} + x - 1\\ \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x = 0\\ \Leftrightarrow 6x\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0(tm)\\x =  - 1(ktm)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ 0 \right\}$

Nửa chu vi của hình chữ nhật là: $372:2 = 186\,\,\left( m \right).$

Gọi chiều dài hình chữ nhật là $x\,\,\left( m \right),\,\,\,\,\left( {0 < x < 186} \right).$

$\Rightarrow$ Chiều rộng hình chữ nhật là: $186 - x\,\,\,\left( m \right).$

Diện tích hình chữ nhật là: $x\left( {186 - x} \right) = 186x - {x^2}\,\,\,\,\left( {{m^2}} \right).$

Tăng chiều dài lên 21m thì chiều dài mới là: $x + 21\,\,\,\left( m \right).$

Tăng chiều rộng lên 10m thì chiều rộng mới là: $186 - x + 10 = 196 - x\,\,\,\left( m \right).$ 

Diện tích hình chữ nhật mới là: $\left( {x + 21} \right)\left( {196 - x} \right) = 175x - {x^2} + 4116\,\,\,\left( {{m^2}} \right).$

Theo đề bài ta có phương trình: $186x - {x^2} + 2862 = 175x - {x^2} + 4116$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 11x = 1254\\ \Leftrightarrow x = 114\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}$

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 114m.

Gọi một trong hai số là $x,\,\,\,\left( {0 < x < 321;\,\,x \in N} \right).$

Khi đó số còn lại là: $321 - x.$

Theo đề bài ta có: $\dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{6}\left( {321 - x} \right) = 34$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}x = \dfrac{{603}}{2}\\ \Leftrightarrow x = 201.\end{array}$

Số còn lại là $321-201=120$

Vậy số lớn là: $201.$