Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Chọn mệnh đề sai?
Các mệnh đề A, B, C đều đúng. Mệnh đề D sai.
Cho số thực \(a\) thỏa mãn \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}dx} = {e^2} - 1\), khi đó \(a\) có giá trị bằng
Ta có \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}dx} = \left. {{e^{x + 1}}} \right|_{ - 1}^a = {e^{a + 1}} - 1\).
Vậy yêu cầu bài toán trở thành \({e^{a + 1}} - 1 = {e^2} - 1{\rm{ }}\Leftrightarrow a+1=2 \Leftrightarrow {\rm{ }}a = 1\).
Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và \(k\) là một số thực trên \(R\). Cho các công thức:
a) \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\)
b) \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
c) \(\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)
Số công thức sai là:
Dễ thấy các công thức a) đúng vì tích phân có hai cận bằng nhau thì có giá trị $0$.
Công thức c) là đúng theo tính chất tích phân.
Công thức b) sai vì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \)
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn \([0;\pi ]\) đạt giá trị bằng \(0\) ?
Tính tích phân cho từng hàm số trong các đáp án:
+) $\int\limits_0^\pi {\cos 3xdx} = \left. {\dfrac{1}{3}\sin 3x} \right|_0^\pi = 0$,
+) $\int\limits_0^\pi {\sin 3xdx} = - \left. {\dfrac{1}{3}\cos 3x} \right|_0^\pi = \dfrac{2}{3}$,
+) $\int\limits_0^\pi {\cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)dx} = \left. {4\sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right|_0^\pi = 2\left( {\sqrt 2 - 2} \right)$,
+) $\int\limits_0^\pi {\sin \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)dx} = \left. { - 4\cos \left( {\dfrac{x}{4} + \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right|_0^\pi = 2\sqrt 2 $.
Vậy chọn \(f(x) = \cos 3x\).
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\left[ {1;4} \right]$ và $f(1) = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f(4) = 10$. Giá trị của $I = \int\limits_1^4 {f'(x)dx} $ là
$I = \int\limits_1^4 {f'(x)dx} = f\left. {(x)} \right|_1^4 = f(4) - f(1) = 10 - 2 = 8$
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {0;1} \right],$ có $\int\limits_0^1 {\left[ {3 - 2f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 5.$ Tính $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$
Ta có $\int\limits_0^1 {\left[ {3 - 2f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{\rm{3d}}x} - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {3x} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3 - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} $
Mặt khác $\int\limits_0^1 {\left[ {3 - 2f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 5 \Rightarrow 3 - 2\,\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 5 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - \,1.$
Tích phân \(I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}} \) có giá trị bằng
Cách 1:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}} \\= \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{\left( {{{\cos }^2}\dfrac{x}{2} + {{\sin }^2}\dfrac{x}{2}} \right)}}{{2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}dx} \\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\cot \dfrac{x}{2} + \tan \dfrac{x}{2}} \right)dx} \\ = \left. {\left[ {\ln \left| {\sin \dfrac{x}{2}} \right| - \ln \left| {\cos \dfrac{x}{2}} \right|} \right]} \right|_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\\ = \left[ {\ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] - \left[ {\ln \dfrac{1}{2} - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right]\\ = \ln \sqrt 3 .\end{array}\)
Cách 2:
Bước 1: Dùng máy tính như hình dưới, thu được giá trị \(0,549306...\)
Bước 2: Lấy \({e^{0,549306...}}\) cho kết quả \(1,732050808... \approx \sqrt 3 \). Chọn \(\dfrac{1}{2}\ln 3\).
Cách 3:
Thực hiện các phép tính sau trên máy tính (đến khi thu được kết quả bằng \(0\) thì ngưng)
Chọn \(\dfrac{1}{2}\ln 3\).
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {t + 1} \right)dt} \). Giá trị nhỏ nhất của \(F\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là:
Ta có: \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {t + 1} \right)dt} = \left. {\left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} + t} \right)} \right|_1^x = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \dfrac{3}{2}\)
Hàm số \(y = F\left( x \right)\) là hàm số bậc hai, hệ số \(a > 0\) nên nó đạt GTNN tại \(x = -1 \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Khi đó $F(-1)=\dfrac{1}{2}+(-1)-\dfrac{3}{2}=-2$
Nếu \(\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{ -{\frac{x}{2}}}}} \right)dx} = K - 2e\) thì giá trị của \(K\) là
\(K = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{-\frac{x}{2}}}} \right)dx} + 2e = \left. {\left( {4x + 2{e^{-\frac{x}{2}}}} \right)} \right|_{ - 2}^0 + 2e = 2 - \left( { - 8 + 2e} \right) + 2e = 10\)
Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) = {x^3}\). Chọn mệnh đề đúng:
Vì \(f\left( x \right) = {x^2} \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) nên \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \ge 0\). Do đó A đúng, D sai.
Vì \(g\left( x \right) = {x^3} \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) nên \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} \ge 0\). Do đó B sai.
Vì \({x^2} \ge {x^3}\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \ge \int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} \). Do đó C sai.
Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} \) có giá trị bằng
\(\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{{x^2} - x - 2}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{(x - 2)(x + 1)}}dx} = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^1 {\left[ {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right]dx} = \dfrac{1}{3}\left. {\left[ {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right]} \right|_0^1 = - \dfrac{{2\ln 2}}{3}\)
Giả sử $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên $R$ và các số thực $a < b < c$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
Dựa vào các đáp án ta có nhận xét sau:
$\int\limits_a^c {f(x)dx = } \int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} $ => A đúng
$\int\limits_a^b {f(x)dx = } \int\limits_a^c {f(x)dx} - \int\limits_b^c {f(x)dx} $ B đúng
$\int\limits_a^b {f(x)dx = } \int\limits_b^a {f(x)dx} + \int\limits_a^c {f(x)dx} $ C sai
$\int\limits_a^b {cf(x)dx = - c} \int\limits_b^a {f(x)dx} $ D đúng.
Nếu \(f\left( 1 \right) = 12,f'\left( x \right)\) liên tục và \(\int\limits_1^4 {f'\left( x \right)dx} = 17\) thì giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng:
Ta có: \(\int\limits_1^4 {f'\left( x \right)dx} = 17 \Rightarrow \left. {f\left( x \right)} \right|_1^4 = 17 \Rightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right) = 17 \Rightarrow f\left( 4 \right) - 12 = 17 \Rightarrow f\left( 4 \right) = 29\)
Tích phân \(I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx\) có giá trị là:
Ta có: $I = \int\limits_1^2 {{x^5}} dx = \left. {\dfrac{{{x^6}}}{6}} \right|_1^2 = \dfrac{{21}}{2}$.
Cho \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 10\), khi dó \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 - 4f\left( x \right)} \right]dx} \) có giá trị là:
Ta có:
\(\int\limits_5^2 {\left[ {2 - 4f\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_5^2 {2dx} - 4\int\limits_5^2 {f\left( x \right)dx} = \left. {2x} \right|_5^2 + 4\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} = 2.2 - 2.5 + 4.10 = 34\)
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(R\) thỏa mãn \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 10;\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} = 18;\int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} = 7\). Giá trị của \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} \) là:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} - \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} - \int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} = 10 - 7 - 18 = - 15 \Rightarrow \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = 15\end{array}\)
Cho hai tích phân $I = \int\limits_0^2 {{x^3}dx} $, $J = \int\limits_0^2 {xdx} $. Tìm mối quan hệ giữa $I$ và $J$
$I = \int\limits_0^2 {{x^3}dx} = \left. {\dfrac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = 4$ và $J = \int\limits_0^2 {xdx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2 = 2$.
Suy ra \(I.J = 8\).
Cho biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = - 2,\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 3,\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = 7\). Chọn khẳng định sai?
Ta có: \(\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 10\) nên A đúng.
\(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \int\limits_3^4 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 3 - \left( { - 2} \right) = 5\) nên C đúng, B sai.
\(\int\limits_1^4 {\left[ {4f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx} = 4\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} - 2\int\limits_1^4 {g\left( x \right)dx} = - 2\) nên D đúng.
Nếu \(\int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5} \) và \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}^2}dx = 36} \) thì \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx = 5} \)
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{{\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}^2}dx = 36} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1} \right]} dx = 36\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) + 1} \right]} dx - \int\limits_0^1 {\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]dx} = 36 - 5\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left[ {3f\left( x \right) + 1} \right]dx} = 31 \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {dx} = 31\\ \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \left. x \right|_0^1 = 31 \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + 1 = 31\\ \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 30 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 10.\end{array}\)
Tích phân $I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {1 + \sin x} } dx$ có giá trị bằng
Phương pháp tự luận
$\begin{array}{c}I = \int\limits_0^{2\pi } {\sqrt {{{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)}^2}} } dx = \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right|} dx = \sqrt 2 \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|} dx\\ = \sqrt 2 \left[ {\int\limits_0^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)} dx - \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } {\sin \left( {\dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi }{4}} \right)dx} } \right] = 4\sqrt 2 \end{array}$
