Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương

Vì $a > 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty$.

Từ bảng biến thiên ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - \infty$ nên $a < 0$.

Hàm số bậc bốn trùng phương có $3$ cực trị nếu và chỉ nếu phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Dễ thấy hàm số bậc bốn trùng phương có cực đại, cực tiểu thì ${y_{CT}} < {y_{CD}}$ nên ${y_{CD}} < 0 \Rightarrow {y_{CT}} < 0$.

Ta có: $y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {2a{x^2} + b} \right)$.

Hàm số có $1$ cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có $1$ nghiệm duy nhất hay $y'=0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ab > 0\\b \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow ab \ge 0$

Đồ thị hàm bậc 4 trùng phương luôn cắt trục tung tại điểm $\left( {0;c} \right)$ chính là cực trị của đồ thị hàm số.

Ngoài ra, đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương cũng có thể không cắt $Ox$ nên A sai.

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng chứ không phải trục hoành nên C sai.

Đồ thị không có tâm đối xứng nên D sai.

Đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ba cực trị và hệ số $a > 0$ có dạng:

Quan sát đồ thị ta thấy nếu ${y_{CT}} > 0$ thì đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành

Hàm số chỉ có 1 cực trị thì $y' = 0$ có 1 nghiệm $\Leftrightarrow ab \ge 0$, khi đó đồ thị có dạng:

Trong hai trường hợp trên ta thấy nếu đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành thì chỉ xảy ra trường hợp $a > 0$, do đó $b \ge 0$ và điểm cực tiểu $\left( {0;c} \right)$ cũng phải nằm phía trên trục hoành hay $c > 0$.

Hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có $a < 0,b > 0$ nên có $3$ cực trị và đồ thị có dạng như sau:

Quan sát đồ thị ta thấy:

- Hàm số có $2$ cực đại và $1$ cực tiểu nên A đúng.

- Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nếu ${y_{CD}} < 0$ nên B đúng.

- Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt nếu $c > 0$ nên C đúng, D sai.

Hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ có $a > 0,b < 0$ nên có $3$ cực trị và đồ thị của nó có dạng:

Quan sát đồ thị ta thấy:

- Nếu ${y_{CD}} > 0,{y_{CT}} > 0$ thì đồ thị hàm số không cắt $Ox$ nên điều kiện ${y_{CD}} > 0$ là chưa đủ. 

Do đó A sai.

- Nếu ${y_{CT}} < 0,{y_{CD}} < 0$ thì đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại 2 điểm phân biệt nên điều kiện ${y_{CT}} < 0$ là chưa đủ.

Do đó B sai.

- Nếu ${y_{CD}}.{y_{CT}} < 0$ thì ${y_{CT}} < 0 < {y_{CD}}$ nên đường thẳng $y = 0$ cắt đồ thị hàm số tại $4$ điểm phân biệt.

Do đó C đúng.

- Nếu ${y_{CD}}.{y_{CT}} > 0$ thì ${y_{CD}} > {y_{CT}} > 0$ hoặc ${y_{CT}} < {y_{CD}} < 0$ nên đồ thị hàm số không thể cắt $Ox$ tại $4$ điểm phân biệt.

Do đó D sai.

Đồ thị đi lên khi $x \to  + \infty$ nên $a - 1 > 0 \Leftrightarrow a > 1$.

Đồ thị đi qua điểm $(0;c - 1)$ có tung độ nằm phía trên trục hoành nên $c - 1 > 0 \Leftrightarrow c > 1$.

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị nên $(a - 1) \cdot (b + 2) < 0$ mà $a > 1$ nên $b + 2 < 0 \Leftrightarrow b <  - 2$.

Thay $M( - 1;0)$ vào đồ thị ta được: ${\left( { - 1} \right)^4} + {\left( { - 1} \right)^2} - 2 = 0$

Quan sát đồ thị hàm số, giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng $- 1$