Hàm số $y = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)$ có $1$ cực trị nếu và chỉ nếu:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - \infty $ 

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0$

$a > 0$ 

$a = 0$

$a < 0$ 

$a \ne 0$

$y' = 0$ vô nghiệm

$y' = 0$ có $1$ nghiệm duy nhất

$y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt                    

$y' = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt

${y_{CT}} = 0$           

${y_{CT}} < 0$ 

${y_{CT}} > 0$

${y_{CT}} = {y_{CD}}$ 

luôn cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm

luôn cắt trục tung tại 1 điểm cực trị của nó

nhận trục hoành làm trục đối xứng

nhận điểm $O\left( {0;0} \right)$ làm tâm đối xứng

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt

nằm hoàn toàn phía trên trục hoành

nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành