Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ta có $y' = \cos x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Do $x\in \left[ { - \dfrac{\pi }{2}; - \dfrac{\pi }{3}} \right]$ nên $k=-1$ hay $x=-\dfrac{\pi }{2}$

Suy ra $y\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) =  - 1;\;\;y\left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\rm{\;}}&{\mathop {\max}\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]}y =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{{\rm{ \;}}}&{\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]} y =  - 1}\end{array}} \right.$

Nếu $M =  - 2$ là GTLN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) \leqslant  - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$.

GTNN của $f\left( x \right)$ trên $\left[ {0;2} \right]$ bằng $5$ nên $f\left( x \right) \geqslant 5,\forall x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow f\left( 2 \right) \geqslant 5$.

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{3}{4}{x^2} + \dfrac{3}{2}x + 2018\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {x^2} - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{2}\)

Căn cứ vào đồ thị \(y = f'\left( x \right)\), ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f'\left( { - 1} \right) =  - 2\\f'\left( 1 \right) = 1\\f'\left( { - 3} \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g'\left( { - 1} \right) = 0\\g'\left( 1 \right) = 0\\g'\left( { - 3} \right) = 0\end{array} \right.$

Ngoài ra, vẽ đồ thị \(\left( P \right)\) của hàm số \(y = {x^2} + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}\) trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường nét đứt), ta thấy \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(\left( { - 3;3} \right)\), \(\left( { - 1; - 2} \right)\), \(\left( {1;1} \right)\) với đỉnh \(I\left( { - \dfrac{3}{4}; - \dfrac{{33}}{{16}}} \right)\). Rõ ràng

- Trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$ thì \(f'\left( x \right) > {x^2} + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}\), nên \(g'\left( x \right) > 0\;\;\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\)

- Trên khoảng $\left( { - 3; - 1} \right)$ thì \(f'\left( x \right) < {x^2} + \dfrac{3}{2}x - \dfrac{3}{2}\), nên \(g'\left( x \right) < 0\;\;\forall x \in \left( { - 3; - 1} \right)\)

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm \(y = g'\left( x \right)\) trên \( \left[ { - 3;1} \right]\) như sau:

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;\,\,1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right)\)

Ta có $y' = 2 - \sin x > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R \Rightarrow $ Hàm số luôn đồng biến trên $\left[ {0;1} \right]$

$ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 1$.

Ta có $y' = 3{\left( {x + m} \right)^2} + 3{\left( {x + n} \right)^2} - 3{x^2} = 3\left[ {{x^2} + 2\left( {m + n} \right)x + {m^2} + {n^2}} \right]$

Hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;\, + \infty } \right)$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow mn \le 0$

TH1: $mn = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\n = 0\end{array} \right.$

Do vai trò của $m,n$ là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp $m = 0$.

$ \Rightarrow P = 4{n^2} - n = \left( {2n - \dfrac{1}{4}} \right)^2 - \dfrac{1}{{16}} \ge  - \dfrac{1}{{16}}\left( 1 \right)$

TH2: $m\,n < 0 \Leftrightarrow m > 0;\,n < 0$ (do vai trò của $m,n$ như nhau).

Ta có $P = {\left( {2m - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - \dfrac{1}{{16}} + 4{n^2} + \left( { - n} \right) >  - \dfrac{1}{{16}}\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ ta có ${P_{\min }} =  - \dfrac{1}{{16}}$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m = \dfrac{1}{8};n = 0$ hoặc $m = 0;n = \dfrac{1}{8}$

${\rm{\;}}x > 1 \Leftrightarrow x - 1 > 0$

$ \Rightarrow y = x - 1 + \dfrac{4}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x - 1} \right).\dfrac{4}{{x - 1}}}  = 2.2 = 4$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow x - 1 = \dfrac{4}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow x = 3$.

Vậy GTNN của hàm số là $m=4$ khi $x=3$.

Ta có:

+) $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) =  - 3$ nên A sai.

+) $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) =  - 7$ nên B đúng.

+) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - \infty $ nên không tồn tại $\mathop {\min}\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right)$ nên C sai.

+) $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) =  - 3$ nên D sai.

Gọi \(AD\) là quãng đường cô An đi đường bộ.

Đặt \(DB = x\,\left( {{\rm{km}}} \right)\left( {0 \le x \le 50} \right)\) \( \Rightarrow AD = 50 - x\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Chi phí của cô An: \(f\left( x \right) = \left( {50 - x} \right)3 + \sqrt {{x^2} + {{10}^2}} {\rm{.5  }}\left( {{\rm{USD}}} \right)\)

\(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;50} \right]\).

Ta có $f'\left( x \right) =  - 3 + 5.\dfrac{{x{\rm{ }}}}{{\sqrt {{x^2} + 100} }}$$ = \dfrac{{ - 3\sqrt {{x^2} + 100}  + 5x{\rm{ }}}}{{\sqrt {{x^2} + 100} }}$

 $f'\left( x \right) = 0$$ \Leftrightarrow  - 3\sqrt {{x^2} + 100}  + 5x{\rm{ }} = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9\left( {{x^2} + 100} \right) = 25{x^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = \dfrac{{9.100}}{{16}}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = \dfrac{{15}}{2}\end{array} \right.$.

Ta có \(f\left( 0 \right) = 200;\,\,f\left( {50} \right) = 50\sqrt {26} ;\,\,f\left( {\dfrac{{15}}{2}} \right) = 190\)

Để chi phí ít nhất thì $x = \dfrac{{15}}{2}$.

 Vậy cô An phải đi đường bộ một khoảng: \(AD = 50 - \dfrac{{15}}{2} = \dfrac{{85}}{2}\left( {{\rm{km}}} \right)\) để chi phí ít nhất.

A sai vì $y=3$ là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)$.

C sai vì $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng $ - 1$ đạt được tại $x = 2$.

Đáp án A: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và $y = 3$ là giá trị cực đại của hàm số nên A sai.

Đáp án B: GTNN và giá trị cực tiểu của hàm số là $y = 0$ nên B đúng và C sai.

Đáp án D: Hàm số không có GTLN vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty $.

Gọi \(a\), \(b\), \(c > 0\) lần lượt là chiều rộng, dài, cao của hình hộp chữ nhật.

Theo đề \(V = abc = 220500\) và \(c = 3a \Rightarrow 3{a^2}b = 220500 \Rightarrow ab = \dfrac{{73500}}{a}\)

Ta có \({S_{tp}} = ab + 2ac + 2bc\)\( = ab + 6{a^2} + 6ab = 7ab + 6{a^2}\)

\( = \dfrac{{514500}}{a} + 6{a^2}\)\( = 6\left( {\dfrac{{42875}}{a} + \dfrac{{42875}}{a} + {a^2}} \right)\)

\({S_{tp}} = 6\left( {\dfrac{{42875}}{a} + \dfrac{{42875}}{a} + {a^2}} \right) \ge 6.3\sqrt[3]{{\dfrac{{42875}}{a}.\dfrac{{42875}}{a}.{a^2}}} = 22050.\)

Suy ra \({S_{tp}}\) nhỏ nhất khi $\dfrac{42875}{a}={{a}^{2}}\Leftrightarrow a=35\Rightarrow b=60\Rightarrow {{S}_{}}=2100\,\,\,\text{c}{{\text{m}}^{\text{2}}}$

$y' = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 3 \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

$f\left( 2 \right) =  - 7,f\left( 3 \right) =  - 10,f\left( 4 \right) =  - 5$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là $M =  - 5$

Ta có: $y' = 5{{\text{x}}^4} - 20{{\text{x}}^3} + 15{{\text{x}}^2} = 0 \Leftrightarrow 5{x^2}\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \\x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right] \hfill \\x = 3 \notin \left[ { - 1;2} \right] \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

$f( - 1) =  - 10, f(0)  =  1,$ $ f(1)  =  2, f(2)   = - 7$

Vậy giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm trên $\left[ { - 1;2} \right]$ lần lượt là $2$ và $ - 10$

Gọi $x$ là số lít xăng mà An đã dùng trong một ngày. Với $0 < x < 10$.

$ \Rightarrow $ $10 - x$ là số lít xăng mà Bình đã dùng trong một ngày.

Khi đó

+ Để An tiêu thụ hết $32$ lít xăng cần $\dfrac{{32}}{x}$ ngày.

+ Để Bình tiêu thụ hết $72$ lít xăng cần $\dfrac{{72}}{{10 - x}}$ ngày.

Vậy tổng số ngày chạy xe của hai tài xế là

$y = \dfrac{{32}}{x} + \dfrac{{72}}{{10 - x}} \Rightarrow y' =  - \dfrac{{32}}{{{x^2}}} + \dfrac{{72}}{{{{\left( {10 - x} \right)}^2}}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 4$

Bảng biến thiên:

Nhìn bảng biến thiên ta thấy tổng số ngày chạy xe ít nhất của hai tài xế là \(20\) ngày.

TXĐ: $D=R$

Ta có: $f'\left( x \right) = \dfrac{{8{{\text{x}}^2} - 12{\text{x}} - 8}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x =  - \dfrac{1}{2}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = 0$

Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $y = 8$ tại $x =  - \dfrac{1}{2}$

TXĐ: $D=R$

Ta có: $y' = 4{{\text{x}}^3} + 4{\text{x}}$$ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in \left[ { - 1;2} \right]$

$f( - 1) = 2,{\text{ f(0)  =  }} - 1,{\text{ f(2)  =  23}}$

Ta thấy GTLN và GTNN lần lượt  là $M = 23,m =  - 1 \Rightarrow M.m = 23.\left( { - 1} \right) =  - 23$

TXĐ: \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

$y' = 1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}$

$y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x=1 (tm) $ hoặc $x=-1 (ktm)$ 

Bảng biến thiên:

$ \Rightarrow \mathop {Min}\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} \,y = f\left( 1 \right) = 2$ 

Ở tháng thu nhập của công ty cao nhất, gọi số căn hộ bị bỏ trống là \(x\) thì số tiền thuê mỗi phòng là \(2.000.000 + 50.000x\), khi đó số tiền thu được là

\(f\left( x \right) = \left( {2.000.000 + 50.000x} \right)\left( {50 - x} \right)\)\( =  - 50.000{x^2} + 500.000x + 100.000.000\).

Ta cần tìm \(x \in \left( {0;\,50} \right)\) để \(f\left( x \right)\) lớn nhất.

Ta có \(f'\left( x \right) =  - 100.000x + 500.000\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 5\)

Bảng biến thiên:

Vậy mỗi tháng lợi nhuận cao nhất thu được của công ty là $101.250.000$

\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{m}} \notin \left[ {2;3} \right]\)

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{2mx + 1}}{{ - x + m}}\\ \Rightarrow y' = \dfrac{{2m\left( { - x + m} \right) + 1.\left( {2mx + 1} \right)}}{{{{\left( { - x + m} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{m^2} + 1}}{{{{\left( { - x + m} \right)}^2}}} > 0\,,\forall x \in \left[ {2;3} \right]\end{array}\)

Hàm số luôn đồng biến trên \(\left[ {2;3} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow Max\,y = f\left( 3 \right) = \dfrac{{6m + 1}}{{m - 3}}\\Max\,y = \dfrac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{6m + 1}}{{m - 3}} = \dfrac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow 18m + 3 =  - m + 3 \Leftrightarrow 19m = 0 \Leftrightarrow m = 0(TMDK)\end{array}\)