Số phức và các phép toán số phức

Số phức $z = \sqrt 2 i - 1 =  - 1 + \sqrt 2 i$ có phần thực là $- 1$.

Hai số phức $z = a + bi,z' = a + b'i$ bằng nhau nếu $b = b'$

Ta có $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|$ nên B đúng.

Ta có: $z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi$ $\Rightarrow z + \overline z  = 2a;z - \overline z  = 2bi;z.\overline z  = {a^2} + {b^2}$

Do đó A đúng.

Số phức $3 - 2\sqrt 2 i$ có phần thực bằng $3$ phần ảo bằng $- 2\sqrt 2$ hay $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$

Ta có: ${\left| z \right|^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {b^2} = {\left| z \right|^2} - {a^2} \Leftrightarrow b = \pm \sqrt {{{\left| z \right|}^2} - {a^2}}$

Vậy phần ảo của số phức đó là $b=\pm \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}}  =  \pm 5$.

Số phức liên hợp của $z$ là $3 + 2i$, phần thực $3$, phần ảo $2$. 

${z_1} + {z_2} = 3 - 2i \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {13}$.

$z = \dfrac{{7 - 11i}}{{2 - i}} = \dfrac{{(7 - 11i)(2 + i)}}{{{2^2} + {1^2}}} = \dfrac{{14 + 11 + 7i - 22i}}{5} = \dfrac{{25 - 15i}}{5} = 5 - 3i \Rightarrow \overline z  = 5 + 3i$

Vậy phần thực và phần ảo của $\overline z$ là $5$ và $3$.

${z_2} - 2{z_1} = 4 - 2i - 2(1 + 3i) = 2 - 8i \Rightarrow |{z_2} - 2{z_1}| = \sqrt {{2^2} + {8^2}}  = \sqrt {68}  = 2\sqrt {17}$ 

${\rm{w}} = (3 + 2i)z + 2\overline z  = (3 + 2i)(2 + 3i) + 2.(2 - 3i)$

$= 6 - 6 + 4i + 9i + 4 - 6i = 4 + 7i$

$z = a + bi$ $\Rightarrow {z^2} = {\left( {a + bi} \right)^2}$ $= {a^2} + 2abi + {b^2}{i^2}$ $= {a^2} - {b^2} + 2abi$

$w = \dfrac{1}{{{{\left( {a + bi} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{1}{{{a^2} - {b^2} + 2abi}}$ $= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right)\left( {{a^2} - {b^2} - 2abi} \right)}}$ $= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} - {{\left( {2abi} \right)}^2}}}$

$= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} - 4{a^2}{b^2}{i^2}}}$ $= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} - 2{a^2}{b^2} + 4{a^2}{b^2}}}$ $= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2}}}$ $= \dfrac{{{a^2} - {b^2} - 2abi}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$

$= \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} - \dfrac{{2ab}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}i$

Nên phần thực của số phức $w$ là : $\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}$.

Ta có: $\overline z  = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50}  = 5\sqrt 2$

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,3x + y + 5xi = 2y - \left( {x - y} \right)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 2y\\5x =  - \left( {x - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - y = 0\\6x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\end{array}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 2 + i\\{z_2} = 1 - 3i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {{z_1}} \right|^2} = {2^2} + 1 = 5\\{\left| {{z_2}} \right|^2} = 1 + {\left( { - 3} \right)^2} = 10\end{array} \right.$ $\Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = 15.$

Modun của số phức $z = 3 - 4i$ là: $\left| z \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5.$

Ta có ${z_1} = 3i;\,\,{z_2} = m - 2i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {{z_1}} \right| = 3\\\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{m^2} + 4} \end{array} \right.$

Mà $\left| {{z_2}} \right| < \left| {{z_1}} \right| \Rightarrow \sqrt {{m^2} + 4}  < 3 \Leftrightarrow {m^2} + 4 < 9 \Leftrightarrow  - \sqrt 5  < m < \sqrt 5 .$

Mặt khác $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}.$

Có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

$z = 1 + i + {i^2} + {i^3} + ... + {i^9} = 1 + i - 1 - i + 1 + i - 1 - i + 1 + i = 1 + i$

Trong đoạn $\left[ {2;9} \right]$ có

+) 3 số chia hết cho 3: $\left\{ {3;6;9} \right\}$.

+) 2 số chia 3 dư 1: $\left\{ {4;7} \right\}$.

+) 3 số chia 3 dư 2: $\left\{ {2;5;8} \right\}$.

Để $a + b$ chia hết cho 3 thì

+) Cả 2 số a, b khác nhau đều chia hết cho 3 có $A_3^2 = 6$ số phức thỏa mãn.

+) Cả 2 số giống nhau đều chia hết cho 3 có 3 số phức thỏa mãn.

+) 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2: Có $C_2^1.C_3^1.2! = 12$ số phức thỏa mãn.

Vậy có tất cả 21 số phức thỏa mãn.

Ta có :

$\begin{array}{l}\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {{z^3} + 2024z + \overline z } \right|}}{{\left| z \right|}} - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + \dfrac{{\overline z }}{z}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{z^2} + 2024 + {{\overline z }^2}} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\\ \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} - 2z\overline z  + 2024} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019 \Leftrightarrow \left| {{{\left( {z + \overline z } \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 \left| {z + \overline z } \right| = 2019\end{array}$

Đặt $z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z + \overline z  = 2a$.

Khi đó phương trình cuối trở thành $\left| {{{\left( {2a} \right)}^2} + 2022} \right| - 2\sqrt 3 .\left| {2a} \right| = 2019 \Leftrightarrow 4{a^2} - 4\sqrt 3 \left| a \right| + 3 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {2\left| a \right| - \sqrt 3 } \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left| a \right| = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow a =  \pm \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Mà $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 1 \Rightarrow {b^2} = 1 - {a^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b =  \pm \dfrac{1}{2}$.

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là ${z_1} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_3} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{1}{2}i,\,\,{z_4} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} + \dfrac{1}{2}i.$