Xác suất của biến cố và các quy tắc tính xác suất

Gieo đồng thời hai con súc sắc đối xứng và đồng chất ta có

\(\Omega  = \left\{ {\left( {x;y} \right)\left| {1 \le x \le 6;1 \le y \le 6} \right.} \right\}\). Do đó \(\left| \Omega  \right| = 6.6 = 36\)

E là biến cố "Có đúng 1 con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm". Khi đó:

$E =$ $ \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {1;4} \right),\left( {1;5} \right),\left( {1;6} \right),} \right.\left. {\left( {2;1} \right),\left( {3;1} \right),\left( {4;1} \right),\left( {5;1} \right),\left( {6;1} \right)} \right\}$

Nên \(\left| E \right| = 10\)

Vậy \(P(E) = \dfrac{{\left| E \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\)

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$ ta có \(\left| \Omega  \right| = 1000\)

Gọi $A$ là biến cố chọn được số chia hết cho $5.$

Khi đó: \(A = \left\{ {5k\left| {0 \le 5k < 1000} \right.} \right\} = \left\{ {5k\left| {0 \le k < 200} \right.} \right\}\)

Nên \(\left| A \right| = 200\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{200}}{{1000}} = \dfrac{1}{5}\)

Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ trong một hộp đựng $11$ thẻ ta có \(\left| \Omega  \right| = C_{11}^3 = 165\)

Gọi $A$ là biến cố rút được $3$ thẻ và tổng các số ghi trên $3$ thẻ bằng $12$.

Vì \(12 = 1 + 2 + 9 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7\) \( = 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5\)

Nên \(\left| A \right| = 7\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{7}{{165}}\)

Ta có: \(n(\Omega ) = 6.6 = 36\).

Gọi \(A\):”tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”.

\(A = {\rm{\{ (1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)\} }}\).

Do đó \(n(A) = 6\).

Vậy \(P(A) = \dfrac{6}{{36}} = \dfrac{1}{6}\).

Chọn ngẫu nhiên $3$ quả cân trong $8$ quả cân ta có \(\left| \Omega  \right| = C_8^3 = 56\)

Gọi $A$ là biến cố chọn được $3$ quả cân và tổng trọng lượng $3$ quả cân không vượt quá $9 kg$.

Vì

\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 = 6 < 9\\1 + 2 + 4 = 7 < 9\\1 + 2 + 5 = 8 < 9\\1 + 2 + 6 = 9\\1 + 3 + 4 = 8 < 9\\1 + 3 + 5 = 9\\2 + 3 + 4 = 9\end{array}\)

Nên \(\left| A \right| = 7\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{7}{{56}} = \dfrac{1}{8}\)

Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của 6 phần tử, ta có: \(\left| \Omega  \right| = 6! = 720\)

Gọi A là biến cố nam và nữ ngồi xen kẽ nhau. 

Đánh số ghế từ \(1\) đến \(6\).

TH1: Xếp nam vào các ghế \(1,3,5\) có \(3!\) cách, xếp nữ vào các ghế \(2,4,6\) có \(3!\) cách nên có \(3!.3!\) cách.

TH2: Xếp nam vào các ghế \(2,4,6\) và xếp nữ vào các ghế \(1,3,5\) cũng có \(3!.3!\) cách.

Khi đó \(\left| A \right| = 2.3!.3! = 72\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{72}}{{720}} = \dfrac{1}{{10}}\)

Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của $8$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega  \right| = 8! = 40320\)

Gọi $A$ là biến cố $3$ nam ngồi cạnh nhau.

Coi \(3\) nam là một người và thêm \(5\) nữ là \(6\) người nên sẽ có \(6!\) cách, hoán đổi vị trí của \(3\) nam ta có \(3!\) cách nên \(\left| A \right| = 3!.6! = 4320\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{4320}}{{40320}} = \dfrac{3}{{28}}\)

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = C_9^2 = 36\)

Gọi $A$ là biến cố “tích hai số ghi trên hai thẻ là lẻ”.

Vì tích của hai số lẻ là một số lẻ nên hai thẻ rút ra phải là lẻ, mà có $5$ thẻ lẻ nên \(\left| A \right| = C_5^2 = 10\)

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\)

Gọi A là biến cố: “2 người được chọn có đúng một người nữ.”

Số cách chọn \(2\) trong \(10\) người là \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^2 = 45.\)

Số cách chọn trong đó có \(1\) nữ và \(1\) nam là \(n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21.\)

=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}.\)

Không gian mẫu \(\Omega \) là tổ hợp chập $4$ của $10$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega  \right| = C_{10}^4 = 210\)

Gọi $A$ là biến cố chọn được $4$ quả cùng màu.

$4$ quả cùng màu có thể là $4$ quả cùng màu trắng hoặc $4$ quả cùng màu đen.

Ta có: \(\left| A \right| = C_6^4 + C_4^4 = 15 + 1 = 16\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{16}}{{210}} = \dfrac{8}{{105}}\)

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = {6^2} = 36\).

Gọi A là biến cố để tổng hai mặt là \(11\), các trường hợp có thể xảy ra của A là \(A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\) .

Số phần tử của không gian thuận lợi là: \(n\left( A \right) = 2\).

Xác suất biến cố \(A\) là : \(P\left( A \right) = \dfrac{1}{{18}}\).

Không gian mẫu \(\Omega \) là tổ hợp chập $4$ của $10$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega  \right| = C_{10}^4 = 210\)

Gọi $B$ là biến cố chọn được $4$ quả màu trắng. Ta có: \(\left| B \right| = C_6^4 = 15\)

Suy ra \(P(B) = \dfrac{{\left| B \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{15}}{{210}} = \dfrac{1}{{14}}\)

Ta có \(\overline B\) là biến cố chọn được ít nhất một quả màu đen nên \(P\left( {\overline B} \right) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{1}{{14}} = \dfrac{{13}}{{14}}\)

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = C_9^5 = 126\)

Gọi $A$ là biến cố “Trong $5$ thẻ được rút có các thẻ ghi số $1, 2, 3$”. Ta có: \(\left| A \right| = C_6^2 = 15\)

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{15}}{{126}} = \dfrac{5}{{42}}\)

Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = {2^5} = 32\).

Biến cố \(A\):”Được ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

Khi đó: \(\overline A \):”Tất cả đều là  mặt ngửa”.

Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{1}{{32}} \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \dfrac{1}{{32}} = \dfrac{{31}}{{32}}\).

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = C_7^1.C_6^1 = 42\)

Gọi $A$ là biến cố “lấy được hai viên bi cùng màu”.

Trường hợp 1: Lấy được hai viên bi màu đỏ, ta có \(C_4^1.C_2^1 = 8\)

Trường hợp 2: Lấy được hai viên bi màu trắng, ta có \(C_3^1.C_4^1 = 12\)

 Ta có: \(\left| A \right| = 8 + 12 = 20\)

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{20}}{{42}} = \dfrac{{10}}{{21}}\)

Gọi \(A\) là biến cố: “Cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”.

Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = {2^4} = 16,n\left( {{\Omega _A}} \right) = 1 \) \(\Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{1}{{16}}\)

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = 12.11.10 = 1320\)

Gọi $A$ là biến cố “lấy được hai bi đỏ và một bi xanh”.

TH1: Thứ tự bi lấy ra là Đ-Đ-X có $8.7.4=224$ cách.

TH2: Thứ tự bi lấy ra là Đ-X-Đ có $8.4.7=224$ cách.

TH3: Thứ tự bi lấy ra là X-Đ-Đ có $8.4.7=224$ cách.

Do đó \(\left| A \right| = 3.8.7.4 = 672\) cách.

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{ {\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{672}}{{1320}} = \dfrac{{28}}{{55}}\)

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = C_{100}^5\)

Gọi A là biến cố “rút ngẫu nhiên ra $1$ đề thi có $4$ câu đã học thuộc”. Ta có: \(\left| A \right| = C_{80}^4.C_{20}^1\)

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{C_{80}^4.C_{20}^1}}{{C_{100}^5}} = \dfrac{{1581580.20}}{{75287520}} = 0,42\)

Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “

Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “

=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{C_4^1}}{{C_9^1}} = \dfrac{4}{9}.\)

Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II “\(P\left( B \right) = \dfrac{3}{{10}}.\)

Ta thấy biến cố A, B  là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( X \right) = P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{2}{{15}}.\)

Ta có: \(n\left( \Omega  \right) = {6^5}\).

Bộ kết quả của ba lần gieo đầu thỏa mãn yêu cầu là:

\(\begin{array}{l}\left( {1;1;2} \right),\left( {1;2;3} \right),\left( {1;3;4} \right),\left( {1;4;5} \right),\\ \left( {1;5;6} \right), \left( {2;1;3} \right),\left( {2;2;4} \right),\left( {2;3;5} \right),\\ \left( {2;4;6} \right),\left( {3;1;4} \right),\left( {3;2;5} \right),\left( {3;3;6} \right),\\ \left( {4;1;5} \right),\left( {4;2;6} \right),\left( {5;1;6} \right)\end{array}\)

Hai lần gieo sau mỗi lần gieo có \(6\) khả năng xảy ra nên \(n\left( A \right) = 15.6.6\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{15.6.6}}{{{6^5}}} = \dfrac{{15}}{{216}}\).