Xác suất của biến cố và các quy tắc tính xác suất
Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa
Xác suất bắn trúng đích của một người bắn súng là $0,6$. Xác suất để trong ba lần bắn độc lập người đó bắn trúng đích đúng một lần.
Gọi A là biến cố “người bắn súng bắn trúng đích”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,6\)
Suy ra \(\overline A\) là biến cố “người bắn súng không bắn trúng đích”. Ta có \(P(\overline A) = 0,4\)
Xét phép thử “bắn ba lần độc lập” với biến cố “người đó bắn trúng đích đúng một lần”, ta có các biến cố xung khắc sau:
• \(B\): “Bắn trúng đích lần đầu và trượt ở hai lần bắn sau”. Ta có \(P(B) = 0,6.0,4.0,4 = 0,096\)
• C: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ hai và trượt ở lần đầu và lần thứ ba”. Ta có
\(P(C) = 0,4.0,6.0,4 = 0,096\)
• D: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ ba và trượt ở hai lần đầu”. Ta có:
\(P(D) = 0,4.0,4.0,6 = 0,096\)
Xác suất để người đó bắn trúng đích đúng một lần là:
\(P = P(A) + P(B) + P(C) = 0,096 + 0,096 + 0,096 = 0,288\)
Một chiếc tàu khoan thăm dò dầu khí trên thềm lục địa có xác suất khoan trúng túi dầu là $0,4$. Xác suất để trong $5$ lần khoan độc lập, chiếc tàu đó khoan trúng túi dầu ít nhất một lần.
Gọi A là biến cố “chiếc tàu khoan trúng túi dầu”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,4\)
Suy ra \(\bar A\) là biến cố “chiếc tàu khoan không trúng túi dầu”. Ta có \(P(\bar A) = 0,6\)
Xét phép thử “tàu khoan 5 lần độc lập” với biến cố
B:“chiếc tàu không khoan trúng túi dầu lần nào”, ta có \(P(B) = 0,{6^5} = 0,07776\)
Khi đó ta có \(\overline B\) “chiếc tàu khoan trúng túi dầu ít nhất một lần”. Ta có:
\(P\left( {\overline B} \right) = 1 - P(B) \) \(= 1 - 0,07776 = 0,92224\)
Một con xúc sắc cân đối, đồng chất được gieo \(6\) lần. Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng \(5\) xuất hiện ít nhất \(5\) lần là:
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {6^6}\).
TH1: Số bằng \(5\) xuất hiện đúng \(5\) lần \( \Rightarrow \) có \(5.6 = 30\) khả năng xảy ra.
TH2: Số bằng \(5\) xuất hiện đúng \(6\) lần \( \Rightarrow \) có \(1\) khả năng xảy ra.
TH3: Số bằng \(6\) xuất hiện đúng \(5\) lần \( \Rightarrow \) có \(5.6 = 30\) khả năng xảy ra.
TH4: Số bằng \(6\) xuất hiện đúng \(6\) lần \( \Rightarrow \) có \(1\) khả năng xảy ra.
Vậy có \(30 + 1 + 30 + 1 = 62\) khả năng xảy ra biến cố \(A\).
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{62}}{{{6^6}}} = \dfrac{{31}}{{23328}}\).
Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền, mỗi người được sút một quả với xác suất bàn tương ứng là $0,8$ và $0,7$. Tính xác suất để chỉ có $1$ cầu thủ làm bàn.
Gọi $A$ là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có \(P\left( A \right) = 0,8\) và \(P(\overline A ) = 0,2\)
Gọi $B$ là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.
Ta có \(P\left( B \right) = 0,7\) và \(P(\overline B) = 0,3\)
Ta xét hai biến cố xung khắc sau:
\(A\overline B\) “Chỉ có cầu thủ thứ nhất làm bàn”.
Ta có:
\(P\left( {A\overline B} \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B} \right) \) \(= 0,8.0,3 = 0,24\)
\(B\bar A\) “ Chỉ có cầu thủ thứ hai làm bàn” .
Ta có:
$P\left( {B\overline A} \right) = P\left( B \right).P\left( {\overline A} \right) $ $= 0,7.0,2 = 0,14$
Gọi $C$ là biến cố chỉ có $1$ cầu thủ làm bàn.
Ta có \(P(C) = 0,24 + 0,14 = 0,38\)
Có 5 nam, 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Tính xác suất để nam, nữ đứng xen kẽ nhau.
Gọi A là biến cố: “nam, nữ đứng xen kẽ nhau.“
-Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 10!\).
-Số cách xếp để nam đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: \(5!.5!\)
-Số cách xếp để nữ đứng đầu và nam nữ đứng xen kẽ nhau là: \(5!.5!\)
=>\(n\left( A \right) = 5!.5! + 5!.5! = 28800.\)
=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{28800}}{{10!}} = \dfrac{1}{{126}}.\)
Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng:
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6!\).
Gọi biến cố A : "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ".
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)
Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có 2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai).
Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ : 3! cách.
\( \Rightarrow {n_A} = 6.4.2.3! = 288\) cách.
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{288}}{{6!}} = \dfrac{2}{5}.\)
Một ngân hàng đề thi có 20 hạng mục, mỗi hạng mục có 10 câu hỏi. Đề thi có 20 câu hỏi tương ứng 20 hạng mục sao cho mỗi hạng mục có đúng 1 câu hỏi. Máy tính chọn từ ngân hàng ngẫu nhiên 2 đề thi thỏa mãn tiêu chí trên. Tìm xác suất để 2 đề thi có ít nhất 3 câu hỏi trùng nhau. (Kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn.)
Giả sử đề 1 đã được máy tính chọn ra. Ta xét xác suất để đề 2 giống đề 1
Ở mỗi hạng mục, xác suất để câu hỏi của 2 đề giống nhau và khác nhau lần lượt là 0,1 và 0,9.
Xác suất của biến cố đối:
Xác suất để 2 đề không trùng nhau câu hỏi nào là \(0,{9^{20}}\)
Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 1 câu hỏi là \(C_{20}^1.0,1.0,{9^{19}}\)
Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 2 câu hỏi là \(C_{20}^2.0,{1^2}.0,{9^{18}}\)
Xác suất để 2 đề trùng nhau từ 3 câu hỏi trở lên là \(1 - \left( {0,{9^{20}} + C_{20}^1.0,1.0,{9^{19}} + C_{20}^2.0,{1^2}.0,{9^{18}}} \right)\)\(= 0,323\)
Một hộp đựng 20 viên bi khác nhau được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại. Hỏi có bao nhiêu cách để lấy kết quả thu được là một số chia hết cho 3?
Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm:
\({X_1}:\left\{ {1;4;7;...;19} \right\}\): chia cho 3 dư 1 (có 7 phần tử)
\({X_2}:\left\{ {2;5;8;...;20} \right\}\): chia cho 3 dư 2 (có 7 phần tử)
\({X_3}:\left\{ {3;6;9;...;18} \right\}\): chia hết cho 3 (có 6 phần tử)
Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau:
+) Cả 3 viên thuộc \({X_1}\), có: \(C_7^3\) cách
+) Cả 3 viên thuộc \({X_2}\), có: \(C_7^3\) cách
+) Cả 3 viên thuộc \({X_3}\), có: \(C_6^3\) cách
+) 1 viên thuộc \({X_1}\), 1 viên thuộc \({X_2}\), 1 viên thuộc \({X_3}\), có: \(7.7.6\) cách
\( \Rightarrow \)Số cách thỏa mãn là: \(C_7^3 + C_7^3 + C_6^3 + 7.7.6 = 384\)
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên trong các số tự nhiên có bốn chữ số. Tính xác xuất để số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau.
* Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là \(\overline {abcd} \,\left( {a \ne 0;\,0 \le a,b,c,d \le 9;\,a,b,c,d \in \mathbb{N}} \right)\)
+ \(a\) có 9 cách chọn
+ \(b,c,d\) có 10 cách chọn
Không gian mẫu có số phần tử là \(n\left( \Omega \right) = {9.10^3}\)
* Gọi \(A\) là biến cố số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau
TH1 : Có hai chữ số 8 đứng liền nhau. Ta chọn 2 chữ số còn lại trong \(\overline {abcd} \)
+ 2 chữ số 8 đứng đầu thì có \(9.10 = 90\) cách chọn 2 chữ số còn lại
+ 2 chữ số 8 đứng ở giữa thì có \(8\) cách chọn chữ số hàng nghìn và \(9\) cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có \(8.9 = 72\) cách chọn.
+ 2 chữ số 8 đứng ở cuối thì có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng trăm nên có \(9.9\) cách chọn.
Vậy trường hợp này có \(90 + 72 + 81 = 243\) số.
TH2 : Có ba chữ số 8 đứng liền nhau.
+ 3 chữ số 8 đứng đầu thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị
+ 3 chữ số 8 đứng cuối thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn
Vậy trường hợp này có \(9 + 8 = 17\) số
TH3 : Có 4 chữ số 8 đứng liền nhau thì có 1 số
Số phần tử của biến cố A là \(n\left( A \right) = 243 + 17 + 1 = 261\)
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{261}}{{{{9.10}^3}}} = 0,029\)
Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ tập \(X = \left\{ {6;7;8} \right\},\) trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần, chữ số 7 xuất hiện 3 lần, chữ số 8 xuất hiện 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S; tính xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6.
+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là \(C_9^2\)
+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là \(C_7^3\)
+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là \(C_4^4\)
Số phần tử của tập S là \(n\left( \Omega \right) = C_9^2.C_7^3.C_4^4 = 1260\)
Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”
TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại
Số cách sắp xếp là \(C_8^1.C_7^3.C_4^4 = 280\) cách
TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chứ số 6.
Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(686\) là 1 cụm thì có \(7\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có \(C_6^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có \(7.C_6^3.C_3^3 = 140\) số
Cách 2: Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(6886\) là 1 cụm thì có \(6\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có \(C_5^2\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có \(6.C_5^2.C_3^3 = 60\) số
Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(68886\) là 1 cụm thì có \(5\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có \(C_4^1\) cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có \(5.C_4^1.C_3^3 = 20\) số
Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi \(688886\) là 1 cụm thì có \(4\) cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có \(C_3^3\) cách sắp xếp 3 chữ số 7.
Vậy có \(4C_3^3 = 4\) số
Vậy biến cố A có \(280 + 140 + 60 + 20 + 4 = 504\) phần tử
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{504}}{{1260}} = \dfrac{2}{5}\)
Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng:
Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là \(9.9 = 81 \Rightarrow n\left( \Omega \right) = {81^2}\).
Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”
TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau \( \Rightarrow \) Có 81 cách.
TH2: Bạn Công viết số có dạng \(\overline {ab} \) và bạn Thành viết số có dạng \(\overline {ba} \).
\( \Rightarrow a \ne b \ne 0 \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.
TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.
+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng \(\overline {a0} \), Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)
\( \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.
+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\), hoặc \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).
Nếu Công viết số 10 , khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Có 16 cách.
Nếu Công viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 0,\,\,b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.
Nếu Công viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.
\( \Rightarrow \) Có 256 cách viết trùng số 1.
Tương tự cho các trường hợp trùng số 2,3,4,5,6,7,8,9.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 81 + 72 + 72 + 256.9 = 2529\).
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{2529}}{{{{81}^2}}} = \dfrac{{281}}{{729}}\).
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp \(\left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn bằng
Số tự nhiên có \(4\) chữ số khác nhau là \({\rm{A}}_7^4 = 840 \Rightarrow n\left( S \right) = 840\).
Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\)”. Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {\rm{C}}_{840}^1 = 840\).
Biến cố \(A\):“số được chọn không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.
+ Trường hợp 1: Số được chọn có \(4\) chữ số đều là số lẻ, có \(4! = 24\)cách chọn.
+ Trường hợp 2: Số được chọn có \(1\) chữ số chẵn và \(3\) chữ số lẻ
Có \(C_3^1\) cách chọn 1 chữ số chẵn và \(C_4^3\) cách chọn 3 chữ số lẻ. Đồng thời có \(4!\) cách sắp xếp 4 số được chọn nên có \({\rm{C}}_3^1.{\rm{C}}_4^3.4! = 288\) cách chọn thỏa mãn.
+ Trường hợp 3: Số được chọn có \(2\) chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.
* Chọn 2 số chẵn, 2 số lẻ trong tập hợp \(\left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}\) có \(C_3^2.C_4^2\) cách.
Với mỗi bộ 2 số chẵn và 2 số lẻ được chọn, để hai số chẵn không đứng cạnh nhau thì ta có các trường hợp CLCL, CLLC, LCLC. Với mỗi trường hợp trên ta có \(2!\) cách sắp xếp 2 số lẻ và \(2!\) cách sắp xếp các số chẵn nên có \(3.2!.2!\) số thỏa mãn
* Suy ra trường hợp 3 có \(C_3^2.C_4^2.12 = 216\) cách chọn.
Suy ra \(n\left( A \right) = 24 + 288 + 216 = 528\).
Vậy xác suất cần tìm \({\rm{P}}\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{528}}{{840}} = \dfrac{{22}}{{35}}\).
Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp trong một đường tròn tâm \(O\). Gọi \(X\) là tập hợp các tam giác có các đỉnh là các đỉnh của đa giác đều trên. Tính xác suất \(P\) để chọn được một tam giác từ tập \(X\) là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều.
+) Số phần tử của KGM: \(n\left( \Omega \right) = n\left( X \right) = C_{18}^3\).
Gọi A là biến cố: “chọn được một tam giác từ tập \(X\) là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều”.
Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh của tam giác cân, ta lập được 8 tam giác cân + đều.
Có 18 đỉnh như vậy \( \Rightarrow \) Lập được \(8.18 = 144\) tam giác cân + đều.
Ta lại có số tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 144 - 6 = 138\).
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P = P\left( A \right) = \dfrac{{136}}{{C_{18}^3}} = \dfrac{{23}}{{136}}\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các tam giác có độ dài ba cạnh là các phần tử của \(A\). Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc \(S\). Xác suất để phần tử được chọn là một tam giác cân bằng
Áp dụng BĐT tam giác: \(\left| {a - b} \right| < c < a + b\) (với \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài 3 cạnh của tam giác).
+ Tất cả các bộ ba khác nhau có giá trị bằng số đo 3 cạnh là:
\(\left( {2;3;4} \right),\left( {2;4;5} \right),\left( {2;5;6} \right),\left( {3;4;5} \right),\left( {3;4;6} \right),\left( {3;5;6} \right),\left( {4;5;6} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có 7 tam giác không cân.
+ Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\) \( \Rightarrow a < 2b\).
TH1: \(b = 1 \Rightarrow a < 2 \Rightarrow a = 1\): Có 1 tam giác cân.
TH2: \(b = 2 \Rightarrow a < 4 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3} \right\}\): Có 3 tam giác cân.
TH3: \(b = 3 \Rightarrow a < 6 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\): Có 5 tam giác cân.
TH4: \(b = 4 \Rightarrow a < 8 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.
TH5: \(b = 5 \Rightarrow a < 10 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.
TH6: \(b = 6 \Rightarrow a < 12 \Rightarrow a \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\): Có 6 tam giác cân.
\( \Rightarrow \) Có \(1 + 3 + 5 + 6.3 = 27\) tam giác cân.
\( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 7 + 27 = 34\).
Gọi A là biến cố: “phần tử được chọn là một tam giác cân” \( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{27}^1 = 27\).
Vậy xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{27}}{{34}}\).
Một người chơi trò gieo súc sắc. Mỗi ván gieo đồng thời ba con súc sắc. Người chơi thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt sáu chấm. Tính xác suất để trong ba ván, người đó thắng ít nhất hai ván
- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng trong 1 ván (nghĩa là gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm).
Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = {6^3} = 216\)
Gọi A là biến cố: “Gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm”
Số cách gieo được hai mặt 6 chấm là: \(C_3^2.1.1.5 = 15\) cách
Số cách gieo được ba mặt 6 chấm là: \(1\) cách
Số cách gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm là: \(n\left( A \right) = 15 + 1 = 16\) cách
Xác suất để người đó gieo thắng 1 ván là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{16}}{{216}} = \dfrac{2}{{27}}\)
Do đó xác suất để thua 1 ván là \(1 - P\left( A \right) = 1 - \dfrac{2}{{27}} = \dfrac{{25}}{{27}}\)
- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván.
TH1: Thắng 2 ván, thua 1 ván
Xác suất để người đó thắng 2 ván thua 1 ván là \(C_3^2.\dfrac{2}{{27}}.\dfrac{2}{{27}}.\dfrac{{25}}{{27}} = \dfrac{{100}}{{6561}}\)
Xác suất để người đó thắng cả 3 ván là: \({\left( {\dfrac{2}{{27}}} \right)^3} = \dfrac{8}{{19683}}\)
Theo quy tắc cộng xác suất ta có: Xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván là:
\(P = \dfrac{{100}}{{6561}} + \dfrac{8}{{19683}} = \dfrac{{308}}{{19683}}\).
Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của ba lớp A, B, C
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = 6!\)
Bước 1: Xếp 3 học sinh đứng đầu hàng
+) Chọn 3 học sinh lớp A, B, C để đứng đầu hàng. Mỗi lớp 1 học sinh: Có \((C_2^1)^3\) cách chọn.
+) Với mỗi cách chọn trên ta sắp xếp thứ tự 3 học sinh này: Có 3! cách xếp.
Theo quy tắc nhân có 48 cách xếp 3 học sinh A,B,C đứng đầu hàng.
Bước 2: Với mỗi một cách xếp 3 học sinh ở 2 bước trên (Giả sử thứ tự khi xếp 3 học sinh ở bước 2 là ABC),
+) Ta chọn 1 học sinh trong 3 học sinh còn lại xếp vị trí thứ 4
=> Chỉ có thể là học sinh lớp A: ABCA
+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 5: Chỉ có thể là B
+) Ta chọn học sinh xếp vào vị trí thứ 6: Chỉ có thể là C
Số phần tử của A là: \(n\left( A \right) = (C_2^1)^3.3! = 48\) \( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{48}{{6!}} = \dfrac{1}{{15}}\).
Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số đã cho. Lấy ngẫu nhiên 2 số từ \(S\), gọi \(A\) là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn”. Xác suất của biến cố \(A\) là:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right)\).
- Số cách chọn \(a\): 6 cách.
- Số cách chọn \(b,c,d\): \(A_6^3\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(6.A_6^3 = 720\) số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
\( \Rightarrow \) Tập hợp \(S\) có 720 phần tử.
Chọn ngẫu nhiên 2 số từ \(S\) \( \Rightarrow \) Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{720}^2\).
Trong các số \(0,1,2,3,4,5,6\) có 4 số chẵn và 3 số lẻ.
a. Tính số các số chẵn được lập từ 7 chữ số trên:
Nếu số đó có dạng \(\overline {abc0} \Rightarrow \) có \(A_6^3 = 120\) số thỏa mãn.
Nếu số đó dạng \(\overline {abcd} ;\,\,\,d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow \) có \(3.5.A_5^2 = 300\) số thỏa mãn.
Vậy có 420 số chẵn được tạo từ các số đã cho.
b. Tính số các số lẻ được lập từ 7 chữ số trên:
Số các số lẻ \( = 720 - 420 = 300\) số.
Gọi A là biến cố: “tổng hai số lấy được là một số chẵn” \( \Rightarrow \) Cả hai số lấy được hoặc cùng chẵn, hoặc cùng lẻ.
- Lấy hai số chẵn từ tập \(S\) có \(C_{420}^2\) cách.
- Lấy hai số lẻ từ tập \(S\) có \(C_{300}^2\) cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{420}^2 + C_{300}^2\).
Vậy xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{C_{300}^2 + C_{420}^2}}{{C_{720}^2}}\).
Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 25 bằng:
Gọi số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_1} \ne 0} \right)\).
Số cách chọn \({a_1}\): 9 cách.
Số cách chọn 7 chữ số còn lại: \(A_9^7\) cách.
\( \Rightarrow \) Tập hợp A có \(9.A_9^7\) số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau.
Chọn ngẫu nhiên 1 số thuộc A \( \Rightarrow \) Không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = C_{9.A_9^7}^1 = 9.A_9^7\).
Gọi M là biến cố: “số tự nhiên được chọn chia hết cho 25”.
Ta có: \(X = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} = {a_1}{.10^7} + {a_2}{.10^6} + {a_3}{.10^5} + {a_4}{.10^4} + {a_5}{.10^3} + {a_6}{.10^2} + {a_7}.10 + {a_8}\).
Vì \({10^k}\,\, \vdots \,\,25\,\,\forall k = \overline {2;8} ,\,\,k \in \mathbb{N}\) nên \(X\,\, \vdots \,\,25 \Leftrightarrow 10{a_7} + {a_8}\,\, \vdots \,\,25\).
Do \({a_7},\,\,{a_8} \in \mathbb{N},\,\,0 \le {a_7},\,\,{a_8} \le 9\), \({a_7} \ne {a_8}\) nên \(0 < 10{a_7} + {a_8} \le 99\).
\( \Rightarrow 10{a_7} + {a_8} \in \left\{ {25;50;75} \right\}\).
Lại có số chia hết cho 25 là số có tận cùng là 0 hoặc 5 nên \({a_8} \in \left\{ {0;5} \right\}\).
TH1: \(10{a_7} + {a_8} = 25 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{25}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 2\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).
Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.
TH2: \(10{a_7} + {a_8} = 50 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = 5\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = \dfrac{{45}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\).
\(\) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).
Số cách chọn \({a_1}\): 8 cách \(\left( {{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(8.A_7^5\) số.
TH3: \(10{a_7} + {a_8} = 75 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 0\\{a_7} = \dfrac{{75}}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {KTM} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}{a_8} = 5\\{a_7} = 7\end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).
\( \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_7},\,\,{a_8}\).
Số cách chọn \({a_1}\): 7 cách \(\left( {{a_1} \ne 0,\,\,{a_1} \ne {a_7},\,{a_8}} \right)\).
Số cách chọn 5 chữ số còn lại: \(A_7^5\) cách.
\( \Rightarrow \) Có \(7.A_7^5\) số.
\( \Rightarrow n\left( M \right) = 2.7.A_7^5 + 8.A_7^5 = 55440\).
Vậy xác suất của biến cố M là \(P\left( M \right) = \dfrac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{55440}}{{9.A_9^7}} = \dfrac{{11}}{{324}}\)
Xếp \(1\) học sinh lớp A, \(2\) học sinh lớp B, \(5\) học sinh lớp C thành một hàng ngang. Tính xác suất sao cho học sinh lớp A chỉ đứng cạnh học sinh lớp B.
Số cách sắp xếp 8 bạn học sinh thành một hàng ngang là: \(8!\) cách.
Gọi biến cố A: “Học sinh lớp A chỉ đứng cạnh học sinh lớp B”.
TH1: Học sinh A đứng ở đầu hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B
\( \Rightarrow \) Có: \(C_2^1.6!\) cách xếp.
TH2: Học sinh A đứng ở cuối hàng và đứng cạnh 1 bạn lớp B
\( \Rightarrow \) Có: \(C_2^1.6!\) cách xếp.
TH3: Học sinh A đứng giữa hai bạn học sinh lớp B
\( \Rightarrow \) Có: \(2!.6!\) cách xếp.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {n_A} = 2C_2^1.6! + 2!.6! = 4320\\ \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{{n_A}}}{{{n_\Omega }}} = \dfrac{{4320}}{{8!}} = \dfrac{3}{{28}}.\end{array}\)
Có \(60\) quả cầu được đánh số từ \(1\) đến \(60.\) Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả cầu rồi nhân các số trên hai quả cầu với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chia hết cho \(10.\)
Số cách lấy ngẫu nhiên hai quả cầu trong số 60 quả cầu đã cho là: \(C_{60}^2\) cách lấy.
Gọi biến cố A: “Lấy được hai quả cầu mà tích hai số trên hai quả cầu chia hết cho 10”.
TH1: Hai quả cầu lấy được có đúng một quả mang số chia hết cho 10
\( \Rightarrow \) Có \(C_6^1.C_{54}^1\) cách lấy.
TH2: Hai quả cầu lấy dược đều là số chia hết cho 10
\( \Rightarrow \) Có \(C_6^2\) cách lấy.
TH3: Hai quả cầu lấy được có 1 quả cầu là số chia hết cho 2 (nhưng không chia hết cho 5) và 1 quả cầu mang số chia hết cho 5 (nhưng không chia hết cho 2)
\( \Rightarrow \) Có \(\left( {30 - 6} \right)\left( {12 - 6} \right) = 24.6 = 144\) cách lấy.
\( \Rightarrow {n_A} = C_6^1.C_{54}^1 + C_6^2 + 144 = 483\) cách lấy.
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{483}}{{C_{60}^2}} = \dfrac{{161}}{{590}}.\)