Tìm min, max liên quan đến số phức

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

$1 = \left| {z - 2 + 2i} \right| = \left| {z - \left( {2 - 2i} \right)} \right| \ge \left| z \right| - \left| {2 - 2i} \right| = \left| z \right| - 2\sqrt 2  \Rightarrow \left| z \right| \le 1 + 2\sqrt 2$

Vậy $\max \left| z \right| = 1 + 2\sqrt 2$

Ta có: $\left| {z - i} \right| = \left| {\left( {z - 2 - 2i} \right) + \left( {i + 2} \right)} \right| \ge \left| {\left| {z - 2 - 2i} \right| - \left| {i + 2} \right|} \right| = \left| {1 - \sqrt 5 } \right| = \sqrt 5  - 1$

Vậy $\left| {z - i} \right| \ge \sqrt 5  - 1$ nên $\min \left| {z - i} \right| = \sqrt 5  - 1$

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

$\sqrt 2  = |z - 2 - 2i| \ge |z| - | - 2 - 2i| = |z| - 2\sqrt 2  \Rightarrow |z| \le 3\sqrt 2$

Suy ra $\max |z| = 3\sqrt 2$.

Kiểm tra các đáp án đã cho chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Sử dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

$\left| {|z| - |3i|} \right| \le |z + 3i| \le \left| {|z| + |3i|} \right| \Leftrightarrow |2 - 3| \le |w| \le |2 + 3| \Leftrightarrow 1 \le |w| \le 5$

Nhận thấy với $z =  - 2i$ thì $\left| w \right| = 1$ và với $z = 2i$ thì $\left| w \right| = 5$ nên $1$ và $5$ là GTNN và GTLN của $\left| w \right|$.

Ta có $|z - 3 + 4i| = 2 \Leftrightarrow |2z - 6 + 8i| = 4.$

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối có

$4 = |2z - 6 + 8i| = |(2z + 1 - i) - (7 - 9i)| \ge |2z + 1 - i| - |7 - 9i| = |w| - \sqrt {130}$

$\Rightarrow |w| - \sqrt {130}  \le 4 \Rightarrow |w| \le 4 + \sqrt {130}$

Theo bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có

$|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \ge ||z - 1 - 2i| - |3 + 3i|| = |4 - 3\sqrt 2 | = 3\sqrt 2  - 4 = m$

$|z + 2 + i| = |(z - 1 - 2i) + (3 + 3i)| \le |z - 1 - 2i| + |3 + 3i| = 4 + 3\sqrt 2  = M$

Suy ra ${M^2} + {m^2} = {(3\sqrt 2  - 4)^2} + {(4 + 3\sqrt 2 )^2} = 2({4^2} + {(3\sqrt 2 )^2}) = 68$

Giả sử $z = x + yi$, ta có $3x - 4y - 3 = 0$, suy ra $y = \dfrac{3}{4}\left( {x - 1} \right)$

Ta có $|z| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt {{x^2} + \dfrac{9}{{16}}{{(x - 1)}^2}}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {16{x^2} + 9{{(x - 1)}^2}}$ $= \dfrac{1}{4}\sqrt {25{x^2} - 18x + 9}  = \dfrac{1}{4}\sqrt {{{\left( {5x - \dfrac{9}{5}} \right)}^2} + \dfrac{{144}}{{25}}}  \ge \dfrac{1}{4}.\dfrac{{12}}{5} = \dfrac{3}{5}$

Dấu “=” xảy ra khi $x = \dfrac{9}{{25}}$ và $y =  - \dfrac{{12}}{{25}}$.

Giả sử $z = a + bi$, theo giả thiết ta có

$|a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10 \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  = 10$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với $A=1;B=1;X=\sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}} ;$$Y=\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}$ ta có

$10 = 1.\sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + 1.\sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}$$\le \sqrt {({1^2} + {1^2})[{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}]}$ $= \sqrt {2.[2{a^2} + 2{b^2} + 18]}  = 2\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9}$

Suy ra $\sqrt {{a^2} + {b^2} + 9}  \ge 5 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16$

Do đó $|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 4$

 Giả sử ${z_1} = {x_1} + {y_1}i$,${z_2} = {x_2} + {y_2}i$.

Theo giả thiết $|{z_1} - {z_2}| = 1$ có

${({x_1} - {x_2})^2} + {({y_1} - {y_2})^2} = 1 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 - 2{y_1}{y_2} = 1$ (1)

Theo giả thiết $|{z_1} + {z_2}| = 3$ có

${({x_1} + {x_2})^2} + {({y_1} + {y_2})^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + y_1^2 + y_2^2 + 2{y_1}{y_2} = 9$ (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có

$x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 5$

Ta có

$T = \sqrt {x_1^2 + y_1^2}  + \sqrt {x_2^2 + y_2^2}$

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có

$T \le \sqrt {2.(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)}  = \sqrt {10}$

Có $\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}} = 1 + 3i$. Đặt $z = x + yi$ thì

$\dfrac{{4 + 2i}}{{1 - i}}z - 1 = (1 + 3i)(x + yi) - 1 = (x - 3y - 1) + (3x + y)i$

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành

${(x - 3y - 1)^2} + {(3x + y)^2} = 1$

$\Leftrightarrow {(x - 3y)^2} - 2(x - 3y) + 1 + {(3x + y)^2} = 1$

$\Leftrightarrow 10{x^2} + 10{y^2} - 2x + 6y = 0$

$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - \dfrac{1}{5}x} \right) + \left( {{y^2} + \dfrac{3}{5}y} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{3}{{10}}} \right)^2} = \dfrac{1}{{10}}$ (*)

Điểm biểu diễn $M(x,y)$ của $z$ chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm $M(x,y)$ thuộc đường tròn này để $OM$ nhỏ nhất.

Vì đường tròn này qua $O$ nên min $OM = 0$ khi $M \equiv O$ hay $M\left( {0,0} \right)$, do đó $z = 0$ hay $min\left| z \right| = 0$.

Có $\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}} =  - i$. Đặt $z = x + yi$ thì

$\dfrac{{ - 2 - 3i}}{{3 - 2i}}z + 1 =  - i(x + yi) + 1 = (y + 1) - xi$

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành ${(y + 1)^2} + {x^2} = 1$

Điểm biểu diễn $M(x,y)$ của $z$ chạy trên đường tròn (*) có tâm $I\left( {0, - 1} \right)$, bán kính bằng $1$.

Cần tìm điểm $M(x,y)$ thuộc đường tròn này để $OM$ lớn nhất.

Vì $O$ nằm trên đường tròn nên $OM$ lớn nhất khi $OM$ là đường kính của (*) $\Leftrightarrow$ $I$ là trung điểm của $OM$ $\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2{x_I}}&{}\\{y = 2{y_I}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}&{}\\{y =  - 2}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(0, - 2)$. Suy ra $z =  - 2i \Leftrightarrow |z| = 2$

Vậy $\max \left| z \right| = 2$

Gọi $z = x + yi$;

Khi đó $z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i$

$\Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$

Vậy quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( {4; - 3} \right);R = 3$.

Đặt  $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\sin t + 4\\y = 3\cos t - 3\end{array} \right.$

$\Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2}$

$= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34$

Mà $24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)}  = 30$ (theo bunhiacopxki)

$\Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8$

Giả sử $z = a + bi\left( {a,b \in R} \right)$ ta có:

$\left| {z + 3 + 4i} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {(a + 3) + (b + 4)i} \right| = 2 \Leftrightarrow {(a + 3)^2} + {(b + 4)^2} = 4$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thuộc đường tròn tâm $I\left( { - 3; - 4} \right)$ và bán kính $r = 2$

Từ hình vẽ ta thấy số phức ${z_0}$ có mô đun nhỏ nhất nếu ${z_0}$ có điểm biểu diễn là $M$.

Ta có: $\overrightarrow {OI}  = ( - 3; - 4)$  nên đường thẳng đi qua $O$ và $I$ là $OI:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 4t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3t;4t} \right)$

Mặt khác $M \in \left( C \right)$ nên: ${\left( {3t + 3} \right)^2} + {\left( {4t + 4} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 25{t^2} + 50t + 21 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 3}}{5}\\t = \dfrac{{ - 7}}{5}\end{array} \right.$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ hoặc $M\left( {\dfrac{{ - 21}}{5};\dfrac{{ - 28}}{5}} \right)$

$M\left( {\dfrac{{ - 9}}{5};\dfrac{{ - 12}}{5}} \right)$ thuộc $\left( C \right)$  và gần $O$ nhất.

$\Rightarrow z = \dfrac{{ - 9}}{5} - \dfrac{{12}}{5}i \Rightarrow \left| z \right| = 3$

Theo bài ra ta có :

+) $\left| z \right| = 2 \Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $z$ là đường tròn tâm ${I_1}\left( {0;0} \right)$ bán kính ${R_1} = 2$. 

$\left| i \right|\left| {w - \dfrac{{2 - 5i}}{i}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {w - \left( { - 5 - 2i} \right)} \right| = 1$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ là đường tròn tâm ${I_2}\left( { - 5; - 2} \right)$ bán kính ${R_2} = 1$.

Đặt  $T = \left| {{z^2} - wz - 4} \right| = \left| {{z^2} - wz - z.\overline z } \right| = \left| z \right|\left| {z - w - \overline z } \right| = 2\left| {z - w - \overline z } \right|$

Đặt $z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \overline z  = a - bi \Rightarrow z - \overline z  = 2bi$.

$\Rightarrow T = 2\left| {2bi - w} \right|$.

Gọi $M\left( {0;2b} \right)$ là điểm biểu diễn số phức $2bi$, $N$ là điểm biểu diễn số phức $w$.

$\Rightarrow T = 2M{N_{\min }} \Leftrightarrow M{N_{\min }}$.

Do $\left| z \right| = 2 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4 \Leftrightarrow  - 2 \le b \le 2 \Leftrightarrow  - 4 \le 2b \le 4$.

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm $M$ là đoạn $AB$ với $A\left( { 0;-4} \right),\,\,B\left( {0;4} \right)$.

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{N_{\min }} = 4 \Leftrightarrow N\left( { - 4; - 2} \right),M\left( {0; - 2} \right)$.

Vậy ${T_{\min }} = 2.4 = 8$.

Cách 1: Dùng phương pháp hình học $\to$ Kỹ năng dồn số phức.

* $P = \left| {z + i\,\overline {\rm{w}}  - 6 - 8i} \right| = \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) - \left( { - i\overline w } \right)} \right| = \left| {u - v} \right|$.

Trong đó: $\left\{ \begin{array}{l}u = z - 6 - 8i\\v =  - i\overline w \end{array} \right.$, $u$ có điểm biểu diễn là $A$, $v$ có điểm biểu diễn là $B$.

$\Rightarrow P = \left| {u - v} \right| = AB \Rightarrow$ Cần đạt Min.

* $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 6 - 8i} \right) + 6 + 8i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {u + 6 + 8i} \right| = 1$.

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $A$ biểu diễn số phức $u$ là đường tròn: $\left( {{C_1}} \right)$: $\left\{ \begin{array}{l}I\left( { - 6; - 8} \right)\\{R_1} = 1\end{array} \right.$.

* $\left| w \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| { - i} \right|.\left| {\overline w } \right| = \left| { - i} \right|.2$ $\Rightarrow \left| { - i\overline w } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| v \right| = 2$.

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $B$ biểu diễn số phức $v$ là đường tròn $\left( {{C_2}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}O\left( {0;0} \right)\\{R_2} = 2\end{array} \right.$.

Có $\left\{ \begin{array}{l}IA = {R_1} = 1\\OB = {R_2} = 2\\OI = 10\end{array} \right.$

$\Rightarrow A{B_{\min }} = IO - {R_1} - {R_2} = 10 - 1 - 2 = 7$.

Min đạt được khi: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \dfrac{9}{{10}}\overrightarrow {OI}  \Rightarrow A\left( {\dfrac{{ - 27}}{5};\dfrac{{ - 36}}{5}} \right) \Rightarrow u =  - \dfrac{{27}}{5} - \dfrac{{36}}{5}i\\\overrightarrow {OB}  = \dfrac{1}{5}\overrightarrow {OI}  \Rightarrow B\left( {\dfrac{{ - 6}}{5};\dfrac{{ - 8}}{5}} \right) \Rightarrow v =  - \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}i\end{array} \right.$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = u + 6 + 8i = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\ - i\overline w  = v \Rightarrow \overline w  = \dfrac{v}{{ - i}} = \dfrac{{ - \dfrac{6}{5} - \dfrac{8}{5}i}}{{ - i}} = \dfrac{8}{5} - \dfrac{6}{5}i \Rightarrow w = \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i} \right) - \left( {\dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt {29} }}{5}$.

Cách 2: Phương pháp dùng BĐT vectơ

Ta có BĐT cho 3 vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c$ thì $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| \ge \left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| - \left| {\overrightarrow c } \right|$.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|\\\overrightarrow a  = k\overrightarrow b \\\overrightarrow a  = m\overrightarrow c \end{array} \right.\,\,\left( {k;m < 0} \right)$.

* Đặt $P = \left| {z + i\,\overline {\rm{w}}  - 6 - 8i} \right| = \left| {\underbrace {\left( { - 6 - 8i} \right)}_{ = \overrightarrow a } + \underbrace z_{ = \overrightarrow b } + \underbrace {i\overline w }_{ = \overrightarrow c }} \right|$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 6 - 8i} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a \left( { - 6; - 8} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = 10\\z \Leftrightarrow \overrightarrow b  \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\\i\overline w  \Leftrightarrow \overrightarrow c  \Rightarrow \left| {\overrightarrow c } \right| = \left| {i\overline w } \right| = \left| w \right| = 2\end{array} \right.$.

$\Rightarrow P = \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right| \ge \left| {\overrightarrow a } \right| - \left| {\overrightarrow b } \right| - \left| {\overrightarrow c } \right| = 10 - 1 - 2 = 7$.

$\Rightarrow {P_{\min }} = 7$, đạt Min khi $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\overrightarrow a } \right| \ge \left| {\overrightarrow b } \right| + \left| {\overrightarrow c } \right|\,\,\left( {dung\,\,do\,\,10 > 1 + 2} \right)\\\overrightarrow a  =  - 10\overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow b  =  - \dfrac{1}{{10}}\overrightarrow a  = \left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5}} \right)\\\overrightarrow a  =  - 5\overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow c  =  - \dfrac{1}{5}\overrightarrow a  = \left( {\dfrac{6}{5};\dfrac{8}{5}} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i\\i\overline w  = \dfrac{6}{5} + \dfrac{8}{5}i \Leftrightarrow w = \dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left| {z - w} \right| = \left| {\left( {\dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5}i} \right) - \left( {\dfrac{8}{5} + \dfrac{6}{5}i} \right)} \right| = \dfrac{{\sqrt {29} }}{5}$.