Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng
Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( {2, - 3,4} \right)$ và nhận \(\vec n = ( - 2,4,1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng qua điểm $M\left( {2, - 3,4} \right)$ và nhận \(\vec n = ( - 2,4,1)\) làm vectơ pháp tuyến là:
\( - 2(x - 2) + 4(y + 3) + (z - 4) = 0 \Leftrightarrow - 2x + 4y + z + 12 = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - z - 12 = 0\)
Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1,3, - 2} \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0$ là:
Ta có: $\left( P \right):2x - y + 3z + 4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua $A\left( {1,3, - 2} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm VTPT nên \(\left( Q \right):2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z + 7 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {4, - 1,2} \right),B\left( {2, - 3, - 2} \right)$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ qua trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm vectơ pháp tuyến.
Có $I\left( {3, - 2,0} \right)$ và \(\overrightarrow {AB} = ( - 2, - 2, - 4)\). Chọn \(\vec n = (1,1,2)\) là vectơ pháp tuyến ta có phương trình
\((x - 3) + (y + 2) + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z - 1 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A\left( {1, - 3,2} \right),B\left( {1,0,1} \right),C\left( {2,3,0} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ .
Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ qua $B\left( {1,0,1} \right)$ và nhận \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]\) là vectơ pháp tuyến.
Ta có \(\overrightarrow {AB} = (0,3, - 1)\) và \(\overrightarrow {AC} = (1,6, - 2)\). Suy ra \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0, - 1, - 3} \right)\)
Quan sát đáp án bài cho, ta chọn ngay đáp án D.
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( {1,0,0} \right),B\left( {0,1,0} \right)$ và $C\left( {0,0,1} \right)$ . Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua ba điểm $A,B,C$ là:
Ta sử dụng phương trình đoạn chắn \(\dfrac{x}{1} + \dfrac{y}{1} + \dfrac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\)
Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;0; - 2} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right),\left( R \right)$ cho trước với $\left( Q \right):x + 2y - 3z + 1 = 0$ và $\left( {{\rm{ }}R} \right):2x - 3y + z + 1 = 0$ .
Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = (1,2, - 3)\) và \(\overrightarrow {{n_R}} = (2, - 3,1)\). Suy ra \(\vec n = ( - 7, - 7, - 7)\). Chọn \(\vec n' = (1,1,1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có phương trình $\left( P \right)$ là
\((x - 1) + (y - 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0\)
Cách tính tích có hướng bằng CASIO fx 570 vn plus:
Bước 1: Nhập các vecto
MODE 8->1->1. Nhập vecto thứ nhất vào.
MODE 8->2->1. Nhập vecto thứ nhất vào.
Bước 2: Tính tích có hướng
Ấn AC để ra màn hình. Ấn (SHIFT 5 -> 3) và (SHIFT 5 ->4) và ấn “=”
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 2z + 11 = 0$ và $\left( Q \right):x + 2y + 2z + 2 = 0$ . Tính khoảng cách giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Nhận xét $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng song song.
Chọn $A\left( { - 11,0,0} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ . Ta có
\(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(Q)} \right) = \dfrac{{| - 11 + 2.0 + 2.0 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3\)
Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với mặt phẳng $\left( Q \right):x + y - z - 2 = 0$ và cách $\left( Q \right)$ một khoảng là \(2\sqrt 3 \) .
Vì $\left( P \right)$ song song với $\left( Q \right)$ nên $\left( P \right):x + y - z + c = 0$ với \(c \ne - 2\) .
Chọn $A\left( {2,0,0} \right)$ thuộc $\left( Q \right)$ ta có
\(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(P)} \right) = \dfrac{{|2 + c|}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow |2 + c| = 6\).
Suy ra $c = 4$ hoặc $c = - 8$.
Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):3x - my - z + 7 = 0,\left( Q \right):6x + 5y - 2z - 4 = 0$. Hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ song song với nhau khi $m$ bằng
Yêu cầu bài toán tương đương với \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 2}} \ne \dfrac{7}{{ - 4}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - m}}{5} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m = - \dfrac{5}{2}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left( P \right):mx + y - 2z - 2 = 0$ và $\left( Q \right):x - 3y + mz + 5 = 0$. Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hai mặt phẳng đã cho vuông góc với nhau.
$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = 0\)
\( \Leftrightarrow m.1 + 1.( - 3) + ( - 2).m = 0 \Leftrightarrow - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz - 27 = 0$ qua hai điểm $A\left( {3,2,1} \right),B\left( { - 3,5,2} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$.
$A,B$ thuộc $\left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\end{array}} \right.\)
$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ nên ta có điều kiện $3a + b + c = 0$.
Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\\{3a + b + c = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}&{}\\{b = 27}&{}\\{c = - 45}&{}\end{array}} \right.\)
Suy ra $S = - 12$.
Trong hệ trục toạ độ không gian $Oxyz$, cho \(A\left( {1,0,0} \right),\;B\left( {0,b,0} \right),\;C\left( {0,0,c} \right)\), biết $b,c > 0$, phương trình mặt phẳng $\left( P \right):y - z + 1 = 0$ . Tính $M = c + b$ biết \((ABC) \bot (P)\), \(d\left( {O,(ABC)} \right) = \dfrac{1}{3}\)
Theo giả thiết \((ABC) \bot (P)\) nên ta có \(0.bc + 1.c - 1.b = 0 \Leftrightarrow c - b = 0 \Leftrightarrow b = c\)
Với giả thiết \(d\left( {O,(ABC)} \right) = \dfrac{1}{3}\) ta có \(\dfrac{{| - bc|}}{{\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{3}\)
Vì $b,c > 0$ nên có \(\sqrt {{b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2}} = 3bc \Leftrightarrow {b^2}{c^2} + {b^2} + {c^2} = 9{b^2}{c^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 8{b^2}{c^2}\)
Thay $b = c > 0$ vào ta được \(2{b^2} = 8{b^4} \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{2}\), suy ra \(c = \dfrac{1}{2}\)
Vậy $M = b + c = 1$.
Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $x + 3y - 2z + 1 = 0$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình $x + y + 2z - 1 = 0$. Trong các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ , xác định mặt phẳng tạo với $\left( P \right)$ góc có số đo lớn nhất.
$\left( P \right)$ có \(\overrightarrow {{n_P}} = (1,3, - 2),\left( Q \right)\) có \(\overrightarrow {{n_Q}} = (1,1,2)\), mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_1}} = (0,0,1)\) , mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_2}} = (0,1,0)\), mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có \(\overrightarrow {{n_3}} = (1,0,0)\).
Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_Q}} |}} = 0\) (1)
Có $\cos \left( \left( P \right),\left( Oxy \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{P}}},\overrightarrow{{{n}_{1}}} \right) \right|=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{|\overrightarrow{{{n}_{P}}}|.|\overrightarrow{{{n}_{1}}}|}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}$ (2)
Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_2}} |}} = \dfrac{3}{{\sqrt {14} }}\) (3)
Có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_3}} } \right|}}{{|\overrightarrow {{n_P}} |.|\overrightarrow {{n_3}} |}} = \dfrac{1}{{\sqrt {14} }}\) (4)
Trong $[0;90^0]$, góc có cô sin càng nhỏ thì càng lớn.
Do đó góc giữa \((P)\) và \((Q)\) lớn nhất.
Cho điểm $A\left( {1,2, - 1} \right)$ và điểm $B\left( {2, - 1,3} \right)$. Kí hiệu $\left( S \right)$ là quỹ tích các điểm $M\left( {x,y,z} \right)$ sao cho\(M{A^2} - M{B^2} = 2\). Tìm khẳng định đúng.
Ta có \(\overrightarrow {MA} = (1 - x,2 - y, - 1 - z)\) và \(\overrightarrow {MB} = (2 - x, - 1 - y,3 - z)\)
Theo giả thiết \(M{A^2} - M{B^2} = 2 \Leftrightarrow M{A^2} = 2 + M{B^2}\) nên ta có
\({(1 - x)^2} + {(2 - y)^2} + {( - 1 - z)^2} = 2 + {(2 - x)^2} + {( - 1 - y)^2} + {(3 - z)^2}\)
\( \Leftrightarrow - 2x - 4y + 2z + 6 = - 4x + 2y - 6z + 16\)
\( \Leftrightarrow 2x - 6y + 8z - 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow x - 3y + 4z - 5 = 0\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;4;1} \right)\) và giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( Q \right):19x - 6y - 4z + 27 = 0\) và \(\left( R \right):42x - 8y + 3z + 11 = 0\) là:
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua giao tuyến của \(\left( Q \right),\left( R \right)\) nên có phương trình dạng \(m\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) + n\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\) với \({m^2} + {n^2} > 0.\)
Do \(\left( P \right)\) đi qua \(M\left( {3;4;1} \right)\) nên \(56m + 108n = 0 \Rightarrow \dfrac{m}{n} = - \dfrac{{27}}{{14}}.\)
Chọn \(m = 27,n = - 14\) thì:
\(\begin{array}{l}\left( P \right):27.\left( {19x - 6y - 4z + 27} \right) - 14.\left( {42x - 8y + 3z + 11} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 75x - 50y - 150z + 575 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 2y + 6z - 23 = 0\end{array}\)
Cho hai điểm \(M\left( {1; - 2; - 4} \right),M'\left( {5; - 4;2} \right)\). Biết \(M'\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó, phương trình \(\left( P \right)\) là:
Ta có: \(\overrightarrow {MM'} = \left( {4; - 2;6} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 1;3} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M'\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)\) làm VTPT nên có phương trình:
\(2\left( {x - 5} \right) - 1\left( {y + 4} \right) + 3\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 3z - 20 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;1;2} \right).$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$
Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\) là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là : $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$
$M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$
Lại có $OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$
Suy ra $\left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = - \,b = c\end{array} \right.$ và $\left[ \begin{array}{l}a = b = - \,c\\a = - \,b = - \,c\end{array} \right.,$ mà $a = b = - \,c$ không thỏa mãn điều kiện $\left( 1 \right).$
Vậy có $3$ mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ lần lượt có phương trình $x + 2y - 2z + 1 = 0$ và $x - 2y + 2z - 1 = 0$. Gọi $\left( S \right)$ là quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Tìm khẳng định đúng.
Giả sử $M\left( {x,y,z} \right)$ là điểm cách đều hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Ta có
\(\begin{array}{l}\dfrac{{|x + 2y - 2z + 1|}}{3} = \dfrac{{|x - 2y + 2z - 1|}}{3}\\ \Leftrightarrow |x + 2y - 2z + 1| = |x - 2y + 2z - 1|\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 2z + 1 = x - 2y + 2z - 1}\\{x + 2y - 2z + 1 = - (x - 2y + 2z - 1)}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4y - 4z + 2 = 0}\\{2x = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2y - 2z + 1 = 0}\\{x = 0}\end{array}} \right.\end{array}\)
Với mỗi giá trị của tham số m, xét mặt phẳng \(({P_m})\) xác định bởi phương trình \(mx + m(m + 1)y + {(m - 1)^2}z - 1 = 0\). Tìm tọa độ của điểm thuộc mọi mặt phẳng \(({P_m})\).
Giả sử \(M({x_0},{y_0},{z_0})\) là điểm thuộc \(({P_m})\) ta có
\(\begin{array}{l}m{x_0} + m(m + 1){y_0} + {(m - 1)^2}{z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow m{x_0} + {m^2}{y_0} + m{y_0} + {m^2}{z_0} - 2m{z_0} + {z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow ({y_0} + {z_0}){m^2} + ({x_0} + {y_0} - 2{z_0})m + {z_0} - 1 = 0,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{y_0} + {z_0} = 0}&{}\\{{x_0} + {y_0} - 2{z_0} = 0}&{}\\{{z_0} - 1 = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{z_0} = 1}&{}\\{{y_0} = - 1}&{}\\{{x_0} = 3}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow M(3, - 1,1)\end{array}\)
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;0;0} \right)\) và \(N\left( {0;0;3} \right)\) sao cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) một góc bằng \({60^0}\). Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)
Gọi \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( \alpha \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} = \left( {1;0;0} \right)\) nên góc giữa \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) bằng \({60^0}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos {60^0} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| {a.1 + b.0 + c.0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\end{array}\)
\(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {4;0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT nên \(\left( \alpha \right)\) có phương trình tổng quát là:
\(a\left( {x - 4} \right) + b\left( {y - 0} \right) + c\left( {z - 0} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow ax + by + cz - 4a = 0\)
Suy ra khoảng cách từ O đến \(\left( \alpha \right)\) là:
\(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a.0 + b.0 + c.0 - 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\dfrac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\dfrac{1}{2} = 2\)
