Hàm số mũ

Hàm số mũ \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến khi \(a > 1\).

Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

Ta có:

Hàm số $y=a^{-x}$ nghịch biến khi $a>1$ nên các đáp án B, D đều sai.

\(y = {a^{ - x}} = \dfrac{1}{{{a^x}}} = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) nên hàm số đồng biến nếu \(\dfrac{1}{a} > 1 \Leftrightarrow 0 < a < 1\).

Ta có: \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^x}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{2^x}}}}} = {2^x}\) nên hai hàm số \(y = {2^x}\) và \(y = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{ - x}}\) là một. Do đó chúng có chung đồ thị.

Dáng đồ thị là của hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\) nên loại A và C.

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;3} \right)\) nên chỉ có D thỏa mãn.

Quan sát đồ thị ta thấy nó nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên loại A và B.

Lại có, đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1; - 2} \right)\) nên thay tọa độ điểm này vào các hàm số C và D ta được đáp án C.

Ta thấy:

- Hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến nên \(0 < b < 1\).

- Hàm số \(y = {a^x},y = {c^x}\) đồng biến nên \(a,c > 1 > b\), loại B và D.

- Xét phần đồ thị hai hàm số \(y = {a^x},y = {c^x}\) ta thấy phần đồ thị hàm số \(y = {c^x}\) nằm trên đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) nên \({c^x} > {a^x},\forall x > 0 \Leftrightarrow c > a\).

Ta thấy: Đồ thị hàm số \(y = {b^x}\) đi xuống nên hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến nên \(0 < b < 1\).

Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) đi lên nên hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến nên \(a > 1\).

Vậy \(0 < b < 1 < a\).

Hàm số xác định $ \Leftrightarrow 1 - {3^{{x^2} - 5x + 6}} \ge 0 \Leftrightarrow {3^{{x^2} - 5x + 6}} \le 1$

$ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 6 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D=[2;3]$.

Đạo hàm $f'\left( x \right) = \left( {{x^\pi }} \right)'.{\pi ^x} + {x^\pi }.\left( {{\pi ^x}} \right)' = \pi .{x^{\pi  - 1}}.{\pi ^x} + {x^\pi }.{\pi ^x}.\ln \pi $

Suy ra \(f'\left( 1 \right) = {\pi ^2} + \pi \ln \pi \).

Tập xác định của hàm số \(y = {2^x}\) là \(\mathbb{R}.\)

Có $y = {2^{\ln x + {x^2}}} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$

Ta có: \(y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow y' = {3^x}\ln 3\)

Lại có: \(y = {3^x} + \ln 3 \Rightarrow {3^x} = y - \ln 3 \Rightarrow y' = \left( {y - \ln 3} \right)\ln 3 = y\ln 3 - {\ln ^2}3\) 

Ta có: \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^{3x}} - {e^{2x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {{e^{3x}} - 1} \right) - \left( {{e^{2x}} - 1} \right)}}{x} \)

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {3.\dfrac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} - 2.\dfrac{{{e^{2x}} - 1}}{{2x}}} \right] = 3.1 - 2.1 = 1$

Do đó, thay \(I = 1\) vào các đáp án ta được đáp án B.

$\begin{array}{l}f\left( x \right) < 1 \Leftrightarrow {2^x}{.7^{{x^2}}} < 1 \Leftrightarrow {7^{{x^2}}} < {2^{ - x}} \Leftrightarrow {x^2}.\ln 7 <  - x.\ln 2 \Leftrightarrow x\ln 2 + {x^2}\ln 7 < 0\\ \Leftrightarrow x + {x^2}{\log _2}7 < 0\\ \Leftrightarrow x{\log _7}2 + {x^2} < 0\end{array}$

Đối chiếu các đáp án thấy câu D sai.

Ta có: \(C\left( {0;2} \right)\)

\(\begin{array}{l}{a^x} = 2 \Rightarrow x = {\log _a}2 \Rightarrow A({\log _a}2;2)\\{b^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _b}2 \Rightarrow B({\log _b}2;2)\end{array}\)

Vì C nằm giữa A và B và

\(\begin{array}{l}AC = 2BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  =  - 2\overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {\log _a}2 = 2.{\log _b}2\\0 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{{{{\log }_2}a}} = 2.\dfrac{1}{{{{\log }_2}b}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}b =  - 2{\log _2}a \Leftrightarrow {\log _2}b = {\log _2}{a^{ - 2}} \Leftrightarrow b = {a^{ - 2}}\end{array}\)

Ta có:

\(f'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 3} \right){e^{{x^3} - 3x + 3}} = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\x =  - 1 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\)

\(f\left( 0 \right) = {e^3};f\left( 1 \right) = e;f\left( 2 \right) = {e^5}\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = e\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = {e^5}\).

Vậy \(m = {e^5}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - 3{e^{2 - 3x}} < 0,\forall x \in R\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) lên tục và nghịch biến trên \(\left[ {0;2} \right]\).

Do đó \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{{{e^4}}};M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {e^2} \Rightarrow M.m = \dfrac{1}{{{e^2}}}\) 

Hàm số \(y = {\left( {a - 2} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(0 < a - 2 < 1 \Leftrightarrow 2 < a < 3\).

Vậy tập các giá trị của tham số \(a\) để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là \(\left( {2;3} \right)\).

Do \(0 < \dfrac{2}{e} < 1\) nên hàm số y =\({\left( {\dfrac{2}{e}} \right)^x}\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).