Hệ tọa độ trong không gian

Hình chiếu vuông góc của $A(1;-2;4)$ trên trục $Oy$ là điểm $N(0;-2;0)$.

$\overrightarrow u  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\0 = 0\\1 = c\end{array} \right.$

Điểm $M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM}  = x.\overrightarrow i  + y.\overrightarrow j  + z.\overrightarrow k$

Ta có: $\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;2; - 3} \right),\overrightarrow {OB}  = \left( {2; - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \left( {1;1; - 3} \right)$.

$\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow j  - \overrightarrow i  + \overrightarrow k  =  - \overrightarrow i  + 2\overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow M\left( { - 1;2;1} \right)$. Do đó tung độ của $M$ bằng $2$.

Chiếu $M$ lên trục $Oz$ thì $x = 0;y = 0$ và giữ nguyên $z$ nên $N\left( {0;0;z} \right)$.

Vì chiếu điểm $M$ lên trục $Oz$ nên giữ nguyên $z$ và cho $x = y = 0$. Do đó ta được hình chiếu của điểm $M\left( {1; - 1;0} \right)$ lên trục ${\rm{O}}z$ là $N\left( {0;0;0} \right)$

Khi chiếu điểm $M\left( { - 4;3; - 2} \right)$ lên trục ${Ox}$ được điểm $N$ có tọa độ $N(-4;0;0)$  nên $\overline {ON}  =  - 4$.

Ta có: $m = \overrightarrow u .\overrightarrow v  =  - 2.1 + 3.1 + 1.1 = 2 \Rightarrow m \in \left( {1;3} \right)$.

Điểm $M \in \left( {Oxy} \right)$ thì cao độ $z = 0$. Do đó $M\left( {x;y;0} \right)$.

Ta có: $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow u }^2}}  = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}$

Hình chiếu của điểm $M\left( {2;2; - 1} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ là $N\left( {0;2; - 1} \right)$.

$\vec n = 3\left( {2;3; - 5} \right) + 2\left( {0; - 3;4} \right) - \left( {1; - 2;3} \right) = \left( {5;5; - 10} \right)$

Hình chiếu của $M\left( {0;2;1} \right)$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là $N\left( {0;2;0} \right)$.

Do đó $N$ nằm trên trục $Oy$.

Điểm $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nếu và chỉ nếu $M\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = 2.0 + 1.b + \left( { - 3} \right).1 = 0 \Leftrightarrow b = 3$.

Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$ là: $\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$

Điểm $M$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{ - 3 + 1}}{2} =  - 1\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 1}}{2} = 1\\{z_M} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 0}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1;1} \right)$

Công thức tọa độ trọng tâm tam giác $G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$

Ta có:

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{ - 1.2 - 1.1 - 1.0}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} }}$ 

$=  - \dfrac{3}{{\sqrt {15} }} =  - \dfrac{{3\sqrt {15} }}{{15}} =  - \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}$