Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm $A(1; - 2;4)$. Hình chiếu vuông góc của $A$ trên trục $Oy $ là điểm
Hình chiếu vuông góc của \(A(1;-2;4)\) trên trục $Oy$ là điểm \(N(0;-2;0)\).
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;0;1} \right),\overrightarrow v = \left( { - 2;0;c} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), khi đó:
\(\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\0 = 0\\1 = c\end{array} \right.\)
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) nếu và chỉ nếu:
Điểm \(M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;2; - 3} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {2; - 1;0} \right)\), khi đó tổng hai véc tơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) là:
Ta có: \(\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;2; - 3} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {2; - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \left( {1;1; - 3} \right)\).
Tung độ của điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k \) là:
\(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + \overrightarrow k = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k \Rightarrow M\left( { - 1;2;1} \right)\). Do đó tung độ của \(M\) bằng \(2\).
Điểm \(N\) là hình chiếu của \(M\left( {x;y;z} \right)\) trên trục tọa độ \(Oz\) thì:
Chiếu \(M\) lên trục \(Oz\) thì \(x = 0;y = 0\) và giữ nguyên \(z\) nên \(N\left( {0;0;z} \right)\).
Hình chiếu của điểm \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) lên trục ${\rm{O}}z$ là:
Vì chiếu điểm \(M\) lên trục \(Oz\) nên giữ nguyên \(z\) và cho \(x = y = 0\). Do đó ta được hình chiếu của điểm \(M\left( {1; - 1;0} \right)\) lên trục ${\rm{O}}z$ là \(N\left( {0;0;0} \right)\)
Khi chiếu điểm \(M\left( { - 4;3; - 2} \right)\) lên trục ${\rm{Ox}}$ được điểm \(N\) thì:
Khi chiếu điểm \(M\left( { - 4;3; - 2} \right)\) lên trục ${Ox}$ được điểm \(N\) có tọa độ \(N(-4;0;0)\) nên $\overline {ON} = - 4$.
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;3;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {1;1;1} \right)\). Khi đó số thực \(m = \overrightarrow u .\overrightarrow v \) thỏa mãn:
Ta có: \(m = \overrightarrow u .\overrightarrow v = - 2.1 + 3.1 + 1.1 = 2 \Rightarrow m \in \left( {1;3} \right)\).
Điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) thì tọa độ của \(M\) là:
Điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) thì cao độ \(z = 0\). Do đó \(M\left( {x;y;0} \right)\).
Công thức tính độ dài véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\) là:
Ta có: \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\overrightarrow u }^2}} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là:
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(N\left( {0;2; - 1} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vector $\vec a = \left( {2;3; - 5} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b = \left( {0; - 3;4} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c = \left( {1; - 2;3} \right)$. Tọa độ vector $\vec n = 3\vec a + 2\vec b - \vec c$ là:
$\vec n = 3\left( {2;3; - 5} \right) + 2\left( {0; - 3;4} \right) - \left( {1; - 2;3} \right) = \left( {5;5; - 10} \right)$
Hình chiếu của điểm \(M\left( {0;2;1} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) thuộc:
Hình chiếu của \(M\left( {0;2;1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) là \(N\left( {0;2;0} \right)\).
Do đó \(N\) nằm trên trục \(Oy\).
Tọa độ điểm \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) là:
Điểm \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nếu và chỉ nếu \(M\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)\).
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {2;1; - 3} \right),\overrightarrow v = \left( {0;b;1} \right)\), nếu \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \) thì:
Ta có: \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 2.0 + 1.b + \left( { - 3} \right).1 = 0 \Leftrightarrow b = 3\).
Cho các véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và $\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right),$ khi đó cô sin góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là:
Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là: \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\)
Cho hai điểm \(A\left( { - 3;1;2} \right),B\left( {1;1;0} \right)\), tọa độ trung điểm đoạn thẳng \(AB\) là:
Điểm \(M\) là trung điểm đoạn thẳng \(AB\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \dfrac{{ - 3 + 1}}{2} = - 1\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \dfrac{{1 + 1}}{2} = 1\\{z_M} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \dfrac{{2 + 0}}{2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;1;1} \right)\)
Tọa độ trọng tâm tam giác \(ABC\) là:
Công thức tọa độ trọng tâm tam giác \(G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\overrightarrow v = \left( {2;1;0} \right)\), khi đó cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ đó là:
Ta có:
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{ - 1.2 - 1.1 - 1.0}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} }} \)
$= - \dfrac{3}{{\sqrt {15} }} = - \dfrac{{3\sqrt {15} }}{{15}} = - \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}$
