Hệ tọa độ trong không gian

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{2 - 1 + 1}}{3} = \dfrac{2}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 0 + 2}}{3} = 1\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \dfrac{{0 + 3 + 3}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\dfrac{2}{3};1;2} \right)$

Điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nếu:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 3{x_G} - {x_A} - {x_B} = 3.4 - 0 - \left( { - 1} \right) = 13\\{y_C} = 3{y_G} - {y_A} - {y_B} = 3.\left( { - 1} \right) - 2 - 3 =  - 8\\{z_C} = 3{z_G} - {z_A} - {z_B} = 3.3 - \left( { - 1} \right) - 2 = 8\end{array} \right.$

$\Rightarrow C\left( {13; - 8;8} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;0;4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 2$

Tọa độ trọng tâm tứ diện $ABCD$ là $G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}} \right)$

Điểm $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$ nếu tọa độ điểm $G$ thỏa mãn:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4} = \dfrac{{1 + 0 - 1 + 0}}{4} = 0\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 1 + 2 + 0}}{4} = \dfrac{3}{4}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4} = \dfrac{{0 + 1 + 0 + 3}}{4} = 1\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {0;\dfrac{3}{4};1} \right)$

Ta có: $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {4 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt 9  = 3$

Do đó độ dài đoạn thẳng là một số nguyên dương.

Góc giữa $\overrightarrow u ;\overrightarrow v$ bằng ${45^0}$ khi $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) =\cos 45^0$

Mà $\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow v } \right) = \dfrac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos {45^0} = \dfrac{{1.1 + 1.0 - 2.m}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {m^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{1 - 2m}}{{\sqrt 6 .\sqrt {1 + {m^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt {6\left( {1 + {m^2}} \right)}  = \sqrt 2 \left( {1 - 2m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6\left( {1 + {m^2}} \right) = 2{\left( {1 - 2m} \right)^2}\\1 - 2m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 6{m^2} = 2\left( {1 - 4m + 4{m^2}} \right)\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 + 6{m^2} = 2 - 8m + 8{m^2}\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 8m - 4 = 0\\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2 \pm \sqrt 6 \\m \le \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2 - \sqrt 6 \end{array}$

Bước 1: 

Gọi $I(a;b;c)$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$

Khi đó $B C \cdot \overrightarrow{I A}+C A \cdot \overrightarrow{I B}+A B \cdot \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0}$

Bước 2: Thay tọa độ I vào công thức, tìm a, b, c.

Áp dụng, với $I(a ; b ; c)A B=3 ; B C=5 ; A C=4$, ta có:

$5 \overrightarrow{I A}+4 \overrightarrow{I B}+3 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow 12 \overrightarrow{I A}=4 \overrightarrow{B A}+3 \overrightarrow{C A}$

$\Leftrightarrow 12 \overrightarrow{I A}=(-12 ; 0 ;-12) \Leftrightarrow \overrightarrow{I A}=(-1 ; 0 ;-1)$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-a=-1 \\ 1-b=0 \\ 1-c=-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=1 \\ c=2\end{array} \Leftrightarrow I(2 ; 1 ; 2)\right.\right.$

Ta có AD // B’C’, AD = B’C’ nên AB’C’D là hình bình hành, do đó AB’ // DC’ và AB’ = DC’.

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {DC'} \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 0 = 1 - {x_D}\\0 - 0 = 1 - {y_D}\\0 - 1 = 0 - {z_D}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 0\\{y_D} = 1\\{z_D} = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $D\left( {0;1;1} \right)$.

Bước 1: Tính độ dài cạnh AB, BC, CA.

Ta có:

$\begin{array}{l}AB = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \\BC = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}}  = 1\\CA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 3 \end{array}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác vuông tại B.

Bước 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có $R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$