Nếu \(t = u\left( x \right)\) thì:
Nếu \(t = u\left( x \right)\)thì \(dt = u'\left( x \right)dx\).
Biết $\int {f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x = 2x\ln \left( {3x - 1} \right) + C} $ với $x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)$. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
Đặt $t = 3x \Rightarrow dt = 3dx \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{3}$, khi đó:
$\begin{array}{*{20}{l}}{\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} {\rm{\;}} = \dfrac{1}{3}\int {f\left( t \right)dt} {\rm{\;}} = \dfrac{1}{3}\left( {2t\ln \left( {3t - 1} \right)} \right) + C}\\{ = \dfrac{1}{3}\left( {2.3x.\ln \left( {3.3x - 1} \right)} \right) + C = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C}\end{array}$
Vậy $\int {f\left( {3x} \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} {\rm{\;}} = 2x\ln \left( {9x - 1} \right) + C$
Nếu \(t = {x^2}\) thì:
Ta có: \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2} \)
$\Rightarrow xf\left( {{x^2}} \right)dx = f\left( {{x^2}} \right).xdx = f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{2} = \dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt$
Cho \(f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \). Nếu đặt \(\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\) thì:
Ta có: \(\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t \)
$\Rightarrow {t^2} = 1 - {\cos ^2}x \Rightarrow 2tdt = 2\cos x\sin xdx = \sin 2xdx \Rightarrow \sin 2xdx = 2tdt$
Suy ra \(f\left( x \right)dx = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} dx = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} .\sin 2xdx = t.2tdt = 2{t^2}dt\)
Tính \(I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} \)
\(I = \int {3{x^5}\sqrt {{x^3} + 1} dx} = \int {3{x^2}.{x^3}} \sqrt {{x^3} + 1} dx\)
Đặt \(\sqrt {{x^3} + 1} = t \Rightarrow {x^3} + 1 = {t^2} \Rightarrow 3{x^2}dx = 2tdt\)
\( \Rightarrow I = \int {\left( {{t^2} - 1} \right).t.2tdt = 2\int {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt = \dfrac{2}{5}{t^5} - \dfrac{2}{3}{t^3} + C} } \)
$= \dfrac{2}{5}{\left( {{x^3} + 1} \right)^2}\sqrt {{x^3} + 1} - \dfrac{2}{3}\left( {{x^3} + 1} \right)\sqrt {{x^3} + 1} + C$
Cho \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx} \) , biết\(F\left( e \right) = 3\) , tìm \(F\left( x \right) = ?\)
\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 - \ln x} }}dx} \)
Đặt \(\sqrt {1 - \ln x} = t \Rightarrow 1 - \ln x = {t^2} \Rightarrow \ln x = 1 - {t^2} \Rightarrow \dfrac{1}{x}dx = - 2tdt\)
\( \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\dfrac{{1 - {t^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) = - 2\int {\left( {1 - {t^2}} \right)} } dt \)
$= - 2t + \dfrac{2}{3}{t^3} + C = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + C$
\(\begin{array}{l}F\left( e \right) = - 2\sqrt {1 - 1} +\dfrac{2}{3}\left( {1 - 1} \right)\sqrt {1 - 1} + C = 3 \Rightarrow C = 3\\ \Rightarrow F\left( x \right) = - 2\sqrt {1 - \ln x} + \dfrac{2}{3}\left( {1 - \ln x} \right)\sqrt {1 - \ln x} + 3\end{array}\)
Tính \(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}dx} \) với $t = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} $. Tính $I$ theo $t$?
\(I = \int {\dfrac{{{{\cos }^3}x}}{{1 + \sin x}}dx} = \int {\dfrac{{{{\cos }^2}x.\cos xdx}}{{1 + \sin x}} = \int {\dfrac{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos xdx}}{{1 + \sin x}}} } \)
Đặt \(\sin x = t \Rightarrow \cos xdx = dt\)\(I = \int {\dfrac{{\left( {1 - {t^2}} \right)dt}}{{1 + t}} = \int {\left( {1 - t} \right)dt = t - \dfrac{1}{2}{t^2} + C} } \)
Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\) và \(\int {f\left( x \right)dx = - 2\int {{{\left( {{t^2} - m} \right)}^2}dt} } \) với \(t = \sqrt {1 - x} \) , giá trị của $m$ bằng ?
\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\) và \(t = \sqrt {1 - x} \Rightarrow 1 - x = {t^2} \Rightarrow x = 1 - {t^2} \Rightarrow dx = - 2tdt\)
\( \Rightarrow \int {f\left( x \right)} dx = \int {\dfrac{{{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) = - 2\int {{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}dt} = - 2\int {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}dt} } \)
$\Rightarrow m = 1$
Cho\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \) và \(F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản , $a > 0$. Tổng \(a + b\) bằng ?
\(F\left( x \right) = \int {\dfrac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx} \)
Đặt \(\sqrt {1 + x} = t \Rightarrow 1 + x = {t^2} \Rightarrow x = {t^2} - 1 \Rightarrow dx = 2tdt\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \int {\dfrac{{{t^2} - 1}}{{1 + t}}.2tdt = 2\int {t\left( {t - 1} \right)dt = 2\int {\left( {{t^2} - t} \right)} } } dt \\ = \dfrac{2}{3}{t^3} - {t^2} + C = \dfrac{2}{3}\left( {1 + x} \right)\sqrt {1 + x} - \left( {1 + x} \right) + C\\ \Rightarrow F\left( 3 \right) - F\left( 0 \right) = \dfrac{2}{3}\left( {1 + 3} \right)\sqrt {1 + 3} - \left( {1 + 3} \right) - \dfrac{2}{3}\left( {1 + 0} \right)\sqrt {1 + 0} + \left( {1 + 0} \right) = \dfrac{5}{3}\\ \Rightarrow a = 5,b = 3 \Rightarrow a + b = 8\end{array}\)
Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) . Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:
\(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \)
Đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \Rightarrow {u^2} = 3\tan x + 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}}dx = 2udu \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{2udu}}{3}\)\(I = \int {\dfrac{{2\left( {{u^2} - 1} \right)}}{{3u}}2udu = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)} } du\)
Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}} dx = a\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C\) với \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \) , giá trị $a$ bằng?
\(I = \int {\dfrac{{{e^{2x}}}}{{\left( {{e^x} + 1} \right)\sqrt {{e^x} + 1} }}} dx = a\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C\)
Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1} \Rightarrow {e^x} + 1 = {t^2}\) \( \Rightarrow {e^x} = {t^2} - 1 \Rightarrow {e^x}dx = 2tdt\)
\(I = \int {\dfrac{{{t^2} - 1}}{{{t^2}.t}}2tdt }= 2\int {\left( {1 - \dfrac{1}{{{t^2}}}} \right)dt} \) \(= 2\left( {t + \dfrac{1}{t}} \right) + C \Rightarrow a = 2\)
Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì:
Nếu \(x = u\left( t \right)\) thì \(dx = u'\left( t \right)dt\).
Nguyên hàm của hàm số \(y = \cot x\) là:
\(\int {\cot xdx = \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} } \)
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\int {\cot xdx = \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}dx} } = \int {\dfrac{{dt}}{t}} = \ln \left| t \right| + C\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \ln \left| {\sin x} \right| + C\end{array}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \sin x\cos 2x\).
\(\int {\sin x.\cos 2xdx} = \int {\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\sin xdx} = - \int {\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)d\left( {\cos x} \right)} = \dfrac{{ - 2{{\cos }^3}x}}{3} + \cos x + C\)
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = \dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\) thoả mãn \(F\left( 2 \right) = 0\). Khi đó phương trình \(F\left( x \right) = x\) có nghiệm là
Đặt \(t = \sqrt {8 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 8 - {x^2} \Rightarrow - tdt = xdx\)
\(\int {\dfrac{x}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}dx = - \int {\dfrac{{tdt}}{t} = - t + C = - \sqrt {8 - {x^2}} + C} } \)
Vì \(F\left( 2 \right) = 0\) nên \(C = 2\)
Ta có phương trình $ - \sqrt {8 - {x^2}} + 2 = x \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt 3 $
Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} ,$ nếu đặt $x = 2\sin t - 1,$ với $0\le t \le \dfrac{\pi }{2}$ thì $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} $ bằng:
Ta có $f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x - {x^2}} = \sqrt {4 - \left( {1 + 2x + {x^2}} \right)} = \sqrt {4 - {{\left( {x + 1} \right)}^2}} .$
Đặt $x + 1 = 2\sin t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = 2\cos t\,{\rm{d}}t$ và $4 - {\left( {x + 1} \right)^2} = 4 - 4{\sin ^2}t = 4{\cos ^2}t$
Do $0\le t \le \dfrac{\pi }{2}$ nên $\cos t \ge 0$.
Khi đó $\int {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = \int {\sqrt {4{{\cos }^2}t} .2\cos t\,\,{\rm{d}}t} = 4\int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = 2\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} $.
Biết \(\int {f\left( u \right)du} = F\left( u \right) + C\). Tìm khẳng định đúng
Đặt \(u = 5x + 2 \Rightarrow du = 5dx\).
$ \Rightarrow \int {f(5x + 2)dx} = \int {f\left( u \right).\dfrac{1}{5}du} = \dfrac{1}{5}\int {f\left( u \right)du} $
$= \dfrac{1}{5}F\left( u \right) + C = \dfrac{1}{5}F\left( {5x + 2} \right) + C$
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{x}{{\sqrt {3{x^2} + 2} }}\).
\(\int {\dfrac{x}{{\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} }}d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{6}\int {\dfrac{{d\left( {3{{\rm{x}}^2} + 2} \right)}}{{\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} }}} \) \(= \dfrac{1}{3}\int {\dfrac{{d\left( {3{{\rm{x}}^2} + 2} \right)}}{{2\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} }}} = \dfrac{1}{3}\sqrt {3{{\rm{x}}^2} + 2} + C\)
Cho nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x} .$ Nếu đổi biến số $x = \dfrac{1}{{\sin t}}$ với $t \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ thì
Đặt $x = \dfrac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\dfrac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t$
Và $\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1} = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{{1 - {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} = {\sin ^3}t.\dfrac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.$
Khi đó $I = \int {{{\sin }^2}t.\cos t.\left( { - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t} = - \,\int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = - \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} .$
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sin x + 2x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}.$ Biết $F\left( 0 \right) = 1,$ Tính giá trị biểu thức $F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right).$
Ta có $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sin x + x\cos x + x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}} = x + \dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}$
Khi đó $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int {\left( {x + \dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}} \right){\rm{d}}x} = \int {x{\rm{d}}x} + \int {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x.} $
Đặt $t = x\sin x + \cos x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = \left( {x\sin x + \cos x} \right){\rm{'d}}x = \left( {\sin x + x\cos x - \sin x} \right)dx = x\cos x\,{\rm{d}}x.$
Suy ra $\int {\dfrac{{x\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}{\rm{d}}x} = \int {\dfrac{{{\rm{d}}t}}{t}} = \ln \left| t \right| + C = \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.$
Do đó
$\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + C.\\ \Rightarrow F\left( 0 \right) = C = 1 \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x\sin x + \cos x} \right| + 1.\\ \Rightarrow F\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{{{\pi ^2}}}{8} + \ln \dfrac{\pi }{2} + 1.\end{array}$
