Câu hỏi:
2 năm trước
Cho nguyên hàm $I = \int {\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}}\,{\rm{d}}x} .$ Nếu đổi biến số $x = \dfrac{1}{{\sin t}}$ với $t \in \left[ {\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ thì
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Đặt $x = \dfrac{1}{{\sin t}} \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {\left( {\dfrac{1}{{\sin t}}} \right)^\prime }{\rm{d}}t \Leftrightarrow {\rm{d}}x = - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}{\rm{d}}t$
Và $\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{{x^3}}} = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}t}} - 1} = {\sin ^3}t.\sqrt {\dfrac{{1 - {{\sin }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} = {\sin ^3}t.\dfrac{{\cos t}}{{\sin t}} = {\sin ^2}t.\cos t.$
Khi đó $I = \int {{{\sin }^2}t.\cos t.\left( { - \dfrac{{\cos t}}{{{{\sin }^2}t}}} \right){\rm{d}}t} = - \,\int {{{\cos }^2}t\,{\rm{d}}t} = - \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 + \cos 2t} \right){\rm{d}}t} .$
Hướng dẫn giải:
- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right) = \dfrac{1}{{\sin t}}\).
- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {g\left( t \right)dt} = G\left( t \right) + C\)
