Bài toán đếm

Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Công việc \(A\) có \(k\) phương án \({A_1},...,{A_k}\) để thực hiện. Biết có \({n_1}\) cách thực hiện \({A_1}\),…,\({n_k}\) cách thực hiện \({A_k}\). Số cách thực hiện công việc \(A\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách thực hiện công việc là \({n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\) cách.

Câu 2 Trắc nghiệm

Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Số các hoán vị khác nhau của \(n\) phần tử là \({P_n} = n!\)

Câu 3 Trắc nghiệm

Cho đa giác đều \(n\) đỉnh, \(n \in \mathbb{N}\) và \(n \ge 3\). Tìm \(n\) biết rằng đa giác đã cho có \(135\) đường chéo

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

+ Số đoạn thẳng tạo bởi \(n\) đỉnh là \(C_n^2\), trong đó có \(n\) cạnh, suy ra số đường chéo là \(C_n^2 - n\).

+ Đa giác đã cho có \(135\) đường chéo nên \(C_n^2 - n = 135\).

+ Giải PT :\(\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} - n = 135\,\,,\,\,\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)n - 2n = 270\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 270 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\,\left( TM \right)\\n =  - 15\,\left( L \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow n = 18\).

Câu 4 Trắc nghiệm

Trong một lớp có $17$ bạn nam và $11$  bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một bạn làm lớp trưởng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Có \(2\) phương án chọn lớp trưởng là nam hoặc nữ.

- Có \(17\) cách chọn lớp trưởng là nam.

- Có \(11\) cách chọn lớp trưởng là nữ.

Vậy có tất cả \(17 + 11 = 28\) cách chọn lớp trưởng.

Câu 5 Trắc nghiệm

Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

$A_n^k = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}} = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$

Câu 6 Trắc nghiệm

Một đội văn nghệ đã chuẩn bị \(3\) bài múa, \(4\) bài hát và \(2\) vở kịch. Thầy giáo yêu cầu đội chọn biểu diễn một vở kịch hoặc một bài hát. Số cách chọn bài biểu diễn của đội là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Có \(2\) phương án chọn bài biểu diễn là bài hát hoặc vở kịch.

- Có \(4\) cách chọn bài hát.

- Có \(2\) cách chọn vở kịch.

Vậy có tất cả \(2 + 4 = 6\) cách chọn bài biểu diễn.

Câu 7 Trắc nghiệm

Công việc \(A\) có \(k\) công đoạn \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) với số cách thực hiện lần lượt là \({n_1},{n_2},...,{n_k}\). Khi đó số cách thực hiện công việc \(A\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Số cách thực hiện công việc \(A\) là: \({n_1}.{n_2}.....{n_k}\) cách.

Câu 8 Trắc nghiệm

Muốn đi từ $A$ đến $B$ thì bắt buộc phải đi qua $C.$ Có \(3\) con đường đi từ $A$ tới $C$ và \(2\) con đường từ $C$ đến $B.$ Số con đường đi từ $A$ đến $B$ là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Có \(2\) công đoạn đi từ \(A\) đến \(B\) là: đi từ \(A\) đến \(C\) và đi từ \(C\) đến \(B\).

- Có \(3\) con đường từ \(A\) đến \(C\).

- Có \(2\) con đường từ \(C\) đến \(B\).

Vậy có \(3.2 = 6\) con đường đi từ \(A\) đến \(B\).

Câu 9 Trắc nghiệm

Số các số có \(4\) chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số \(2,4,6,7,8,9\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Mỗi số thỏa mãn bài toán và một chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) phần tử.

Số các số là: \(A_6^4 = 360\) số.

Câu 10 Trắc nghiệm

Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Số tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là \(C_n^k\).

Câu 11 Trắc nghiệm

Có bao nhiêu số có \(3\) chữ số được lập thành từ các chữ số \(3,2,1\)?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Gọi số thỏa mãn bài toán là \(\overline {abc} \).

- Có \(3\) cách chọn chữ số \(a\).

- Có \(3\) cách chọn chữ số \(b\).

- Có \(3\) cách chọn chữ số \(c\).

Vậy có \(3.3.3 = 27\) số tạo thành từ các chữ số \(3,2,1\).

Câu 12 Trắc nghiệm

Từ các chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau và là số chẵn?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số cần tìm là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c \ne d} \right)\), \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\}\)

Vì  \(\overline {abcd} \) là số chẵn nên \(d \in \left\{ {2;4;6} \right\} \)

\(\Rightarrow \) Có $3$ cách chọn $d.$

Vì $a \ne d$ nên có $6$ cách chọn $a$

$b\ne a, d$ nên có $5$ cách chọn $b$

$c \ne a, b, d$ nên có $4$ cách chọn $c$

Áp dụng quy tắc nhân ta có số các số thỏa mãn là: $3.6.5.4 = 360$ (số)

Câu 13 Trắc nghiệm

Một đội văn nghệ chuẩn bị được $2$ vở kịch, $3$ điệu múa và $6$  bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình bày \(1\)  vở kịch, $1$ điệu múa và \(1\)  bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, các điệu múa, các bài hát là như nhau?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Chọn $1$  vở kịch có $2$  cách

Chọn $1$ điệu múa có $3$  cách.

Chọn $1$ bài hát có $6$ cách.

Vậy theo quy tắc nhân ta có: \(2.3.6 = 36\) cách

Câu 14 Trắc nghiệm

Một lớp có \(40\) học sinh. Số cách chọn ra \(5\) bạn để làm trực nhật là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Mỗi cách chọn ra \(5\) bạn là một tổ hợp chập \(5\) của \(40\).

Do đó số cách chọn là \(C_{40}^5\).

Câu 15 Trắc nghiệm

Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Mỗi cách lấy ra \(k\) trong số \(n\) phần tử được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.

Câu 16 Trắc nghiệm

Có bao nhiêu cách sắp xếp $8$  viên bi đỏ khác nhau và $8$  viên bi đen khác nhau thành một dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở cạnh nhau?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Do hai viên bi cùng màu không được đứng cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:

Trường hợp 1: Các viên bi đỏ ở vị trí lẻ.

Có $8$  cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 1.

Có $7$ cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 3.

...

Có $1$  cách chọn viên bi đỏ ở vị trí 15.

Suy ra có $8.7.6.5.4.3.2.1$  cách xếp viên bi đỏ.

Tương tự có $8.7.6.5.4.3.2.1$  cách xếp viên bi đen.

Vậy có \({\left( {8.7.6.5.4.3.2.1} \right)^2}\) cách xếp.

Trường hợp 2: Các viên bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: $2.{\left( {8.7.6.5.4.3.2.1} \right)^2} = 3251404800$

Câu 17 Trắc nghiệm

Biển đăng kí xe ô tô có $6$  chữ số và hai chữ cái trog $26$  chữ cái (không dùng các chữ $I$ và $O$ ). Chữ số đầu tiên khác $0$. Hỏi số ô tô được đăng kí nhiều nhất có thể là bao nhiêu?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Theo quy tắc nhân ta thực hiện từng bước.

Chữ cái đầu tiên có $24$  cách chọn.

Chữ cái tiếp theo cũng có $24$  cách chọn.

Chữ số đầu tiên có $9$  cách chọn.

Chữ số thứ hai có $10$  cách chọn.

Chữ số thứ ba có $10$  cách chọn.

Chữ số thứ tư có $10$  cách chọn.

Chữ số thứ năm có $10$  cách chọn.

Chữ số thứ sáu có $10$  cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân ta có \({24.24.9.10^5} = {5184.10^5}\) là số ô tô nhiều nhất có thể đăng kí.

Câu 18 Trắc nghiệm

Cho tập $A = \left\{ {1;2;4;6;7;9} \right\}$. Hỏi có thể lập được từ tập $A$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau, trong đó không có mặt chữ số $7$.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Lập số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau sao cho không có mặt chữ số $7$, ta bỏ chữ số $7$ ra khổi tập hợp $A$, khi đó ta được tập hợp $B = \left\{ {1;2;4;6;9} \right\}$ và đưa bài toán trở thành có thể lập được từ tập $B$ bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau.

Số các số có $4$ chữ số khác nhau lập được từ tập $B$ là chỉnh hợp chập $4$ của $5$. Vậy có \(A_5^4 = 120\) số.

Câu 19 Trắc nghiệm

Trên giá sách có $10$ quyển Văn khác nhau, $8$ quyển sách Toán khác nhau và $6$ quyển sách Tiếng Anh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai quyển sách khác môn?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Theo quy tắc nhân ta có:

$10.8 = 80$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Toán khác nhau.

$10.6 = 60$ cách chọn một quyển Văn và một quyển Tiếng Anh khác nhau.

$8.6 = 48$ cách chọn một quyển Toán và một quyển Tiếng Anh khác nhau.

Theo quy tắc cộng ta có số cách chọn hai quyển sách khác môn là: $80 + 60 + 48 = 188$ cách.

Câu 20 Trắc nghiệm

Có bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn $1000$ được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Số nhỏ hơn $1000$ là số có nhiều nhất $3$ chữ số.

TH1: Ta đưa về bài toán: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ năm chữ số $0,1,2,3,4$?

Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0,a \ne b \ne c} \right)\) suy ra có $4$ cách chọn $a$, có $4$ cách chọn $b$, có $3$ cách chọn $c$ .

Vậy có $4.4.3 = 48$  số.

TH2: Số có hai chữ số khác nhau lập từ các số $0,1,2,3,4$

$4.4 = 16$ số.

TH3: Số có $1$  chữ số lập từ các số $0,1,2,3,4$?

$5$ số.

Vậy có có tất cả $69$ số.