Phương pháp quy nạp toán học và dãy số

Ta có ${u_1} =  - \dfrac{1}{2};{u_2} =  - \dfrac{2}{3};{u_3} =  - \dfrac{3}{4};$ ${u_4} =  - \dfrac{4}{5};{u_5} =  - \dfrac{5}{6}.$ 

Ta có ${u_1} =  - 1;\,\,{u_2} = {u_1} + 3 = 2;\,\,{u_3} = {u_2} + 3 = 5.$

Ta có:

${u_1} =  - 2.1 =  - 2;\,\,{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}.2.2 = 4,\,\,{u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}2.3 =  - 6;\,\,{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}2.4 = 8$

Đối với bài toán chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với mọi $n \ge p$ với $p$ là số tự nhiên cho trước thì:

- Bước 1: Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với $n = p$.

- Bước 2: Với $k \ge p$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$, chứng minh $P\left( n \right)$ cũng đúng khi $n = k + 1$.

Từ lý thuyết trên ta thấy cả hai bước trên đều đúng.

${u_n} = \dfrac{{n + 1}}{{2n + 1}} = \dfrac{8}{{15}} \Leftrightarrow 15n + 15 = 16n + 8 \Leftrightarrow n = 7.$

Phương pháp quy nạo toán học:

- Bước 1: Chứng minh $P\left( n \right)$ đúng với $n = 1$.

- Bước 2: Với $k$ là một số nguyên dương tùy ý, giả sử $P\left( n \right)$ đúng với $n = k$, chứng minh $P\left( n \right)$ cũng đúng khi $n = k + 1$.

Do đó ta thấy, ở bước 2, nếu ta giả sử mệnh đề đúng với $n = k + 1$ thì ta cần chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 2$.

Ta có: ${x_{n + 1}} = {\left( {\dfrac{{\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}}} \right)^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} = {\left( {\dfrac{n}{{n + 2}}} \right)^{2n + 5}}$

+ Ta có ${a_{n + 6}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 6} \right)\pi }}{2}$ $+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 6} \right)\pi }}{3}$ $=  - 2017\sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} \ne {a_n}$

+ Ta có ${a_{n + 9}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 9} \right)\pi }}{2}$ $+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 9} \right)\pi }}{3}$ $= 2017\cos \dfrac{{n\pi }}{2} - 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} \ne {a_n}$.

+ Ta có ${a_{n + 12}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 12} \right)\pi }}{2}$ $+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 12} \right)\pi }}{3}$ $= 2017\sin \dfrac{{n\pi }}{2} + 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} = {a_n}$.

+ Ta có ${a_{n + 15}} = 2017\sin \dfrac{{\left( {n + 15} \right)\pi }}{2}$ $+ 2018\cos \dfrac{{\left( {n + 15} \right)\pi }}{3}$ $=   -2017\cos \dfrac{{n\pi }}{2} - 2018\cos \dfrac{{n\pi }}{3} \ne {a_n}$.

${a_n} =  - {n^2} + 4n + 11 =  - {n^2} + 4n - 4 + 15 =  - {\left( {n - 2} \right)^2} + 15 \le 15$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2$

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng $15$.

Ta có: ${u_1} = \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}{u_2} = {u_1} + 2.2 = \dfrac{1}{2} + 4 = \dfrac{1}{2} + 2.2\\{u_3} = {u_2} + 2.3 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3} \right)\\{u_4} = {u_3} + 2.4 = \dfrac{1}{2} + 4 + 6 + 8 = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + 4} \right)\\...\end{array}$

Dự đoán số hạng tổng quát ${u_n} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + n} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \ge 2$

Chứng minh bằng quy nạp:

Dễ thấy $(*)$ đúng với $n = 2.$

Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k \ge 2$ , tức là ${u_k} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right)$, ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + 1} \right)$

Ta có: ${u_{k + 1}} = {u_k} + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k} \right) + 2\left( {k + 1} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + k + k + 1} \right)$

Vậy $(*)$ đúng với mọi $n \ge 2$.

Mặt khác ta có $1 + 2 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$ $\Leftrightarrow 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 1$

Khi đó số hạng ${u_{50}} = \dfrac{1}{2} + 2\left( {2 + 3 + ... + 50} \right) = \dfrac{1}{2} + 2\left( {\dfrac{{50.51}}{2} - 1} \right) = 2548,5$

Với $n = 0$ ta có: $S = 1$

Với $n = 1$ ta có $S = 1 – 2 + 3 = 2$

Với $n = 2$ ta có $S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 = 3$

Dự đoán $S = n + 1 (*)$, ta sẽ chứng minh $(*)$ đúng bằng quy nạp.

Với $n = 0$ đương nhiên $(*)$ đúng.

Giả sử $(*)$ đúng với $n = k$, tức là ${S_k} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + \left( {2k + 1} \right) = k + 1$, ta chứng minh $(*)$ đúng với $n =k+1$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2\left( {k + 1} \right) + \left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\\ = \left( {1 - 2 + 3 - 4 + ... - 2k + 2k + 1} \right) - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = {S_k} - \left( {2k + 2} \right) + \left( {2k + 3} \right) = k + 1 + 1.\end{array}$

Vậy $(*)$ đúng với mọi số tự nhiên $n$, tức là $S = n + 1$.

$\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}$

Dự đoán ${x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N^*$

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Dễ thấy, $(*)$ đúng với $n = 1$.

Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k\ge 1),$ tức là ${x_k} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\,,$ ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1,$ tức là cần chứng minh ${x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}$.

Ta có: ${x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right) + 2k}}{2} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1 + 2} \right)}}{2} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}$

Vậy $(*)$ đúng với mọi $n \in N^*$.

Vậy ${x_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2},\forall n \in N^*$

Với $n = 1$ ta có: ${S_1} = 1.2 = 2$, do đó đáp án A, C sai.

Ta chứng minh ${S_n} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\,\,\left( * \right)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.

Giả sử $(*)$ đúng đến $n = k (k \ge 1)$, tức là ${S_k} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3},$ ta chứng minh $(*)$ đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh ${S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3},$

Ta có: 

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + k\left( {k + 1} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\\ = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k + 3k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 5k + 6} \right)}}{3} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{3}.\end{array}$

Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.

Xét đáp án A: $1;1;1;1;1;1;...$đây là dãy hằng nên không tăng không giảm.

Xét đáp án B: $1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}; - \dfrac{1}{8};\dfrac{1}{{16}};... \to {u_1} > {u_2} < {u_3} \to$loại B.

Xét đáp án C: $1;3;5;7;9;... \to {u_n} < {u_{n + 1}},n \in {\mathbb{N}^*}$

Xét đáp án D: $1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{8};\dfrac{1}{{16}};... \to {u_1} > {u_2} > {u_3} \ldots  > {u_n} > ... \to$loại D.

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của $n$.

Với $n = 1$ thì ${S_1} = 1.1! = 1$ (Loại ngay được các phương án A, C, D).

Ta thấy dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.

Với dãy $\left( {{b_n}} \right)$, ta có ${b_n} = {5^n} + 1,\,\,\forall n \in N^*$, vì ${\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1$. Vì ${b_{n + 1}} = {5^{n + 1}} + 1 = {5.5^n} + 1 > {b_n} \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Với dãy số $\left( {{c_n}} \right)$ ta có ${c_{n + 1}} = \dfrac{1}{{n + 1 + \sqrt {n + 2} }} < \dfrac{1}{{n + \sqrt {n + 1} }} = {c_n} \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)$là dãy số giảm.

Với dãy số $\left( {{d_n}} \right)$ ta có ${d_{n + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}}.$

Xét hiệu ${d_{n + 1}} - {d_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{n^2} + 2n + 2}} - \dfrac{n}{{{n^2} + 1}} = \dfrac{{{n^3} + {n^2} + n + 1 - {n^3} - 2{n^2} - 2n}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \dfrac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\,\,\forall n \in N^*$

Vậy $\left( {{d_n}} \right)$ là dãy giảm.

Đáp án A: sai vì $Q \subset {N^*}$ chứ không phải ${N^*} \subset Q$, nên mọi số nguyên dương không thể thuộc $Q$ hết được.

Đáp án B: đúng vì theo lý thuyết của phương pháp quy nạp toán học.

Đáp án C: sai vì theo giả thiết $b)$ thì phải là số tự nhiên lớn hơn $k$ thuộc $Q$.

Đáp án D: sai vì số nguyên âm không thuộc $Q$.

Ta có ${x_{n + 1}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{\left( {n + 1} \right) + 2}} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}}.$

Xét hiệu

$\begin{array}{l}{x_{n + 1}} - {x_n} = \dfrac{{a\left( {n + 1} \right) + 4}}{{n + 3}} - \dfrac{{an + 4}}{{n + 2}} = \dfrac{{\left( {an + a + 4} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {an + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{a{n^2} + 2an + an + 2a + 4n + 8 - a{n^2} - 3an - 4n - 12}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{2a - 4}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}$

Để $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số tăng khi và chỉ khi ${x_{n + 1}} - {x_n} > 0\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow 2a - 4 > 0 \Leftrightarrow a > 2.$

Xét thương : $\dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}} = \dfrac{{\dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}}}{{\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{{2^n}}}}} = \dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{{2^{n + 1}}}}.\dfrac{{{2^n}}}{{\left( {n + 1} \right)!}} = \dfrac{{n + 2}}{2} = \dfrac{n}{2} + 1 > 1\,\,\forall n \ge 1 \Rightarrow {x_{n + 1}} > {x_n} \Rightarrow \left( {{x_n}} \right)$ là dãy tăng.

Xét hiệu

${y_{n + 1}} - {y_n} =$ $\left( {n + 1} \right) + {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - n - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right)$ $= {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1$

Vì $\left\{ \begin{array}{l} {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) \ge 0\\ - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1 \end{array} \right.$ $\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) \ge - 1$ $\Rightarrow {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 \ge 0\,\,\forall n \ge 1$

Dễ thấy dấu "=" không xảy ra vì không tồn tại n để $\left\{ \begin{array}{l} {\sin ^2}\left( {n + 2} \right) = 0\\ - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) = - 1 \end{array} \right.$

Vậy ${\sin ^2}\left( {n + 2} \right) - {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 > 0\,\,\forall n \ge 1$

$\Rightarrow {y_{n + 1}} > {y_n}$

Do đó $\left( {{y_n}} \right)$ là dãy tăng.

Cách 1:

Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta sẽ chứng minh được ${S_n} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + \dfrac{1}{{3.4}} + ... + \dfrac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} = \dfrac{n}{{n + 1}}\,\,\left( * \right)$

Thật vậy, với $n = 1$ ta có ${S_1} = \dfrac{1}{{1.2}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{{1 + 1}}$

Giả sử (*) đúng đến $n = k(k \ge 1)$, khi đó ta có:

${S_k} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \dfrac{k}{{k + 1}}$, ta chứng minh (*) đúng đến $n = k + 1$, tức là cần chứng minh

${S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k + 1}}{{k + 2}}$

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{k + 1}} = \dfrac{1}{{1.2}} + \dfrac{1}{{2.3}} + ... + \dfrac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \dfrac{k}{{k + 1}} + \dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{{k^2} + 2k + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {k + 2} \right)}}.\end{array}$

Vậy $(*)$ đúng với mọi số nguyên dương $n$.