Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Kỳ thi ĐGTD ĐH Bách Khoa
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Ta có
Đáp án A: $\left. \begin{array}{l}\cot (\pi - \alpha ) = - \cot \alpha \\\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cot (\pi - \alpha ) \ne \cot (\pi + \alpha )$. A sai
Đáp án B: $\left. \begin{array}{l}\cot (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \tan \alpha \\\tan (\pi + \alpha ) = \tan \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cot (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \tan (\pi + \alpha )$. B đúng
Đáp án C: $\left. \begin{array}{l}\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \\\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cot (\pi + \alpha ) \ne \cot ( - \alpha )$ . C sai
Đáp án D: $\left. \begin{array}{l}\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \\\cot (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \tan \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \cot (\pi + \alpha ) \ne \cot (\dfrac{\pi }{2} - \alpha )$. D sai
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Đáp án A: $\left. \begin{array}{l}\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha \\\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \sin (\pi - \alpha ) \ne \sin (\pi + \alpha )$. A sai
Đáp án B: $\left. \begin{array}{l}\sin (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = c{\rm{os}}\alpha \\\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \sin (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) \ne \sin (\pi + \alpha )$. B sai
Đáp án C: $\left. \begin{array}{l}\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha \\\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \sin (\pi + \alpha ) = \sin ( - \alpha )$ . C đúng
Đáp án D: $\left. \begin{array}{l}\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha \\\cos (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \sin \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \sin (\pi + \alpha ) \ne \cos (\dfrac{\pi }{2} - \alpha )$. D sai
Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
Đáp án A: $\left. \begin{array}{l}\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha \\\tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \tan (\pi - \alpha ) \ne \tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha )$. A sai
Đáp án B: $\left. \begin{array}{l}\tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \cot \alpha \\\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) \ne \tan ( - \alpha )$. B sai
Đáp án C: $\left. \begin{array}{l}\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha \\\tan (\dfrac{\pi }{2} + \alpha ) = - \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \tan (\pi - \alpha ) \ne \tan (\dfrac{\pi }{2} + \alpha )$ . C sai
Đáp án D: $\left. \begin{array}{l}\tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \cot \alpha \\\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha \end{array} \right\} \Rightarrow \tan (\dfrac{\pi }{2} - \alpha ) = \cot (\pi + \alpha )$. D đúng
Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
Ta có $\tan (\pi + \alpha ) = \tan (\alpha )$ nên A sai.
Giá trị của biểu thức ${\rm{S}} = {\cos ^2}{12^0} + {\cos ^2}{78^0} + {\cos ^2}{1^0} + {\cos ^2}{89^0}$ bằng:
${\rm{S}} = {\cos ^2}{12^0} + {\cos ^2}{78^0} + {\cos ^2}{1^0} + {\cos ^2}{89^0}$
${\rm{ = (si}}{{\rm{n}}^2}{78^0} + {\cos ^2}{78^0}) + ({\sin ^2}{89^0} + {\cos ^2}{89^0})$
${\rm{ = 1 + 1 = 2}}$
Rút gọn biểu thức ${\rm{S}} = \cos {\rm{(9}}{{\rm{0}}^0} - x)\sin \left( {{{180}^0} - x} \right) $ $- {\rm{\sin (9}}{{\rm{0}}^0} - x)\cos \left( {{{180}^0} - x} \right)$ ta được kết quả:
${\rm{S}} = \cos {\rm{(9}}{{\rm{0}}^0} - x)\sin \left( {{{180}^0} - x} \right)$ $ - {\rm{\sin(9}}{{\rm{0}}^0} - x)\cos \left( {{{180}^0} - x} \right)$
$\begin{array}{l}{\rm{ = sinx}}.\sin {\rm{x}} - \cos {\rm{x}}{\rm{.}}\left( { - \cos x} \right)\\{\rm{ = si}}{{\rm{n}}^2}x + {\cos ^2}x\\{\rm{ }} = 1\end{array}$
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
$\sin {225^0} = \sin ({180^0} + {45^0}) $ $= - \sin {45^0} = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}$
A đúng
${\rm{\cos 22}}{{\rm{5}}^0} = \cos {\rm{(18}}{{\rm{0}}^0} + {45^0}) $ $= - \cos {\rm{4}}{{\rm{5}}^0} = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
B đúng
$\tan {225^0} = \tan ({180^0} + {45^0}) = \tan {45^0} = 1$
C sai
$\cot {225^0} = \cot ({180^0} + {45^0}) = \cot {45^0} = 1$
D đúng
Đơn giản biểu thức \(A = \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin (\alpha - \pi )\) ta được:
\(A = \cos \left( {\alpha - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin (\alpha - \pi )\) \(=\cos \left( { \dfrac{\pi }{2}}-\alpha \right) - \sin (\pi - \alpha ) \) \(= \sin \alpha - \sin \alpha = 0\).
Cho tam giác $ABC$. Hãy chỉ ra hệ thức sai
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \cos \dfrac{{B + C}}{2} = \cos \left( {{{90}^0} - \dfrac{A}{2}} \right) = \sin \dfrac{A}{2}\)
A đúng
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \sin \left( {A + C} \right) = \sin \left( {{{180}^0} - B} \right) = \sin B\)
B sai
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \cos \left( {A + B + 2C} \right) = \cos \left( {{{180}^0} + C} \right) = - \cos C\)
C đúng
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \Rightarrow \cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {{{180}^0} - C} \right) = - \cos C\)
D đúng
Cho tam giác $ABC$ và các mệnh đề
\((I){\rm{ }}\cos \dfrac{{B + C}}{2} = \sin \dfrac{A}{2}\)
\((II){\rm{ }}\tan \dfrac{{A + B}}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1\)
\((III){\rm{ }}\cos (A + B - C) = \cos 2C\)
Mệnh đề nào đúng?
\(\hat A + \hat B + \hat C \) \(= {180^0} \Rightarrow \cos \dfrac{{B + C}}{2} \) \(= \cos \left( {{{90}^0} - \dfrac{A}{2}} \right)\) \( = \sin \dfrac{A}{2}\)
(I) đúng
\((II){\rm{ }}\tan \dfrac{{A + B}}{2}.\tan \dfrac{C}{2}\) \( = \tan ({90^0} - \dfrac{C}{2}).\tan \dfrac{C}{2}\) \( = \cot \dfrac{C}{2}.\tan \dfrac{C}{2} = 1\)
(II) đúng
\((III){\rm{ }}\cos (A + B - C) = \cos \left( {{{180}^0} - 2C} \right) = - \cos 2C\)
(III) sai
Kết quả thu gọn của biểu thức
\(A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) \)\(+ \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right)\) là
\(\begin{array}{l}A = \sin \left( {\pi + x} \right) + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + \cot \left( {2\pi - x} \right) + \tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right)\\A = - \sin x + \sin x - \cot x + \tan \left( { - \dfrac{\pi }{2} + x} \right)\\A = - \cot x - \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\A = - \cot x - \cot x\\A = - 2\cot x.\end{array}\)
Ta có: \(\cos \left( {3\pi + \alpha } \right) = \cos \left( {\pi + \alpha } \right) = - \cos \alpha = - \dfrac{1}{3}\)
Ta có \(\Delta ABC \Rightarrow A + B + C = {180^o}\) (định lý tổng 3 góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \sin \left( {A + B} \right) = \sin \left( {{{180}^0} - A - B} \right) = \sin C\)
Vậy C đúng.