Hàm số liên tục

Quan sát đồ thị ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0$ $\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right)$. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm $x = 1.$

Hàm phân thức $y = \dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}}$ có txđ $D = R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}$ và liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right),\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta chỉ cần xét tính liên tục của $y = f\left( x \right)$ tại các điểm $x = 0;x =  - 1$.

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 3 = f\left( { - 1} \right) \Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x =  - 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^3} + 1}}{{x + 1}} = 1 = f\left( 0 \right) \Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = 0.$

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm $x \in R$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)$ nên ta chỉ xét tính liên tục của $y = f\left( x \right)$ tại các điểm $x = 0,x = 1$.

$\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} \right) = 0\\f\left( 0 \right) = \dfrac{0}{{1 + 0}} = 0\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)$ $\Rightarrow$ hàm số liên tục tại $x = 0.$

$\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^3} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{{1 + x}} = \dfrac{1}{{1 + 1}} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow$Không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$ $\Rightarrow$ hàm số không liên tục tại $x = 1.$

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ $x = 1.$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} \dfrac{{x - 8}}{{\sqrt[3]{x} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ + }} \left( {{{\sqrt[3]{x}}^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4} \right)\\ = {2^2} + 2.2 + 4 = 12\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {8^ - }} \left( {ax + 4} \right) = 8a + 4\\f\left( 8 \right) = 8a + 4\end{array}$

Hàm số liên tục tại $x = 8$ $\Leftrightarrow 12 = 8a + 4 \Leftrightarrow a = 1$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 5x}}{{5x}} = 1;\,\,f\left( 0 \right) = a + 2$

Vậy để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $a + 2 = 1 \Leftrightarrow a =  - 1$ 

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\cos \dfrac{{\pi x}}{2}\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le 1\\\left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\cos \dfrac{{\pi x}}{2}\,\,\,\,khi\,\, - 1 \le x \le 1\\\left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right| = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos \dfrac{{\pi x}}{2} = \cos \dfrac{\pi }{2} = 0\\f\left( 1 \right) = \cos \dfrac{\pi }{2} = 0\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow$ Hàm số liên tục tại $x = 1.$

$\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \cos \dfrac{{\pi x}}{2} = \cos \dfrac{{ - \pi }}{2} = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left| {x - 1} \right| = 2\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow$Hàm số không liên tục tại $x =  - 1$.

TXĐ: D = R. Hàm số $f\left( x \right) = 2{x^4} - 5{x^2} + x + 1$ liên tục trên R.

Ta có: $f\left( { - 1} \right) =  - 3,\,\,f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $\left( { - 1;0} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)$

Ta có $f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)$

$\Rightarrow$  Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong $\left( { - 2;1} \right) \Rightarrow$ Đáp án A sai.

Ta có: $f\left( { - 1} \right) =  - 3,\,\,f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất một nghiệm trong $\left( { - 1;0} \right) \subset \left( { - 2;0} \right) \Rightarrow$Đáp án C sai.

 Ta có $f\left( 0 \right) = 1;f\left( 1 \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow$ Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc $\left( {0;1} \right) \subset \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow$ Đáp án D sai.

Bước 1:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1}  - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1}  + 1}}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a.0 + 1}  + 1}} = \dfrac{a}{2}\\f\left( 0 \right) = 5b\end{array}$

Bước 2:

 Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5b \Leftrightarrow a = 10b$

Ta có hàm số liên tục trên $\left( {2; + \infty } \right)$

Ta có $f\left( 2 \right) = \sqrt {2.2 - 4}  + 3 = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3$

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow$ Hàm số liên tục trên $\left( { - \infty ;2} \right)$ và liên tục tại $x = 2$

$\Leftrightarrow$ Hàm số xác định trên $\left( { - \infty ;2} \right)$ và liên tục tại $x = 2$

$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right){\rm{  (1)}}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right){\rm{  (2)}}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }}  = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{2 + 1}}{{{2^2} - 2m.2 + 3m + 2}} = 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\end{array}$

Thay $m = 5$ vào $(1)$ ta được ${x^2} - 10x + 17 \ne 0\forall x \in \left( { - \infty ;2} \right)$.

Vậy với $m = 5$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le \dfrac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, - \dfrac{\pi }{2} \le x \le \dfrac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{\pi }{2}\\x <  - \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \dfrac{\pi }{2}} \right) \cup \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{\pi }{2}; + \infty } \right)$

Để hàm số liên tục trên $R$ thì hàm số phải liên tục tại các điểm $x =  \pm \dfrac{\pi }{2}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \frac{\pi }{2}} f\left( x \right) = f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)\end{array} \right.$

Ta có

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = a.\dfrac{\pi }{2} + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \left( {\sin x} \right) = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1\\f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{2} = 1\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow a.\dfrac{\pi }{2} + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \left( {\sin x} \right) =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) =  - a.\dfrac{\pi }{2} + b\\f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = \sin \dfrac{{ - \pi }}{2} =  - 1\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow  - a.\frac{\pi }{2} + b =  - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a.\dfrac{\pi }{2} + b = 1\\ - a.\dfrac{\pi }{2} + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right.$ 

Ta có $f\left( x \right) = 5 \Leftrightarrow f\left( x \right) - 5 = 0$. Đặt $g\left( x \right) = f\left( x \right) - 5.$ Khi đó

$\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - 5 = 2 - 5 =  - 3\\g\left( 4 \right) = f\left( 4 \right) - 5 = 7 - 5 = 2\end{array} \right. \Rightarrow g\left( { - 1} \right)g\left( 4 \right) < 0.$

Vậy phương trình $g\left( x \right) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;4} \right)$ hay phương trình $f\left( x \right) = 5$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $\left( {1;4} \right)$.

$f\left( 3 \right) = 27 - 3\left( {2b + 1} \right)$

Đặt $g\left( x \right) = \sqrt {x + 6}  - a$.

Ta có $g\left( 3 \right) = 3 - a$

Nếu $a = 3$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\sqrt {x + 6}  - 3}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

Để hàm số liên tục tại $x = 3$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow 27 - 3\left( {2b + 1} \right) = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow b = \dfrac{{35}}{9}$

Nếu $a \ne 3 \Leftrightarrow g\left( 3 \right) \ne 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{g\left( x \right)}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \infty  \Rightarrow$Hàm số không thể liên tục tại $x = 3.$

Vậy $a = 3,b = \dfrac{{35}}{9}$ 

Hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x - 1$ là hàm đa thức có tập xác định là $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng $\left( { - 2; - 1} \right),{\rm{ }}\left( { - 1;0} \right),{\rm{ }}\left( {0;2} \right).$

Ta có

$\bullet$ $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) =  - 3\\f\left( { - 1} \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right)f\left( { - 1} \right) < 0$ $\Rightarrow \left( 1 \right)$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( { - 2; - 1} \right).$

$\bullet$  $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 1\\f\left( 0 \right) =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right)f\left( 0 \right) < 0$ $\Rightarrow \left( 1 \right)$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( { - 1;0} \right).$

$\bullet$ $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 1\\f\left( 0 \right) =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right)f\left( 0 \right) < 0$ $\Rightarrow \left( 1 \right)$ có ít nhất một nghiệm thuộc $\left( {0;2} \right).$

Như vậy phương trình $\left( 1 \right)$  có ít nhất ba nghiệm thuộc khoảng $\left( { - 2;2} \right)$.

Tuy nhiên phương trình $f\left( x \right) = 0$ là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm.

Vậy phương trình $f\left( x \right) = 0$ có đúng $3$ nghiệm trên $\mathbb{R}.$

Bước 1:

$\begin{array}{l}f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = m + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 1} \right) = 3\end{array}$

Bước 2:

$\Rightarrow m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 2$

$f\left( x \right) = {x^4} - 4x$ luôn liên tục trên $\mathbb{R}$.