Khoảng cách và góc

 $\left\{ \begin{align} & {{d}_{1}}:x+2y-7=0\to {{{\vec{n}}}_{1}}=\left( 1;2 \right) \\  & {{d}_{2}}:2x-4y+9=0\to {{{\vec{n}}}_{2}}=\left( 1;-2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\xrightarrow{\varphi =\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}\cos \varphi =\dfrac{\left| 1-4 \right|}{\sqrt{1+4}.\sqrt{1+4}}=\dfrac{3}{5}.$

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:6x - 5y + 15 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {6; - 5} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {5;6} \right)\end{array} \right. \to {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \varphi  = {90^ \circ }.$

Ta có

   $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:3x + 4y + 12 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {3;4} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {2;a} \right)\end{array} \right.$

$\varphi  = \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^0} = \cos \varphi  = \dfrac{{\left| {6 + 4a} \right|}}{{\sqrt {25} .\sqrt {{a^2} + 4} }}$

$\Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 14\\a = \dfrac{2}{7}\end{array} \right..$

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

$d\left( {M,\Delta } \right) = \,\dfrac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$

Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng x-3y+4=0 và 2x+3y-1=0 thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 3y = - 4\\ 2x + 3y = 1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.$

$\to A\left( { - 1;1} \right)$

$\to d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {10} }}.$

$\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;2} \right)\\B\left( {0;3} \right),\,\,C\left( {4;0} \right) \end{array} \right.\\\to BC:3(x-0) + 4(y - 3) =3x+4y-12= 0\\ \to {h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 8 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \dfrac{1}{5}.$

Cách 1:

+) Viết phương trình $BC$:

Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 4} \right)$ nên $\overrightarrow {{u_{BC}}}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 2} \right)$ là VTCP của $BC$, do đó $\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)$.

Đường thẳng $BC$ đi qua $B\left( {1;5} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)$ làm VTPT nên: $BC:2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0$ hay $BC:2x + y - 7 = 0$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\B\left( {1;5} \right),\,C\left( {3;1} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\BC = 2\sqrt 5 \\BC:2x + y - 7 = 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}BC = 2\sqrt 5 \\{h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \sqrt 5 \end{array} \right.$

 $\to {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\sqrt 5  = 5.$

$d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5$ $\Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1}$ $\Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$

+) TH1: $\left( d \right)$ không có hệ số góc.

Khi đó phương trình $\left( d \right)$ có dạng: $x - c = 0$.

$\left( d \right)$ đi qua $M\left( {1;2} \right)$ nên $x - 1 = 0$ nên có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {1;0} \right)$.

$\Rightarrow \cos \left( {d,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}$ $= \dfrac{{\left| {3.1 - 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {13} }}$ $\ne \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos {45^0}$.

Do đó đường thẳng này không thỏa mãn bài toán.

+) TH2: $\left( d \right)$ có hệ số góc.

PTĐT $\left( d \right)$ được viết dưới dạng: $y - 2 = k\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow kx - y + 2-k = 0$

Vì $\left( d \right)$ hợp với $\left( \Delta  \right)$ một góc ${45^0}$ nên: ${\rm{cos 4}}{{\rm{5}}^0} = \dfrac{{|3k + ( - 1).( - 2)|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{|3k + 2|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{k^2} + 1} }}$ $\Leftrightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13.({k^2} + 1)}}$

$\Leftrightarrow 5{k^2} + 24k - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{5}\\k =  - 5\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( d \right)$ là: $\dfrac{1}{5}x - y + 2 - \dfrac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow x - 5y + 9 = 0$ hay $- 5x - y + 2 - ( - 5) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 7 = 0$

+) TH1: $\left( \Delta  \right)$ không có hệ số góc, khi đó phương trình $\left( \Delta  \right)$ có dạng $x = c$ hay $x - c = 0$.

$\left( \Delta  \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$ nên $2 - c = 0 \Leftrightarrow c = 2$ $\Rightarrow \left( \Delta  \right):x - 2 = 0$.

Khi đó $d\left( {N,\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 1$ (thỏa mãn).

Do đó ta có đường thẳng $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0$.

+) TH2: $\left( \Delta  \right)$ có hệ số góc.

PTĐT $\left( \Delta  \right)$  đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$  và có hệ số góc $k$  có dạng là:

$y - 7 = k\left( {x - 2} \right)$$\Leftrightarrow$$kx - y + 7 - 2k = 0$

Vì $\left( \Delta  \right)$ cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1$  nên:

Ta có: $d(N, ∆) =1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{|k.1 - 2 + 7 - 2.k|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{| - k + 5|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {( - k + 5)^2} = {(\sqrt {{k^2} + 1} )^2}\\ \Leftrightarrow {k^2} - 10k + 25 = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{{12}}{5}\end{array}$

Do đó ta có phương trình $\left( \Delta _2 \right)$ là: $\dfrac{{12}}{5}x - y + 7 - 2.\dfrac{{12}}{5} = 0$ $\Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0$

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0$ và $\left( \Delta _2 \right):12x - 5y + 11 = 0$.

Điểm $M \in d$ nên tọa độ của $M$  phải thỏa mãn phương trình của $d.$

Gọi $M(2 + 2t;3 + t) \in d$.

Ta có:$\overrightarrow {AM}  = (2 + 2t;2 + t)$.

Theo giả thiết: $\overrightarrow {\left| {AM} \right|}  = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{(2 + 2t)}^2} + {{(2 + t)}^2}}  = 5$$\Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25$

$\Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{{ - 17}}{5}\end{array} \right.$.

Vậy có $2$  điểm $M$  thỏa ycbt ${M_1}(4;4)$ và ${M_2}(\dfrac{{ - 24}}{5};\dfrac{{ - 2}}{5})$.

Vì: $\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{3}{1}$ nên $d$  cắt $d'$

 Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $d$ và $d'$ là:

$\dfrac{{x + 3y - 6}}{{\sqrt {10} }} =  \pm \dfrac{{3x + y + 2}}{{\sqrt {10} }}$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 6 = 3x + y + 2}\\{x + 3y - 6 =  - \left( {3x + y + 2} \right)}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 4 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array}} \right.$

+ Cạnh $AB$ đi qua hai điểm $A,B$ nên phương trình cạnh $AB: x - 2y - 2 = 0$

+ Cạnh $AC$ đi qua hai điểm $A,C$ nên phương trình cạnh $AC: 2x + y - 4 = 0$

+ Phương trình hai đường phân giác của góc $A$:

 $\dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt 5 }} =  \pm \dfrac{{2x + y - 4}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 = 0\quad \left( d \right)}\\{3x - y - 6 = 0\quad \left( {d'} \right)}\end{array}} \right.$

+ Xét đường phân giác $\left( d \right):x + 3y - 2 = 0$

Thế tọa độ điểm $B$  vào vế trái của $d$: ${t_1} = 4 + 3.1 - 2 = 5 > 0$

Thế tạo độ điểm $C$  vào vế trái của $d$: ${t_2} = 1 + 3.2 - 2 = 5 > 0$

Vì ${t_1}.{t_2} > 0$ nên $B$  và $C$  nằm cùng phía đối với $d \Rightarrow d$ là đường phân giác ngoài

Vậy đường phân giác trong của góc $A$  là: $d':3x - y - 6 = 0$

Ta thế tọa độ $M\left( {0;{\rm{ }}1} \right)$ và $P\left( {0;{\rm{ 2}}} \right)$ vào đường thẳng:

$\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0$ nên loại A.

Ta thế tọa độ $N\left( {1;{\rm{ 1}}} \right)$ và $P\left( {0;{\rm{ 2}}} \right)$ vào đường thẳng:

$\left( {1 - 2.1 + 3} \right)\left( {0 - 2.2 + 3} \right) < 0$ nên loại B.

Ta thế tọa độ $M\left( {0;{\rm{ }}1} \right)$ và $Q\left( {2;{\rm{ }} - 1} \right)$ vào đường thẳng:

$\left( {0 - 2.1 + 3} \right)\left( {2 - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right) > 0$ nên chọn C.

Giả sử đường thẳng $AB$  qua $M$ và có VTPT là $\vec n = \left( {a;b} \right)\,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$  

 => VTPT của $BC$ là: ${\vec n_1} = \left( { - b;a} \right)$.

 Phương trình AB có dạng: $a\left( {x-2} \right) + b\left( {y-1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow ax + by-2a-b = 0$

BC có dạng: $-b\left( {x-4} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0\;$ $\Leftrightarrow -bx + ay + 4b + 2a = 0$

Do $ABCD$ là hình vuông nên  $d\left( {P,AB} \right) = d\left( {Q,BC} \right)$  

 $\Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {3b + 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 2a\\b =  - a\end{array} \right.$

TH1: $b =  - 2a$

Chọn $a = 1 \Rightarrow b =  - 2$ ta được $AB:x - 2y - 2.1 - \left( { - 2} \right) = 0$ hay $x - 2y = 0$

$BC: - \left( { - 2} \right)x + y + 4.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0$ hay $2x + y - 6 = 0$

CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận $\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 2} \right)$ làm VTPT

Do đó CD: 1(x-2) – 2(y-0) = 0 hay x-2y-2=0

AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận $\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)$ làm VTPT

Do đó AD: 2(x-1) + 1(y-2) = 0 hay 2x+y-4=0

TH2: $b =  - a$

Chọn $a = 1 \Rightarrow b =  - 1$ ta được $AB:x - y - 2.1 - \left( { - 1} \right) = 0$ hay $x - y - 1 = 0$

$BC: - \left( { - 1} \right)x + y + 4.\left( { - 1} \right) + 2.1 = 0$ hay $x + y - 2 = 0$

CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận $\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 1} \right)$ làm VTPT

Do đó CD: 1(x-2) – 1(y-0) = 0 hay x-y-2=0

AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận $\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {1;1} \right)$ làm VTPT

Do đó AD: 1(x-1) + 1(y-2) = 0 hay x+y-3=0.

Phương trình đường phân giác góc tạo bởi ${d_1},{d_2}$ là:

$\dfrac{{\left| {x - 7y + 17} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {x + y - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 6y - 21 = 0{\rm{    (}}{\Delta _1}{\rm{)}}\\3x - y - 4 = 0{\rm{     (}}{\Delta _2}{\rm{)}}\end{array} \right.$

Đường thẳng cần tìm đi qua $M\left( {0;1} \right)$ và vuông góc  với ${\Delta _1},{\Delta _2}$

+ Gọi ${d_3}$ là đường thẳng vuông góc với ${\Delta _1}$ thì ${d_3}$ có dạng: $3x - y + c = 0$

${d_3}$ đi qua điểm $M\left( {0;1} \right)$ nên $3.0 - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1$ hay $3x - y + 1 = 0$

+ Gọi ${d_4}$ là đường thẳng vuông góc với ${\Delta _2}$ thì ${d_4}$ có dạng: $x + 3y + c = 0$

${d_4}$ đi qua điểm $M\left( {0;1} \right)$ nên $0 + 3.1 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 3$ hay $x + 3y - 3 = 0$

KL: $x + 3y - 3 = 0$ và $3x - y + 1 = 0$

$B = AB \cap Ox \Rightarrow B(1;0)$, $A \in AB \Rightarrow A\left( {a;3\sqrt 7 (a - 1)} \right) \Rightarrow a > 1$ (do ${x_A} > 0,{y_A} > 0$).

Gọi $AH$ là đường cao $\Delta ABC$, do $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AH$ cũng là đường trung tuyến, khi đó $H$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow H(a;0) \Rightarrow C(2a - 1;0) \Rightarrow BC = 2(a - 1),AB = AC = 8(a - 1)$

Chu vi tam giác $ABC$ bằng $18$ $\Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow C(3;0),A\left( {2;3\sqrt 7 } \right)$

Phương trình tham số của $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t - 5\end{array} \right.$

Điểm  $M \in \Delta  \Rightarrow M\left( {t;3t-5} \right)$

$\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right);\overrightarrow {CD} \left( {4;1} \right)$

Phương trình đường thẳng $AB:4x + 3y - 4 = 0$

Phương trình đường thẳng $CD:x - 4y + 17 = 0$

 ${S_{MAB}} = {S_{MCD}} \Leftrightarrow d(M,AB).AB = d(M,CD).CD$

$\dfrac{{\left| {4t + 3(3t - 5) - 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.AB = \dfrac{{\left| {t - 4(3t - 5) + 17} \right|}}{{\sqrt {1 + {4^2}} }}.CD$$\Rightarrow \dfrac{{\left| {13t - 19} \right|}}{5}.\sqrt {{4^2} + {3^2}}  = \dfrac{{\left| { - 11t + 37} \right|}}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {1 + {4^2}}$

 $\Leftrightarrow t =  - 9 \vee t = \dfrac{7}{3}$  $\Rightarrow M( - 9; - 32),M\left( {\dfrac{7}{3};2} \right)$

Điểm $C \in CD:x + y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {t;1 - t} \right)$.

 Suy ra trung điểm $M$  của $AC$  là $M\left( {\dfrac{{t + 1}}{2};\dfrac{{3 - t}}{2}} \right)$.

$M$  thuộc $BM$  nên $(t + 1) + \dfrac{{3 - t}}{2} + 1 = 0 \Rightarrow t =  - 7 \Rightarrow C\left( { - 7;8} \right)$

Từ $A\left( {1;2} \right),$ kẻ $AI \bot CD\left( {I \in CD} \right)$ cắt $BC$ tại $K$

Suy ra $AK:\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0$

Tọa độ điểm $I$  thỏa hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1} \right)$

 Tam giác $ACK$  cân tại $C$  nên $I$  là trung điểm của $AK \Rightarrow K\left( { - 1;0} \right)$

Đường thẳng $BC$  đi qua $C,K$ nên có phương trình:

 $\dfrac{{x + 1}}{{ - 7 + 1}} = \dfrac{y}{8} \Leftrightarrow 4x + 3y + 4 = 0$

$I\left( {6;2} \right);M\left( {1;5} \right)$

 $\Delta :x + y-5 = 0,E \in \Delta  \Rightarrow E\left( {m;5-m} \right);$

Gọi $N$ là trung điểm của $AB$

$I$  trung điểm  $NE$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_E} = 12 - m\\{y_N} = 2{y_I} - {y_E} = 4 - 5 + m = m - 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow N\left( {12-m;m-1} \right)$

$\overrightarrow {MN}  = \left( {11-m;m-6} \right);$             $\overrightarrow {IE}  = \left( {m - 6;5-m-2} \right) = \left( {m-6;3-m} \right)$

$\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {IE}  = 0$$\Leftrightarrow \left( {11-m} \right)\left( {m-6} \right) + \left( {m-6} \right)\left( {3-m} \right) = 0$

 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m-6 = 0\\14 - 2m = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = 7\end{array} \right.$

 + $m = 6 \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {5;0} \right)$ nên phương trình $AB$  là $y = 5$

+ $m = 7 \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {4;1} \right)$ nên phương trình $AB$ là $x-4y + 19 = 0$