Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có phương trình đường phân giác trong góc $A$ là ${d_1}:x + y + 2 = 0,$ phương trình đường cao vẽ từ $B$ là ${d_2}:2x-y + 1 = 0,$ cạnh $AB$ đi qua $M\left( {1;-1} \right).$ Tìm phương trình cạnh $AC.$
Gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua \({d_1} \Rightarrow N \in AC\)
\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - 1,\,\,{y_N} + 1)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương \({\overrightarrow n _{{d_1}}} = (1;\,\,1)\)
\( \Leftrightarrow \,\,1({x_N} - 1) - 1({y_N} + 1) = 0\)\( \Leftrightarrow {x_N} - {y_N} = 2\,\,\,(1)\)
Tọa độ trung điểm $I$ của \(MN:\)\({x_I} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right),{y_I} = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right)\)
\(I \in \left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right) + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {x_N} + {y_N} + 4 = 0\,\,\,\,(2)\)
Giải hệ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được $N\left( {-1;-3} \right)$
Phương trình cạnh $AC$ vuông góc với \({d_2}\) có dạng: $x + 2y + C = 0.$
\(N \in AC\)\( \Leftrightarrow - 1 + 2.( - 3) + C = 0\)\( \Leftrightarrow C = 7\)
Vậy, phương trình cạnh $AC:$ $x + 2y + 7 = 0.$
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( d \right):3x - 4y - 12 = 0\). Phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) đi qua \(M\left( {2; - 1} \right)\) và tạo với \(\left( d \right)\) một góc \({45^o}\) có dạng \(ax + by + 5 = 0\), trong đó a,b cùng dấu. Khẳng định nào sau đây đúng?
Đường thẳng \(\left( d \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {3; - 4} \right)\)
Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {a;b} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {d;\Delta } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\ \Leftrightarrow \cos {45^o} = \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - 4b} \right|}}{{5\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {3a - 4b} \right| = 5\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow 2{\left( {3a - 4b} \right)^2} = 25\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 7{a^2} + 48ab - 7{b^2} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Mặt khác \(M\left( {2; - 1} \right) \in \Delta \Rightarrow 2a - b + 5 = 0 \Leftrightarrow b = 2a + 5\) thế vào (1)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 7{a^2} + 48a\left( {2a + 5} \right) - 7{\left( {2a + 5} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 75{a^2} + 100a - 175 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1 \Rightarrow b = 7\,\,\,\,\,(tm)\\a = - \dfrac{7}{3} \Rightarrow b = \dfrac{1}{3}\,\,\,(ktm)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a + b = 8.\end{array}\)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật có hai cạnh nằm trên đường thẳng có phương trình lần lượt là \(2x - y + 3 = 0\); \(x + 2y - 5 = 0\) và tọa độ một đỉnh là \(\left( {2;3} \right)\). Diện tích hình chữ nhật đó là:
Ta thấy \({d_1}:\,\,\,2x - y + 3 = 0;\,\,\,{d_2}:\,\,\,x + 2y - 5 = 0\) là hai đường thẳng vuông góc.
Giả sử hình chữ nhật bài cho là \(ABCD\) có: \(AB:\,\,\,2x - y + 3 = 0;\,\,\,AD:\,\,\,x + 2y - 5 = 0\)
Thay tọa độ điểm \(\left( {2;\,\,3} \right)\) vào các phương trình đường thẳng \(AB,\,\,AD\) ta thấy \(\left( {2;\,\,3} \right)\) không thuộc các đường thẳng trên \( \Rightarrow C\left( {2;\,3} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = CB.CD = d\left( {C;\,\,AB} \right).d\left( {C;\,\,AD} \right)\\ = \dfrac{{\left| {2.2 - 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}.\dfrac{{\left| {2 + 2.3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt 5 }}.\dfrac{3}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{12}}{5}\,\,\,\left( {dvdt} \right)\end{array}\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {4;6} \right)\), tìm tọa độ điểm \(M\) trên trục \(Oy\) sao cho diện tích \(\Delta MAB\) bằng 1.
Gọi \(M\left( {0;m} \right) \in Oy;\,\,AB = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}} = 5.\)
Có \({S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {M,AB} \right).AB\) \( \Leftrightarrow 1 = \dfrac{1}{2}.d\left( {M,AB} \right).5 \Leftrightarrow d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{2}{5}\)
\(\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow \overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\) là 1 VTPT của AB.
\( \Rightarrow \) Phương trình AB: \(4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0\)
\( \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = \dfrac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{5} = \dfrac{{\left| { - 3m + 2} \right|}}{5} \Leftrightarrow \left| { - 3m + 2} \right| = 2\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 3m + 2 = 2\\ - 3m + 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0 \Rightarrow M\left( {0;0} \right)\\m = \dfrac{4}{3} \Rightarrow M\left( {0;\dfrac{4}{3}} \right)\end{array} \right.\)
Khoảng cách từ điểm M (–2; 2) đến đường thẳng Δ: \(5x - 12y + 8 = 0\)
\(d\left( {M;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 2.5 - 12.2 + 8} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \dfrac{{26}}{{13}} = 2.\)
\({\Delta _1}:\;\;3x + 4y = 12 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0.\)
Xét phương trình đường thẳng \({\Delta _1},\;{\Delta _2}\) ta có: \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{8} \ne - \dfrac{{12}}{{11}} \Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _2}.\)
Chọn \(A\left( {0;3} \right) \in {\Delta _1}.\) Khi đó ta có:
\( \Rightarrow d\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = d\left( {A;{\Delta _2}} \right) = \dfrac{{\left| {24 - 11} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {8^2}} }} = \dfrac{{13}}{{10}} = 1,3.\)
Gọi điểm \(I\left( {a;b} \right)\) thỏa mãn
\(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} \)\( = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\left( { - 1 - a;\;2 - b} \right) + \left( {3 - a;\;4 - b} \right) = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 1 - a} \right) + 3 - a = 0\\2\left( {2 - b} \right) + 4 - b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3a + 1 = 0\\ - 3b + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{8}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}} \right).\)
Ta có: \(2A{M^2} + M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IA} } \right)^2} \)\(+ {\left( {\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IM} } \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} = 2\left( {I{M^2} - 2\overrightarrow {IM} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + I{B^2} - 2\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {IM} + I{M^2}\\ = 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2} - 2\overrightarrow {IM} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) \\= 3I{M^2} + 2I{A^2} + I{B^2}\end{array}\)
\(2I{A^2} + I{B^2}\) không thay đổi nên \(2A{M^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất
\( \Leftrightarrow \) M là hình chiếu vuông góc của I lên \(\Delta \)
\(\Delta \) có VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\)
Gọi d là đường thẳng đi qua I vuông góc với \(\Delta \)
\( \Rightarrow \) d nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\;1} \right)\) làm VTPT
\( \Rightarrow \)Phương trình tổng quát của d là: \(2\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right) + \left( {y - \dfrac{8}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - \dfrac{{10}}{3} = 0\)
M là giao điểm của d và \(\Delta \)\( \Rightarrow \) tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - \dfrac{{10}}{3} = 0\\x - 2y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{26}}{{15}}\\y = - \dfrac{2}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{{26}}{{15}}; - \dfrac{2}{{15}}} \right).\)
Vậy \(M\left( {\dfrac{{26}}{{15}}; - \dfrac{2}{{15}}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Trên mặt phẳng tọa độ\(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {2;3} \right),{\rm{ }}B\left( {5;0} \right)\) và \(C\left( { - 1;0} \right)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho diện tích tam giác \(MAB\) bằng hai lần diện tích tam giác \(MAC\)
Phương trình đường thẳng \(BC\) là \(y = 0\), vì \(M \in BC\) nên gọi \(M\left( {m;0} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {m - 2; - 3} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {3;m - 2} \right)\) là 1 VTPT của đường thẳng \(AM\).
Phương trình đường thẳng \(AM\) là:
\(\begin{array}{l}3\left( {x - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 6 - 3m + 6 = 0\\ \Leftrightarrow 3x + \left( {m - 2} \right)y - 3m = 0\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {B;AM} \right) = \dfrac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,d\left( {C;AM} \right) = \dfrac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta MAB}} = \dfrac{1}{2}d\left( {B;AM} \right).AM\\{S_{\Delta MAC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {C;AM} \right).AM\end{array} \right. \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = 2{S_{\Delta MAC}} \Leftrightarrow d\left( {B;AM} \right) = 2d\left( {C;AM} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {15 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }} = 2\dfrac{{\left| { - 3 - 3m} \right|}}{{\sqrt {9 + {{\left( {m - 2} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \left| {15 - 3m} \right| = 2\left| { - 3 - 3m} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}15 - 3m = - 6 - 6m\\15 - 3m = 6 + 6m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 7\\m = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(M\left( {1;0} \right)\) hoặc \(M\left( { - 7;0} \right)\).
