Cấp số nhân

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} =  - 4\).

Ta có: \({u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \) \(\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12\)

Ta có: ${u_1} =  - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} =  - 4$

Do đó \({u_5} = {u_1}.{q^4} =  - 2.{\left( { - 4} \right)^4} =  - 512\).

Và \({S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}} \right)}}{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}} =  - 410\)

Ta có: \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}^{103}}}} =  - 1.{\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} =  - \left( {\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{103}} \) \(\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104\)

Ta có: \(u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_7} = \dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = \dfrac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{3} = 12\) 

Ta có \({u_2} = 4 = {u_1}.q\) và \({u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}\)

 \( \Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2} \) \(\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{   }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}\)

Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử \(A < B < C < D\).

Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

\(\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}\)

Với cấp số nhân \(a,b,c > 0 \Rightarrow {b^2} = ac = 36 \Rightarrow b = 6 > 0\)

Do đó, theo giả thiết cấp số cộng ta có

\({u_1} = 6;d = 4;{S_n} = 510\)

\(\begin{array}{l}{S_n} = \dfrac{n}{2}\left( {2{u_1} + (n - 1)d} \right) \Leftrightarrow 510 = \dfrac{n}{2}\left( {12 + 4(n - 1)} \right)\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2n - 255 = 0\\ \Rightarrow n = 15\end{array}\)

(do n nguyên dương)

Theo giả thiết thì mỗi năm số dân của thành phố A tăng \(2\% \) nghĩa là dân số năm sau gấp năm trước \(1 + 2\%  = 1,02\) lần nên số dân theo các năm liên tiếp lập thành cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = {3.10^6}\) và công bội \(q = 1 + 0,02 \)

\(\Rightarrow {u_n} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^n} \Rightarrow {u_3} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^3} = 3183624\)

Gọi \({u_n}\) là khối lượng còn lại của $20$ gam poloni sau $n$ chu kì bán rã.

Ta có $7314$ ngày gồm \(\dfrac{{7314}}{{138}} = 53\) chu kì bán rã.

Do đó ta cần tính \({u_{53}}\)

Theo giả thiết của bài toán thì \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({u_1} = \dfrac{{20}}{2} = 10;q = \dfrac{1}{2}\)

Do đó \({u_{53}} = 10{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{52}} \approx 2,{22.10^{ - 15}}\) 

Ta có

 \(\begin{array}{l}{S_n} = \dfrac{{10 - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^2} - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^3} - 1}}{9} + ... + \dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9} = \dfrac{1}{9}\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^{10}}} \right) - \dfrac{{10}}{9}\\ = \dfrac{1}{9}\left( {10.\dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9}} \right) - \dfrac{{10}}{9} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 10 - 90}}{{81}} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\end{array}\) 

Nếu \(a = 0\) thì \(S = 1\).

Nếu \(a \ne 1\) thì ta có:

\(\begin{array}{l}a{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + 4{a^4} + ... + \left( {n + 1} \right){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} - a{S_n} = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... + {a^n} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n}(1 - a) = \dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}} \right]\\{\rm{        }} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1 - (n + 1){a^{n + 1}}\left( {a - 1} \right)}}{{a - 1}}} \right] = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 3\\q =  - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} =  - 3.\dfrac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1023\)

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có \({x_1}{x_2}{x_3} = 8.\)

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có \({x_1}{x_3} = x_2^2\). Suy ra ta có \(x_2^3 = 8 \Leftrightarrow {x_2} = 2.\)

+ Điều kiện đủ: Với \(m = 1\) và \(m = 7\) thì \({m^2} + 6m = 7\) nên ta có phương trình

                                          \({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0.\)

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là \(1,2,4.\) Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị \(q = 2.\)

Vậy, \(m = 1\) và \(m =  - 7\) là các giá trị cần tìm. Do đó phương án \(D.\)

Bước 1: Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số thỏa mãn: \({u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)\).

Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số thỏa mãn: \({u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)\).

Bước 2: Tìm số hạng tổng quát.

Khi đó, \({u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} + n + 1 = 10\left( {{v_n} + n} \right) - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = 10{v_n}\)

$=>$\(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = {u_1} - 1 = 1\) và công bội \(q = 10\).

\( \Rightarrow {v_n} = {1.10^{n - 1}} = {10^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = {10^{n - 1}} + n\)

Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là \({u_n} = {10^{n - 1}} + n\).

Ta có \({u_k} = 100006 \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100006\)

\( \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100000 + 6\)\( \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = {10^5} + 6 \Leftrightarrow k = 6\).

Vậy số hạng \({u_k} = 100006\) là số hạng thứ 6 của dãy.

Bước 1: Tìm các số hạng từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 100.

Ta có \({u_1} = {10^0} + 1;{u_2} = {10^1} + 2;\)\({u_3} = {10^2} + 3;\)\({u_{100}} = {10^{99}} + 100\)

Bước 2: Tìm tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

\( \Rightarrow \) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

\({S_{100}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} +  \ldots  + {u_{100}}\)\( = {10^0} + 1 + {10^1} + 2 + {10^2} + 3\)\( +  \ldots  + {10^{99}} + 100\)

\( \Leftrightarrow {S_{100}} = \left( {{{10}^0} + {{10}^1} + {{10}^2} +  \ldots  + {{10}^{99}}} \right)\)\( + (1 + 2 + 3 +  \ldots  + 100)\)

\( \Leftrightarrow {S_{100}} = {10^0} \cdot \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{{10 - 1}} + \dfrac{{(1 + 100) \cdot 100}}{2}\)\( = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050\)

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là \({S_{100}} = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050\).