Cấp số nhân

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nên $q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} =  - 4$.

Ta có: ${u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16$ $\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12$

Ta có: ${u_1} =  - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} =  - 4$

Do đó ${u_5} = {u_1}.{q^4} =  - 2.{\left( { - 4} \right)^4} =  - 512$.

Và ${S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}} \right)}}{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}} =  - 410$

Ta có: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}^{103}}}} =  - 1.{\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} =  - \left( {\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{103}}$ $\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104$

Ta có: $u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_7} = \dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = \dfrac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{3} = 12$ 

Ta có ${u_2} = 4 = {u_1}.q$ và ${u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}$

 $\Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2}$ $\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{   }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}$

Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử $A < B < C < D$.

Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

$\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}$

Với cấp số nhân $a,b,c > 0 \Rightarrow {b^2} = ac = 36 \Rightarrow b = 6 > 0$

Do đó, theo giả thiết cấp số cộng ta có

${u_1} = 6;d = 4;{S_n} = 510$

$\begin{array}{l}{S_n} = \dfrac{n}{2}\left( {2{u_1} + (n - 1)d} \right) \Leftrightarrow 510 = \dfrac{n}{2}\left( {12 + 4(n - 1)} \right)\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2n - 255 = 0\\ \Rightarrow n = 15\end{array}$

(do n nguyên dương)

Theo giả thiết thì mỗi năm số dân của thành phố A tăng $2\%$ nghĩa là dân số năm sau gấp năm trước $1 + 2\%  = 1,02$ lần nên số dân theo các năm liên tiếp lập thành cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = {3.10^6}$ và công bội $q = 1 + 0,02$

$\Rightarrow {u_n} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^n} \Rightarrow {u_3} = {3.10^6}{\left( {1 + 0,02} \right)^3} = 3183624$

Gọi ${u_n}$ là khối lượng còn lại của $20$ gam poloni sau $n$ chu kì bán rã.

Ta có $7314$ ngày gồm $\dfrac{{7314}}{{138}} = 53$ chu kì bán rã.

Do đó ta cần tính ${u_{53}}$

Theo giả thiết của bài toán thì $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = \dfrac{{20}}{2} = 10;q = \dfrac{1}{2}$

Do đó ${u_{53}} = 10{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{52}} \approx 2,{22.10^{ - 15}}$ 

Ta có

 $\begin{array}{l}{S_n} = \dfrac{{10 - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^2} - 1}}{9} + \dfrac{{{{10}^3} - 1}}{9} + ... + \dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9} = \dfrac{1}{9}\left( {10 + {{10}^2} + ... + {{10}^{10}}} \right) - \dfrac{{10}}{9}\\ = \dfrac{1}{9}\left( {10.\dfrac{{{{10}^{10}} - 1}}{9}} \right) - \dfrac{{10}}{9} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 10 - 90}}{{81}} = \dfrac{{{{10}^{11}} - 100}}{{81}}\end{array}$ 

Nếu $a = 0$ thì $S = 1$.

Nếu $a \ne 1$ thì ta có:

$\begin{array}{l}a{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + 4{a^4} + ... + \left( {n + 1} \right){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} - a{S_n} = 1 + a + {a^2} + {a^3} + ... + {a^n} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n}(1 - a) = \dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}} - (n + 1){a^{n + 1}}} \right]\\{\rm{        }} = \dfrac{1}{{1 - a}}\left[ {\dfrac{{{a^{n + 1}} - 1 - (n + 1){a^{n + 1}}\left( {a - 1} \right)}}{{a - 1}}} \right] = \dfrac{{\left( {n + 1} \right){a^{n + 2}} - (n + 2){a^{n + 1}} + 1}}{{{{\left( {1 - a} \right)}^2}}}\end{array}$

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} =  - 3\\q =  - 2\end{array} \right.$ $\Rightarrow {S_{10}} = {u_1}.\dfrac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} =  - 3.\dfrac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1023$

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2},{x_3}$ lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có ${x_1}{x_2}{x_3} = 8.$

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có ${x_1}{x_3} = x_2^2$. Suy ra ta có $x_2^3 = 8 \Leftrightarrow {x_2} = 2.$

+ Điều kiện đủ: Với $m = 1$ và $m = 7$ thì ${m^2} + 6m = 7$ nên ta có phương trình

                                          ${x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0.$

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là $1,2,4.$ Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị $q = 2.$

Vậy, $m = 1$ và $m =  - 7$ là các giá trị cần tìm. Do đó phương án $D.$

Bước 1: Gọi $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số thỏa mãn: ${u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)$.

Gọi $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số thỏa mãn: ${u_n} = {v_n} + n(n \ge 1)$.

Bước 2: Tìm số hạng tổng quát.

Khi đó, ${u_{n + 1}} = 10{u_n} - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} + n + 1 = 10\left( {{v_n} + n} \right) - 9n + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = 10{v_n}$

$=>$$\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${v_1} = {u_1} - 1 = 1$ và công bội $q = 10$.

$\Rightarrow {v_n} = {1.10^{n - 1}} = {10^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = {10^{n - 1}} + n$

Số hạng tổng quát của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = {10^{n - 1}} + n$.

Ta có ${u_k} = 100006 \Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100006$

$\Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = 100000 + 6$$\Leftrightarrow {10^{k - 1}} + k = {10^5} + 6 \Leftrightarrow k = 6$.

Vậy số hạng ${u_k} = 100006$ là số hạng thứ 6 của dãy.

Bước 1: Tìm các số hạng từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 100.

Ta có ${u_1} = {10^0} + 1;{u_2} = {10^1} + 2;$${u_3} = {10^2} + 3;$${u_{100}} = {10^{99}} + 100$

Bước 2: Tìm tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy.

$\Rightarrow$ Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

${S_{100}} = {u_1} + {u_2} + {u_3} +  \ldots  + {u_{100}}$$= {10^0} + 1 + {10^1} + 2 + {10^2} + 3$$+  \ldots  + {10^{99}} + 100$

$\Leftrightarrow {S_{100}} = \left( {{{10}^0} + {{10}^1} + {{10}^2} +  \ldots  + {{10}^{99}}} \right)$$+ (1 + 2 + 3 +  \ldots  + 100)$

$\Leftrightarrow {S_{100}} = {10^0} \cdot \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{{10 - 1}} + \dfrac{{(1 + 100) \cdot 100}}{2}$$= \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050$

Vậy tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy là ${S_{100}} = \dfrac{{{{10}^{100}} - 1}}{9} + 5050$.