Phương trình mặt cầu

Phương trình có dạng $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by$$+ 2cz + d = 0$ với $a =  - 1,b = 2,c = 1,d =  - 3$.

Ta có công thức

$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$$= \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)}$$= 3$ 

Phương trình có dạng ${(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}$ với $a = 1,b =  - 2,c = 4$ và $R = 2\sqrt 5$

có tâm $I\left( {1; - 2;4} \right)$.

Phương trình có dạng $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ với $a =  - 4,b = 1,c = 0,d = 1$   

có tâm $I( - a, - b, - c) = (4, - 1,0)$

có $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {1^2} + {0^2} - 1}  = 4$

Mặt cầu tâm $I\left( {0;0;1} \right)$ bán kính $R = \sqrt 2$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2$

$\left( S \right)$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ với $a = -1,b =  m,c = -2$ và $d = m + 5$.

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.$

Điểm $A\left( {1,1,1} \right)$ thuộc phương trình mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0$ thì ta có

${1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{3}$ (thỏa mãn)

$\left( S \right)$ có dạng ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ với $a =  - 1,b =  - 1,c =  - 2$  và $d = m$.

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có bán kính $R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}}  = \sqrt {53}$

Do đó ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.$

I là hình chiếu vuông góc của $M\left( {1, - 2,3} \right)$ trên trục $Ox$. Suy ra $I\left( {1,0,0} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {IM}  = (0, - 2,3) \Rightarrow R = IM = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13}$.

Suy ra phương trình mặt cầu: ${(x - 1)^2} + {y^2} + {z^2} = 13$.

Giả sử $M$ là giao điểm của $d$ với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Viết phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng tham số $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}&{}\\{y = 1 + 2t}&{}\\{z =  - 1 - t}&{}\end{array}} \right.$

Ta có $M$ thuộc $d$ nên $M\left( {t,2t + 1, - t - 1} \right)$ .

Vì M thuộc $\left( {Oxy} \right):z = 0$ nên có $- t - 1 = 0$  hay $t =  - 1$, suy ra $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$.

Phương trình mặt cầu cần tìm có tâm $M\left( { - 1, - 1,0} \right)$, bán kính $MA = \sqrt {{{(5 + 1)}^2} + {{(4 + 1)}^2} + {{( - 2 - 0)}^2}}  = \sqrt {65}$

Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} =  - 1\\{y_I} = 0\\{z_I} = 1\end{array} \right.$ 

Ta có $EF = \sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(1 - 3)}^2} + {{(1 + 1)}^2}}  = 2\sqrt 3$ .

Mặt cầu $(S)$ đường kính $EF$ nhận trung điểm $I$ của $EF$ là tâm, có $I\left( {1,2,0} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{1}{2}EF = \sqrt 3$.

Tâm $I$ thuộc mặt phẳng $\left( {xOy} \right):z = 0$  nên ta có $z = 0$ . Suy ra, giả sử $I\left( {x,y,0} \right)$.

Mặt cầu $\left( S \right)$  qua $A,B,C$ nên ta có $IA = IB = IC = R$

Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(4)^2} = {(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2}\\{(x - 1)^2} + {(y + 3)^2} + {( - 1)^2} = {(x - 2)^2} + {(y - 2)^2} + {(3)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1\\ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 =  - 4x + 4 - 4y + 4 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 10y =  - 10\\2x + 10y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x =  - 2\end{array} \right.$.

 Vậy $I\left( { - 2,1,0} \right)$.

Có $IA = \sqrt {26}  = R$ 

- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án

+ A cho mặt cầu tâm ${I_A}(1, - 1,1)$  và ${R_A} = \sqrt {13}$

+ B cho mặt cầu tâm ${I_B}(2, - 1,3)$  và ${R_B} = 4$

+ C cho mặt cầu tâm ${I_C}( - 2,1, - 3)$  và ${R_C} = 2\sqrt 3$

+ D cho mặt cầu tâm ${I_D}(1, - 1,1)$  và ${R_D} = \sqrt 5$

- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng $(\alpha )$  hay không. Loại được đáp án C.

- Ta thấy${I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)$, nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với ${R_A},{R_D}$ .

Có $IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}}  = \sqrt {21}$ . Ta thấy $IM \ne {R_A} \ne {R_D}$. Loại A và D

Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$  thuộc $d$, ta có $I\left( {1 + 2t,2 - t,1 + t} \right)$. Vì mặt cầu $\left( S \right)$  qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ .

Từ giả thiết $IA = IB$ ta có $I{A^2} = I{B^2}$

$\Leftrightarrow {(2t - 1)^2} + {(t + 2)^2} + {(2 + t)^2} = {(1 + 2t)^2} + {(4 - t)^2} + {t^2}$

$\Leftrightarrow  - 4t + 4t + 4 + 4t + 4 = 4t - 8t + 16$

$\Leftrightarrow 8t = 8$

$\Leftrightarrow t = 1$

Suy ra $I\left( {3,1,2} \right)$ . Do đó $R = IA = \sqrt {9 + 9 + 1}  = \sqrt {19}$

Do đó, đường kính mặt cầu là $2R = 2\sqrt {19}$

Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ thuộc $Oy$, ta có $I\left( {0,t,0} \right)$. Vì mặt cầu $(S)$ qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ .

Từ giả thiết $IA = IB$ ta có $I{A^2} = I{B^2}$

$\Leftrightarrow {2^2} + {(t - 1)^2} + {( - 1)^2} = {1^2} + {t^2} + {1^2}$

$\Leftrightarrow  - 2t + 4 = 0$

$\Leftrightarrow t = 2$

Suy ra $I\left( {0,2,0} \right)$ . Do đó $R = IA = \sqrt 6$

Do đó, đường kính mặt cầu là $2R = 2\sqrt 6$

- Thử từng tọa độ các điểm $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C,{\rm{ }}D$ vào các phương trình cho trong các đáp án A,B,C,D

+ Thay $A\left( {1,1,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án A có

${1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 - 6 \ne 0$

Loại A

Thay $A\left( {1,1,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có

${1^2} + {1^2} + {1^2} - 3 - 3 - 3 + 6 = 0$

Thay $B\left( {1,2,1} \right)$   vào phương trình cho ở đáp án B có

${1^2} + {2^2} + {1^2} - 3 - 6 - 3 + 6 = 0$

Thay $C\left( {1,1,2} \right)$  vào phương trình cho ở đáp án B có

${1^2} + {1^2} + {2^2} - 3 - 3 - 6 + 6 = 0$

Thay $D\left( {2,2,1} \right)$ vào phương trình cho ở đáp án B có

${2^2} + {2^2} + {1^2} - 6 - 6 - 3 + 6 = 0$

Vậy A,B,C,D thỏa mãn phương trình cho ở đáp án B.

S) có tâm $I\left( {2m, - 2, - m} \right)$ .

Bán kính $R = \sqrt {4{m^2} + 4 + {m^2} - {m^2} - 4m}  = \sqrt {4{m^2} - 4m + 4}  = \sqrt {{{(2m - 1)}^2} + 3}  \ge \sqrt 3$

Dấu = xảy ra khi $2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}$ 

Ta có: $I(1; - 2;2),R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m}  = \sqrt {9 + m}$

Ta có: $R = 5 \Leftrightarrow \sqrt {9 + m}  = 5 \Leftrightarrow m = 16$

Tâm $I\left( {1;2; - 5} \right)$

Ta có $\overrightarrow {AI}  = (0;0; - 4) = \overrightarrow {IM}  = (a - 1;b - 2;b + 5) \Rightarrow M(1;2; - 9)$ 

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 1 = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {0^2} - 1}  = 2$.

Vậy diện tích của mặt cầu $\left( S \right)$ là:  $4\pi {.2^2} = 16\pi$.