Bất phương trình logarit

Điều kiện: $x > \dfrac{1}{3}$

BPT $\Leftrightarrow 3x - 1 \ge 8 \Leftrightarrow x \ge 3$

Kết hợp điều kiện ta được $x \ge 3$

Điều kiện $x + {9^{500}} > 0 \Leftrightarrow x >  - {9^{500}}$

Vì ${\rm{0 < a}} = \dfrac{1}{3} < 1$ nên

$\begin{array}{l}{\log _{\dfrac{1}{3}}}\left( {x + {9^{500}}} \right) >  - 1000 \Leftrightarrow 0 < x + {9^{500}} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - 1000}} \Leftrightarrow 0 < x + {9^{500}} < {3^{1000}}\\ \Leftrightarrow  - {9^{500}} < x < {3^{1000}} - {9^{500}} \Leftrightarrow  - {3^{1000}} < x < {3^{1000}} - {3^{1000}} \Leftrightarrow  - {3^{1000}} < x < 0\end{array}$

Điều kiện: $x > \dfrac{3}{5}$

${\log _2}\left( {5x - 3} \right) > 5 \Leftrightarrow 5x - 3 > {2^5} \Leftrightarrow 5x > 35 \Leftrightarrow x > 7$

Vậy số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là $x = 8$.

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\5 - 2x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < \dfrac{5}{2}\end{array} \right.$

${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) > {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {5 - 2x} \right) \Leftrightarrow x - 1 < 5 - 2x \Leftrightarrow x < 2$.

Kết hợp với điều kiện suy ra $S= (1;2)$.  

Điều kiện : $x > 0$

$4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0 \Leftrightarrow 4.{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + 2.{\log _2}\sqrt x  \ge  - m$(1)

Đặt $t = {\log _2}\sqrt x$. Khi $x \in \left[ {1;64} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;3} \right]$.

Ta có bất phương trình $4{t^2} + 2t \ge  - m$.

Xét $f(t) = 4{t^2} + 2t;f'(t) = 8t + 2 > 0,\forall t \in \left[ {0;3} \right]$

Để (1) nghiệm đúng với $\forall t \in \left[ {0;3} \right]$ thì $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( t \right) \ge  - m$

$\Leftrightarrow f(0) \ge  - m \Leftrightarrow 0 \ge  - m \Leftrightarrow m \ge 0$.

$\begin{array}{l}\ln \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1} \right] > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) + 1 > 1\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) > 0\end{array}$

$\Rightarrow x \in (1;2) \cup (3; + \infty )$

Điều kiện: $x > 0$

$\log ({x^2} + 25) > \log (10x) \Leftrightarrow {x^2} + 25 > 10x \Leftrightarrow {(x - 5)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 5$

Tập nghiệm của bất phương trình là: $(0;5) \cup (5; + \infty )$

Điều kiện: $x \ne 0$.

$\begin{array}{l}({2^{{x^2} - 4}} - 1) \ln{x^2} < 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}({2^{{x^2} - 4}} - 1) > 0\\ \ln{x^2} < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}({2^{{x^2} - 4}} - 1) < 0\\ \ln{x^2} > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2} - 4}} > 1\\{x^2} < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{2^{{x^2} - 4}} < 1\\{x^2} > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 > 0\\{x^2} < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 < 0\\{x^2} > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2;x <  - 2\\ - 1 < x < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 2 < x < 2\\x > 1;x <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 < x <  - 1\\1 < x < 2\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left( { - 2; - 1} \right) \cup \left( {1;2} \right)\end{array}$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1$

${\log _{\dfrac{1}{3}}}({x^2} - 2x + 1) < {\log _{\dfrac{1}{3}}}(x - 1) \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 > x - 1 > 0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)(x - 2) > 0\\x - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2$

Điều kiện $x > -1$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{\log _2}(x + 1) - lo{g_2}\sqrt {x + 1}  \le 0 \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 1} }} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {x + 1} }} \le 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{(\sqrt {x + 1} )}^2}}}{{\sqrt {x + 1} }} \le 1 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  \le 1 \Leftrightarrow x \le 0\end{array}$

Kết hợp với điều kiện ta được: $- 1 < x \le 0$

${\log _{0,7}}({\log _6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}}) < 0$ .

Đkxđ: $\left\{ \begin{array}{l}{\log _6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 0\\\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 4 < x <  - 2\\x > 2\end{array} \right.(*)$

$\begin{array}{l}{\log _6}\dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 0,{7^0} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} > 6 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x}}{{x + 4}} - 6 > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 5{\rm{x}} - 24}}{{x + 4}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{(x - 8)(x + 3)}}{{x + 4}} > 0\end{array}$

Xét dấu $f\left( x \right) = \dfrac{{(x - 8)(x + 3)}}{{x + 4}}$:

Vậy $- 4 < x <  - 3$ hoặc $x > 8$.

Kết hợp với điều kiện ta được $- 4 < x <  - 3$ hoặc $x > 8$.

Điều kiện $x>-2$

Bất phương trình $\Leftrightarrow {x^2} + 1 > 2x + 4\,(do\,\dfrac{\pi }{4} < 1)$ $\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) > 0$

Nên $x>3$ hoặc $x<-1$.

Kết hợp điều kiện $x>-2$ ta được $x>3$ hoặc $-2<x<-1$.

Bất phương trình tương đương:

$\left\{ \begin{array}{l}{2^x} - 3 > 0\\{2^x} - 3 < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > {\log _2}3\\x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {\log _2}3 < x < 2$.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + x + 3 > 0\\3{x^2} - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{1}{3}\\x < 0\end{array} \right.$

Do $x=1$ là một nghiệm của bất phương trình nên ${\log _m}(2.{1^2} + 1 + 3) \le {\log _m}(3.{1^2} - 1) \Leftrightarrow {\log _m}6 \le {\log _m}2 \Leftrightarrow 0<m < 1$

Khi đó, ta có:

${\log _m}(2{x^2} + x + 3) \le {\log _m}(3{x^2} - x)$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + x + 3 \ge 3{x^2} - x$$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3$

Kết hợp với điều kiện xác định ta có nghiệm của bpt là : $S = \left[ { - 1;0} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{3};3} \right)$

Điều kiện $x>1$

$\ln{x^2} > \ln\left( {4x - 4} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} > 4x - 4\, \Leftrightarrow {(x - 2)^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 2$

$S = \left( {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$

$2017{\log _2}x \le {9^{{{\log }_2}4}} = 81$

$\Leftrightarrow {\log _2}x = \dfrac{{81}}{{2017}} =  > 0 < x \le \sqrt[{2017}]{{{2^{81}}}}$

Điều kiện: $x>0$; ${\log _{\frac{1}{2}}}x > 0 \Rightarrow x < {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^0} = 1$

${\log _3}\left( {{{\log }_{\frac{1}{2}}}x} \right) < 1 = {\log _3}3 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{2}}}x < 3 = {\log _{\frac{1}{2}}}{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3}$

$\Leftrightarrow x > {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} = \dfrac{1}{8}$ vì $\dfrac{1}{2} < 1$

Điều kiện: $x>0$

Đặt $t = {\log _2}x$

BPT $\Leftrightarrow {t^2} - 4033t + 4066272 \le 0$

$\Leftrightarrow 2016 \le t \le 2017$

=>$2016 \le {\log _2}x \le 2017$

$\Leftrightarrow {2^{2016}} \le x \le {2^{2017}}$

Thử giá trị  $x = 3:{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) - {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( x \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - x} \right) + 1 < 0$: Loại đáp án A

Thử giá trị  $x = 2:{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 2} \right) - {\log _{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}\left( x \right) - {\log _2}\left( {{x^2} - x} \right) + 1 = 0$: Loại đáp án D

Thử giá trị $x = 0,5$: MATH ERROR: Loại đáp án C

Điều kiện: $x > 0$.

${\log _3}x \le {\log _{\frac{1}{3}}}(2x) \Leftrightarrow {\log _3}x \le  - {\log _3}(2x)$

$\Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _3}(2x) \le 0$

$\Leftrightarrow {\log _3}(2{x^2}) \le 0$

$\Leftrightarrow 2{x^2} \le 1$

$\Leftrightarrow  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \le x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Kết hợp với $x > 0$ ta được $0 < x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = \dfrac{1}{2}$