Bất phương trình mũ

Ta có ${5^x} < 7 - 2x \Leftrightarrow {5^x} +2x-7<0$  

Ta có ${5^x} > 0$ với $\forall x$ nên $\left( {7 - 2x} \right) > 0 \Leftrightarrow x < \dfrac{7}{2}$

Xét hàm $f\left( x \right) = {5^x} + 2x - 7$ trên $\left( { - \infty ;\dfrac{7}{2}} \right)$

Có $f'\left( x \right) = {5^x}\ln 5 + 2 > 0,\forall x \in \left( { - \infty ;\dfrac{7}{2}} \right)$

Do đó hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ;\dfrac{7}{2}} \right)$, hay $f\left( x \right) < f\left( 1 \right) = 0,\forall x < 1$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ;1} \right)$.

${3^{3x - 2}} + \dfrac{1}{{{{27}^x}}} \le \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{3x}}}}{9} + \dfrac{1}{{{3^{3x}}}} \le \dfrac{2}{3}$

 Đặt $t = {3^{3x}}\left( {t > 0} \right)$

Bpt $\Leftrightarrow \dfrac{t}{9} + \dfrac{1}{t} \le \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 9 \le 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 3} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow t = 3$

Khi đó ${3^{3x}} = 3 \Leftrightarrow 3x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$

${e^x} + {e^{ - x}} < \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow {e^{2x}} + 1 < \dfrac{5}{2}{e^x} \Leftrightarrow 2{e^{2x}} - 5{e^x} + 2 < 0$

$\Leftrightarrow \left( {{e^x} - 2} \right)\left( {2{e^x} - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < {e^x} < 2 \Leftrightarrow  - \ln 2 < x < \ln 2$

Xét hàm : $f(x) = {7^x} + 3x - 10 \Rightarrow f'(x) = {7^x}\ln 7 + 3 > 0,\forall x \in R$ nên hàm số đồng biến trên $R$.

Mà $f\left( x \right) \ge 0=f\left( 1 \right)\Rightarrow x \ge 1$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {1; + \infty } \right)$

${\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^x} \ge 2 \Leftrightarrow {2^{ - x}} \ge 2 \Leftrightarrow  - x \ge 1 \leftrightarrow x \le  - 1 \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - 1} \right]$.

Ta có

${2^{x - 1}} > {\left( {\dfrac{1}{{16}}} \right)^{\frac{1}{x}}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} > {\left( {{2^{ - 4}}} \right)^{\frac{1}{x}}} \Leftrightarrow {2^{x - 1}} > {2^{ - \frac{4}{x}}}$

$\Leftrightarrow x - 1 >  - \dfrac{4}{x} \Leftrightarrow x + \dfrac{4}{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - x + 4}}{x} > 0$

Vì ${x^2} - x + 4 > 0$ nên suy ra $x > 0$ 

$\begin{array}{l}t = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)(1 > t > 0) \Rightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right) = \dfrac{1}{t}\\ \Rightarrow {t^x} > {\left( {\dfrac{1}{t}} \right)^{x + 2}} \Rightarrow {t^x} > t{}^{ - x - 2} \Rightarrow x <  - x - 2 \Rightarrow x <  - 1\end{array}$

Vì $0 < \dfrac{1}{3} < 1$ nên ta có

$\begin{array}{l}{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{\sqrt {{x^2} - 3{\rm{x}} - 10} }} > {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{x - 2}} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 3{\rm{x}} - 10}  < x - 2 \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3{\rm{x}} - 10 < {\left( {x - 2} \right)^2}\\{x^2} - 3{\rm{x}} - 10 \ge 0\\x - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 5 \le x < 14\\ \Rightarrow x = \left\{ {5,6,7,8,9,10,11,12,13} \right\}\end{array}$

$0,{3^{{x^2} + x}} > 0,09 \Leftrightarrow 0,{3^{{x^2} + x}} > 0,{3^2} \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < x < 1$

$\begin{array}{l}f(x) = \dfrac{{{3^x}}}{{{7^{{x^2} - 4}}}} > 9 \Leftrightarrow {3^x} > {9.7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow {3^x} > {3^2}{.7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow {3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow {\log _3}{3^{x - 2}} > {\log _3}{7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow x - 2 > ({x^2} - 4){\log _3}7\end{array}$

Từ đó dựa vào các đáp án ta thấy A đúng.

$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow \ln {3^{x - 2}} > \ln {7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\ln3 > ({x^2} - 4)\ln 7\end{array}$ => B đúng

$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow \log {3^{x - 2}} > \log {7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\log3 > ({x^2} - 4)\log 7\end{array}$ => C đúng

$\begin{array}{l}{3^{x - 2}} > {7^{{x^2} - 4}}\\ \Leftrightarrow {\log _{0,2}}{3^{x - 2}} < {\log _{0,2}}{7^{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow (x - 2)\log_{{0,2}}3 < ({x^2} - 4){\log _{0,2}}7\end{array}$ => D sai

${4^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} + m < 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Đặt ${2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right).$

Khi đó bất phương trình đã cho $\Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + m < 0\,\,\,\left( * \right).$

TH1: $m = 1 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 < 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} < 0$ $\Rightarrow$ bất phương trình vô nghiệm.

$\Rightarrow m = 1$ thỏa mãn.

TH2: $m \ne 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - mt - t + m < 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - t - \left( {mt - m} \right) < 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 1} \right) - m\left( {t - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - m} \right) < 0\,\,\,\end{array}$

+) Với $m > 1$ $\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {1;\,\,m} \right) \subset \left( {0; + \infty } \right)$

$\Rightarrow$ Bất phương trình  $\left( * \right)$ luôn có nghiệm $t > 0$

$\Rightarrow \left( 1 \right)$ luôn có nghiệm $x$ $\Rightarrow m > 1$ không thỏa mãn.

+) Với $m < 1$ $\Rightarrow$ Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {m;\,\,1} \right)$

$\Rightarrow$ Bất phương trình  $\left( * \right)$ luôn có nghiệm $0 < t < 1$

$\Rightarrow \left( 1 \right)$ luôn có nghiệm $x$ $\Rightarrow m < 1$ không thỏa mãn.

Vậy chỉ có $m = 1$ thỏa mãn bài toán.

Ta có

${\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2{\rm{x}}}} \ge \dfrac{1}{{125}} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2{\rm{x}}}} \ge {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^3}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} \le 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x - 3}} \le {\rm{0}} \Leftrightarrow {\rm{ - 1}} \le {\rm{x}} \le {\rm{3}}$

Số nghiệm nguyên là $5$.

${\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < 1$

Lấy loganepe hai vế ta có $\ln {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^x} < \ln 1\,\,\left( * \right)$

Vì ${x^2} + x + 1 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0 \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln \left( {{x^2} + x + 1} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} + x + 1 > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} + x + 1 < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\{x^2} + x > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{x^2} + x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\ - 1 < x < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - 1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.

ĐK: $x \ge 0$

${3^{\sqrt {2x}  + 1}} - {3^{x + 1}} \le {x^2} - 2x \Leftrightarrow {3^{\sqrt {2x}  + 1}} + 2x \le {3^{x + 1}} + {x^2} \Leftrightarrow {3^{\sqrt {2x}  + 1}} + {\left( {\sqrt {2x} } \right)^2} \le {3^{x + 1}} + {x^2}$

Xét hàm số $f\left( t \right) = {3^{t + 1}} + {t^2}$  có $f'\left( t \right) = {3^{t + 1}}.\ln 3 + 2t > 0\,\,\forall t \ge 0 \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\left[ {0; + \infty } \right)$ 

Mà $f\left( {\sqrt {2x} } \right) \le f\left( x \right) \Leftrightarrow \sqrt {2x}  \le x \Leftrightarrow 2x \le {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$

Mà $x \ge 0 \Rightarrow x \in \left[ {2; + \infty } \right) \cup \left\{ 0 \right\}$

Ta có: ${4^x} - {5.2^x} + 4 < 0\,\,\,\left( * \right)$

Đặt $t = {2^x}\,\,\,\left( {t > 0} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {t - 4} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 1 < t < 4\\ \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 4\\ \Leftrightarrow 0 < x < 2\end{array}$

Mà $x \in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow x = 1.$

Vậy bất phương trình có 1 nghiệm nguyên.

$\left( {{3^{{x^2} - x}} - 9} \right)\left( {{2^{{x^2}}} - m} \right) \le 0$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2} - x}} - 9 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{2^{{x^2}}} - m \ge 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {3^{{x^2} - x}} \le {3^2} \Leftrightarrow {x^2} - x \le 2 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 2$.

$\Rightarrow$ Số nghiệm nguyên của bất phương trình (1) là  4 nghiệm, gồm $\left\{ { - 1;0;1;2} \right\}$.

Như vậy hệ có tối đa 4 nghiệm nguyên, hay bất phương trình ban đầu cũng chỉ có tối đa 4 nghiệm nguyên (Loại).

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2} - x}} - 9 \ge 0\,\,\,\,\left( {1'} \right)\\{2^{{x^2}}} - m \le 0\,\,\,\,\,\,\left( {2'} \right)\end{array} \right.\,\,\,\left( {II} \right)$

$\left( {1'} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le  - 1\end{array} \right.$.

$\left( {2'} \right) \Leftrightarrow {2^{{x^2}}} \le m \Leftrightarrow {x^2} \le {\log _2}m \Leftrightarrow  - \sqrt {{{\log }_2}m}  \le x \le \sqrt {{{\log }_2}m}$.

Để (II) có nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {{{\log }_2}m}  \le  - 1\\\sqrt {{{\log }_2}m}  \ge 2\end{array} \right.$.

Mà bất phương trình ban đầu có 5 nghiệm nguyên nên các nghiệm đó bắt buộc phải là -3, -2, -1, 2, 3.

Do đó

$\begin{array}{l}  3 \le \sqrt {{{\log }_2}m}  < 4\\ \Leftrightarrow 9 \le {\log _2}m < 16\\ \Leftrightarrow 512 \le m < 65536\end{array}$

Vậy có $65535 - 512 + 1 = 65024$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < \ln {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right) < n\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right)}}{n} < \dfrac{{\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)}}{{2020}}\end{array}$

Xét hàm đặc trưng $f\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{x}\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{\left( {{2^x} + {3^x}} \right)'}}{{{2^x} + {3^x}}}.x - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3} \right)x - \left( {{2^x} + {3^x}} \right).\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\ln 2.x - {2^x}\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right) + {3^x}\ln 3.x - {3^x}\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\left( {x\ln 2 - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right) + {3^x}\left( {x\ln 3 - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\left[ {\ln {2^x} - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right] + {3^x}\left[ {\ln {3^x} - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right]}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}{2^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow \ln {2^x} < \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)\\{3^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow \ln {3^x} < \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)\end{array} \right.$  $\Rightarrow f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}$.

$\Rightarrow$ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên ${\mathbb{N}^*}$.

Lại có: $f\left( n \right) < f\left( {2020} \right) \Leftrightarrow n > 2020$.

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $2020 < n \le 9999,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy có $\dfrac{{9999 - 2021}}{1} + 1 = 7979$ giá trị của $n$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có

$\begin{array}{l}P = \dfrac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{xy - {y^2}}}\\ \Leftrightarrow Pxy - P{y^2} = {x^2} + 3{y^2}\\ \Leftrightarrow \left( {P + 3} \right){y^2} - Pxy + {x^2} = 0\end{array}$

Phương trình trên có nghiệm khi

$\begin{array}{l}\Delta  = {P^2}{x^2} - 4\left( {P + 3} \right){x^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {P^2} - 4P - 12 \ge 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}P \ge 6\\P \le  - 2\end{array} \right. \Rightarrow MinP = 6\end{array}$

Dấu bằng xáy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{Px}}{{2\left( {P + 3} \right)}} = \dfrac{x}{3}\\\dfrac{{{x^2} + 3{y^2}}}{{xy - {y^2}}} = 6\end{array} \right. \Rightarrow x = 3y$

Dễ thấy $x=3y$ thỏa mãn điều kiện bài cho vì:

$\begin{array}{l} {\left( {{2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}}} \right)^y} < {\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)^{3y}}\\ \Leftrightarrow {2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}} < {\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}} < {2^{3y}} + \frac{1}{{{2^{3y}}}} + {3.2^y}.\frac{1}{{{2^y}}}.\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right)\\ \Leftrightarrow 0 < 3\left( {{2^y} + \frac{1}{{{2^y}}}} \right) \end{array}$

Bđt trên luôn đúng với mọi $y>0$.

Theo đề bài ta có : $f\left( x \right) < {e^x} + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - {e^x} < m$

Đặt $g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x}.$ Khi đó :

$\begin{array}{l}f\left( x \right) < {e^x} + m\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) - {e^x} < m\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right)\\g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {e^x}\end{array}$

 Trên $\left( { - 1;1} \right)$ ta có $f'\left( x \right) < 0;\,\,{e^x} > 0\,\,\forall x \in R \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)$

$\Rightarrow g\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( { - 1;\;1} \right).$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - {e^{ - 1}} = f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}\\ \Rightarrow m \ge f\left( { - 1} \right) - \dfrac{1}{e}.\end{array}$