Một số bài toán về khảo sát hàm bậc ba, bậc bốn trùng phương

Nhận xét:  Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số bậc 3 có hệ số $a > 0$ nên loại đáp án A, C

Xét 2 đáp án B và D

Thay $x = 0;\,y = 2$ thì cả 2 đáp án B, D đều thỏa mãn

Thay $x = 2;\,y =  - 2$ chỉ có đáp án B thỏa mãn 

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;4} \right)$ nên loại A và D

Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại điểm $\left( { - 1;0} \right)$ và tiếp xúc $Ox$ tại $\left( {2;0} \right)$ nên phương trình hoành độ giao điểm $y = 0$ có 1 nghiệm đơn $x=-1$ và 1 nghiệm kép ${x_{2,3}} = 2$ 

Vậy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Từ dáng đồ thị ta có $a > 0$ nên loại A, C

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là $\left( {0; - 3} \right).$

Do hàm số chỉ có một điểm cực trị nên $y' = 0$ phải có duy nhất một nghiệm ${x_0}$ và $y\left( {{x_0}} \right) =  - 3.$

Kiểm tra ta chỉ thấy đáp án D là phù hợp.

Ngoài ra, đáp án B bị loại vì phương trình $y'=0$ ở đáp án B có $3$ nghiệm phân biệt.

Từ đồ thị của hàm số ta dễ dàng thấy được:

Điểm cực tiểu $\left( { - 1; - 4} \right),\left( {1; - 4} \right)$ và điểm cực đại $\left( {0; - 3} \right)$

Xét Đáp án A: $y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right)$ có các nghiệm $x = 0;x =  \pm 1$.

Do đó đồ thị có các điểm cực tiểu là $\left( { - 1; - 4} \right),\left( {1; - 4} \right)$ và điểm cực đại  là $\left( {0; - 3} \right)$.

Nhận xét: Dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 3 nên loại đáp án B.

Ngoài cùng bên phải của $y< 0 \Rightarrow a < 0$ nên loại đáp án A.

Thay lần lượt hai điểm $\left( {0;\, - 1} \right)$ và $\left( {2;\,3} \right)$ vào 2 hàm số còn lại.

Thay $x = 0$ vào cả hai  hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$ và $y =  - {x^3} - 3{x^2} - 1$ ta thu được $y =  - 1$ $ \Rightarrow \left( {0;\, - 1} \right)$ đều thuộc vào 2 đồ thị hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$ và $y =  - {x^3} - 3{x^2} - 1$

Thay $x = 2$ vào hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$ ta được $ y = 3 \Rightarrow \left( {2;\,3} \right)$ thuộc vào đồ thị hàm số $y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1$.

Thay $x = 2$ vào hàm số $y =  - {x^3} - 3{x^2} - 1$ ta được $y =  - 21$ $ \Rightarrow \left( {2;\,3} \right)$ không thuộc vào đồ thị hàm số $y =  - {x^3} - 3{x^2} - 1$.

Nhận xét: Dễ thấy bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc 4.

Ngoài cùng bên phải của $y' < 0 \Rightarrow a < 0 \Rightarrow $Loại đáp án A

Thay điểm $\left( {0;0} \right)$ vào các hàm số ở đáp án B, C, D

Điểm $\left( {0;0} \right)$ chỉ thuộc vào đồ thị hàm số $y =  - {x^4} + 2{x^2}$

Ta có: $y' = 4a{x^3} + 2{b^2}{x}$

Dễ thấy $x = 0$ luôn là nghiệm của $y'$.

Mà hàm bậc 4 luôn có cực trị

$ \Rightarrow $ đáp án D đúng

A sai vì hàm số chỉ nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$

B sai vì hàm số đạt giá trị cực đại là $y = 3$ tại $x = 0$

C đúng vì từ bảng biến thiên ta thấy:

$\mathop {\min }\limits_R f\left( x \right) = 0 \Rightarrow f\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in R$

D sai vì hàm số chỉ đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$

A sai vì $y=3$ là giá trị cực đại của hàm số, không phải giá trị lớn nhất.

B sai vì hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right),\left( {2; + \infty } \right)$.

C sai vì $x=2$ là điểm cực tiểu của hàm số không phải giá trị cực tiểu.

D đúng vì trên đoạn $\left[ {0;4} \right]$ thì hàm số đạt GTNN (cũng là giá trị cực tiểu) bằng $ - 1$ đạt được tại $x = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } x =  - \infty $ nên $a > 0$

Dựa vào đồ thị hàm số ta có $y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu

$ \Rightarrow ac < 0$ mà $a > 0$ nên suy ra $c < 0$ suy ra loại B, C.

Mặt khác thấy đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương $ \Rightarrow d > 0$

Nhận xét: Hàm số bậc 3 có $2$ cực trị và hệ số $a > 0$

Khi $x = 0 \Leftrightarrow y = d > 0$

$y' = 3a{x^2} + 2bx + c$ có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu $\Leftrightarrow 3ac < 0 \Leftrightarrow c < 0$ (Vì $a > 0$)

$\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\dfrac{{ - 2b}}{{3a}}}}{2} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow  - b > 0\,(Do\,a > 0) \Rightarrow b < 0$

Vậy khẳng định đúng là: $a > 0, b < 0, c < 0, d > 0$

Nhận xét: Hàm số bậc 4 trùng phương có $3$ cực trị và hệ số $a > 0$

Từ đồ thị ta có: $x = 0 $ thì $y = c < 0$

Hàm số có $3$ cực trị thì $ab < 0$ suy ra $b < 0$ (vì $a > 0$)

Vậy khẳng định đúng là: $ a > 0, b < 0, c < 0$

${x^4} - 4{x^2} + 1 - m = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^2} + 1 = m$

Số nghiệm của phương trình ${x^4} - 4{x^2} + 1 - m = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^4} - 4{x^2} + 1$ và đường thẳng $y = m$.

Þ Để phương trình ${x^4} - 4{x^2} + 1 - m = 0$ có $4$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow  - 3 < m < 1$

Xét : $ - {x^4} + 2{{\text{x}}^2} + 1 = m$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số $y =  - {x^4} + 2{{\text{x}}^2} + 1;y = m$

Nhìn đồ thị chọn D.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

- Khi \(x \to + \infty \) thì \(y \to  + \infty \). Loại C và D.

- Tọa độ các điểm cực trị là \(\left( { - 1;2} \right)\) và \(\left( {1; - 2} \right)\) nên đáp án A là phù hợp.

Hàm số \(y = {x^3} + b{x^2} - x + d\) có hệ số của \({x^3}\) dương nên loại (II).

Xét \(y' = 3{x^2} + 2bx - 1\) có \(\Delta ' = {b^2} + 3 > 0,\forall b \in \mathbb{R}\).

Do đó hàm số có hai cực trị.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty  \Rightarrow a < 0\).

\(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Dựa vào BBT ta thấy hàm số có hai điểm cực trị \({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} = 2\) nên phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(S = {x_1} + {x_2} = 1 > 0\), \(P = {x_1}{x_2} =  - 2 < 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {b^2} - 3ac > 0\\S = \dfrac{{ - 2b}}{{3a}} > 0\\P = \dfrac{c}{{3a}} < 0\end{array} \right.\).

Mà \(a < 0\) nên \(b > 0\) và \(c > 0\).

Dựa vào BBT ta thấy tại điểm \(x = 0\) thì \(y > 0\), do đó \(d > 0\).

Vậy trong 4 hệ số a, b, c, d chỉ có 1 số âm.

Từ đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 1\) ta suy ra được đồ thị hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 6{x^2} + 9\left| x \right| - 1\) như sau (phần nét liền):

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {\left| x \right|^3} - 6{x^2} + 9\left| x \right| - 1\) có 5 điểm cực trị.

Ta có \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 2bx\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {0;1} \right);\,\,\left( {1; - 1} \right)\).

Đồng thời đây cũng là 2 điểm cực trị của hàm số. Do đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) =  - 1\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a + b + c =  - 1\\4a + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a =   2\\b =- 4\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) =  2{x^4} - 4{x^2} + 1\) và \(3a + 2b + c = 3.2 + 2.(-4) + 1 = -1\).

Vậy \(f\left( {3a + 2b + c} \right) = f\left( -1 \right) =  - 1\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d\)

Từ đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( 0 \right) \Leftrightarrow d = 0\)

Từ đồ thị ta thấy:

+ Khi $x< -1$ thì $f'(x)>0$.

+ Khi $-1<x<0=>f'(x)<0$

+ Khi $0<x<x_0$ (với $x_0$ là nghiệm thứ 3 của phương trình $f'(x)=0$) $=>f'(x)>0$

+ Khi $x>x_0$ thì $f'(x)<0$

Ta có bảng biến thiên:

\(\Rightarrow f\left( { - 1} \right) > f\left( 0 \right)\)

\( \Leftrightarrow a - b + c - d + e > e \Leftrightarrow a + c > b + d\) nên B sai, lại có \(d = 0 \Rightarrow a + c > b\)  (1)

+) Từ bảng biến thiên \( \Rightarrow f\left( 1 \right) > f\left( 0 \right)\)

\( \Leftrightarrow a + b + c + d + e > e \Leftrightarrow a + b + c + d > 0\) nên A sai.

Mà \(d = 0\) nên \(a + b + c > 0 \Leftrightarrow a + c >  - b\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2\left( {a + c} \right) > 0 \Leftrightarrow a + c > 0.\)